BAS-SIN SEINE DE COMMISSION

UNION G ~ 0 0 ~S 1QUE E TG ~ 0 P HY S 1QUE 1N TER NAT ION ALE

COMITÉ NATIONAL FRANÇAIS

Section d'Hyd rologie scientifiq ue

COMMISSION

DU

BAS-SIN ^DE LA SEINE

CAHIER N° 1

~qlt{

V. FROLOW

Le maximum de la Seine

à

Paris

COMMISSION DU BASSIN DE LA SEINE. - POT-AMOLOGIE.

I.;E MAXIMUM ANNUEL DE LA SEINE A PARIS

,PAH

M. V. FROLOW

PARIS

. ,1, RUE VICTOR-COUSIN.

1941

Conformément aux règles d'édition établies par la Commission scientifique de la Seine et de son Bassin, ce cahier a été soumis à l'examen d'un Comité de lecture dont faisaient partie :

MM. M. BLossET, Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées.

F. DIENERT, Président de la Commission.

B. GASPARD, In.génieur en Chef des Ponts et Chaussées.

H. LABROUSTE,Professeur à la Faculté des SCiences de Paris.

L. LUTAUD, Professeur à la Faculté des Sciences de Paris.

TABLE DES MATIÈRES.

PRÉAMBULE ••.••.•..••..•.••••.••.••.••••.•...•..•••..••••...•••.••..•••••.•••• , •••.••••.•.••.•

Définition .

Constitution des séries .- .

Remarques générales. . . • . . . .. . . . 3

ÉTUDE STATISTIQUE ...•..•...•...•••...•...•. , . . . • . . . • . . • . . . . • .• . '3

Séries classées... 4

Fréquences ' ; . . . . 5

Probabilités cumulées " . . . . 6

La hauteur en fonction de la date. . . . 6

Les mois en fonction de la hauteur. . . . • . . . . 9

Corrélation ... : . . . . 10

Cas particulier : '. . . • . . . . 10

\ Critérium de Goutereau... II ANALYSE HARMONIQUE. . . . • . . . .. • . . . • . . • . • . . . • . • • . • . • • . . . • . . . • • .. . • . . • . . . . • • • • . • 12

Courbes de reconnaissance , -; . . . • . 12

Courbes s s ...•... '. . . . 12

Courbes S S . . . . 14

Développement. . . . 14

La phase.. . . . '9

L'amplitude ..'. . . .. . . . 20

L'importance relative. . . . .. . . .. . . . 20

Résumé. . . .. . . . 1 1 PRÉVISION. . . . • . •. . • . . • . • . . • . • . • • . . • • • . . . • . . • . . • . . . • • • . • • . . . • • • . . . • . . • • . . • • • . . . • • . • 2 2 Annonce de la crue prochaine.. .. .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. .. . . . .. .. 22

Exemple numérique _ 23 Annonce des hauteurs de cruesà très longue échéanc~. . . . 27

LE MAXI~IUM ANNUEL DE tA SEINE A PARIS

PRÉAMBULE.

L'étude qui suit est consacrée à l'examen des hauteurs maxima des crues et des dates auxquelles on les a observées. Cet examen est fait à deux points de vue indé- pendants: de la statistique et de l'analyse harmonique. Deux aspects du phénomène sont ainsi envisagés et l'on verra que les conclusions tirées de chacun d'eux se complètent partiellement et suggèrent d'autres études plus générales. La Seine à Paris étant une résultante de la vie d'un ensemble considérable de son bassin d'alimentation, les séries étudiées reflètent les conditions de celui-ci et ne deviendront vraiment intelligibles que lorsque l'on possédera des notions très précises sur son régime.

En abordant l'examen des séries de Paris, il faut noter tout d'abord que le niveau maximum de la crue y est influencé par l'état de l'aménagement du lit. C'est peut-être le fait que, pour les crues très faibles, les barrages peuvent ne pas être a)Jattus, qui apporte la perturbation la plus importante par rapport àl'état naturel. Les modifications apportées par la construction des barrages réservoirs et en rivière, des ponts, des quais, par l'aménagement des ports, par la rectification des îles, par les dragages, enfin, par les travaux d'urbanisme et le développement agricole, sont, d'autre part, certaines.

Il n'a pas été possible d'apporter les corrections aux valeurs observées, pour constituer une série qui correspondrait à ce qu'aurait été la Seine dans son état naturel.

L'étude qui suit porte ainsi sur une situation complexe et fait abstraction de l'évolution de son objet dans le cours du temps.

En envisageant dans ce qui suit un seul niveau maximum pour chaque année, on examine une caractéristique isolée et l'on n'épuise point l'ensemble de la question.

D'autres études seront nécessaires pour atteindre la marche des niveaux de la Seine dans ses particularités : ainsi, l'examen des niveaux moyens mensuels renseignera sans doute sur les crues multiples qui s'écoulent en un seul hiver. Peut-être sera-t-on conduit

à analyser en détail les moyennes décadaires ou hebdomadaires, tout en laissant les valeurs journalières à une description plus générale et faisant un appel moindre au calcul.

Définition. - La marche des niveaux de la Seine au pont d'Austerlitz présente plusieurs montées et plusieurs décrues dans l'année. Le caractère invariable est l'existence d'un étiage en été. On considerera ici le maximum absolu entre deux étiages d'été consécutifs et on le désignera par le millésime de l'été qui l'a suivi. On considérera, d'autre part, la date à laquelle ce maximum s'est produit et on l'exprimera numérique-

2 _{LE MAXIMUM ANNUEL} DE LA SEINE A PARIS.

TABLEAU J.

1870.

1880.1890.

1900.1920.1930.19tO.1910.

Hauteur maximum annuelle de la Seine au pont d'Austerlitz

(en mètres au-dessus du zéro de l'échelle).

0 ...

-

5,602,60

1

3,701 8 ,6:~Ci,65 3,02 5,12

L ...

^5,00_3,805,98_2,805,975,85_1,19

-

G)

0,902,20 4,102,90 4,564,04·

3,30

-

.:...1•••••. 0•••

',) 6,243,802,904,265,322,30

-

6,10

t} •••••

...

4 ... ^{3,102,504,204,877,322,33}

-

^1,20

t> .•... .4,654,004,203,101,914,33

-

3,30

6 ... ^{4,404,414,756,064,495,60}

-

^6,69

7 ... ^{3,605,603,204,764,005,21}

-

^4,30

8 ... ^{4,002,504,243,704,392,99}

-

^3,60

()

...

^{5,783,103,126,113,123,67}

-

^5,62

Date du maximum annuel de la Seine au pon d'Austerlit.z.0 ... i

-

3' 15₂₆₂₈janv.⁵⁴janv.janv.janv.⁴févr.janv.no\'.

1...

-

»^»»2718¹3décoavril_II20²¹févr.nov.

2 ...

-

5₂₃13_IImars⁶₆févr.janv.Janv.janv.mai

-

3.,;, ... ^»»46 févr.²⁴12³517mars-,janv.nov.déco

4'... 24²³³¹17⁸6²⁸févr.marsmarsjanv.décomarsocL

~

...

^{1226marsjany.}

»29 mars31²⁶24¹³jany.févr.déco

-

6 ... _»^»61 mars₂₃₈^II18¹⁸janv.janv.déco

-

mars

7 ... ¹⁵2513¹²⁴²³₁févr.

-

févr.janv.marsjanv.marsfévr.

8 ... ^{»18févr.2518962marsmars8}

-

^{marsfévr.avril}

9 ... ^{,>J 6} déco²⁴¹⁰18¹févr.⁸janv.avriljanv.

27janv.

-

Cote adoptée pour la date du maximum annuel de la S}ine au pont d'Austerlitz,0 ... exprimée en nombre de jours (28octobre =^1).

-

6891 lOI6980938

L ...

^1-

6892 1738635211.

~... ¹²⁹107191II978

-

7176

-

3 ... 12010070'13671 51

-

7

4 ... ¹

51132120155 14771

-

~... ^{1221361551531789}

-

⁹¹

6 ... ^14213012588

-

^4573142

7 ... ^{III1361211286678}

-

^1I9

8 ... ^{11414213013390163}

1

98

-

9 ... 120156

,

4092

-

^{R3 .}75 73

ment par le nombre de jours entre la date du maximum le plus précoce de la série (dont la date a été cotée 1) et le maximum considéré. Si dans une même année il y a plusieurs maxima d'égale hauteur, on prendra la date du premier d'entre eux.

Constitution des séries. - Les niveaux maxima atteints par la Seine et les dates

ÉTUDE STATISTIQUE. 3

correspondantes ont été relevés sur les registres des cotes journalières conservés au Sérvice hydrométrique et d'annonce des crues du Ministère des Travaux Publics.

Ces données existent depuis 1879. En utilisant, de plus, l'ouvrage de Belgrand, on a pu remonter àla crue de 1871-1872 pour les niveaux, et àla crue suivante pour les dates.

Remarques générales. - Le Tableau l donne les valeurs des maxima, leur date et la cote adoptée de celle-ci. Il contient 70 valeurs de niveaux et 69 dates, conformément à ce qui vient d'être dit. L'examen de ce tableau et des graphiques ^(fig. 1),représentant

les deux séries (hauteurs et dates cotées), montre que leur marche générale est inverse.

Ainsi, on voit nettement qu'à la fin du XIXe siècle et au début du xxe, les crues avaient tendance à être faibles et tardives. Mais cette relation, valable pour les valeurs moyennes, ne se retrouve pas dans les détails du graphique. Ainsi, la plus forte des crues (1910) s'est produite à une date moyenne, tandis que la très faible crue de 1874 a été la plus précoce de la série, et la crue, presque aussi faible, de 1921, s'est produite à une date moyenne.

ÉTUDE STATISTIQUE.

Les paramètres statistiques ont été calculés pour les deux séries et réunis dans le Tableau II (1).

(') Les détlnitions sont les suivantes : La fluctuation est le quotient de la somme des carrés des écarts à la moyenne par le nombre total des termes de la série eonsidérée.

L'écart type est la racine carrée de la fluctuation .. La dispersion est la racine carrée du double de la fluctuation. L'éeart moyen est le quotient de la somme des écarts de la moyenne par le nombre total des cas.

4 _{LE MAXIMUM ANNUEL} DE LA SEINE A PARIS.

TABLEAU If.

Extrêmes.

-~---

Série.

MaxImllm.l )Ilnimul11. ÉC'll't.

~Ioyellne.

Valeurs ,-~la8sées.

'. 1 QUiJ1'1iJ Qual'.til Jledwnc. supél'ieur. inl'érielll".

Éeart

.---...-~

type. moyen.

Disper- sion.

Fluctua- tion.

---1----1----1----._. 1_1 , 1_.----1-

Hauteur ... ¹ 8,62

°,90 17,721.4,25 4,20 5',21 3,Ia 1 1,481 1,17/ 2,091 2,19

\ 191 l 1 \ 98 93 130 7 [ I! 1 31 'S 0 _ '

Date ...^{, bmUI}/. ₁ . 28 oct.. ¹2fcYr.( 190'/.28Jany. Il^mars . ^{(, JanY,J}. ^{1 ,}. . . 'Il. 'f .[ ,0 ", .J l'j 1l , "

Séries classées. ~ La figure 2 représente les deux séries classées, par ordre de

100

r./Ouf'"l

200

50 .'-01 40 3/4

YZ

.Date

IYornbrG' d~ C'rues

!'o 20

~4

·11!}f=ôm.ili H 11\Isj .4 I.!

J 1 72 15 IS F 1+93

/s

!YI

IS

D /

Fig. 2.

Hauteur

7 6 8

-1.4,20

m.9 1.8,6'2

",3.10

lso l-

^I

T-

1 SO 60 o ¹⁰"'0.30^{Y4~ Va>}. 40

+.•.

^.

de crues

Nombre

grandeur, sans tenir compte du millésime, l'unité des ordonnées étant le mètre pour la hauteur de la crue et le jour pour sa date. La figure 3 représente les mêmes séries classées, mais ici l'ordonnée a pour unité l'écart des valeurs extrêmes, colonne 3 du Tableau II.

On obtient ainsi un moyen de comparaison plus facile. On voit notamment que, dans l'ensemble, pendant l'intervalle des années considérées, les crues de date inférieure

à la moyenne étaient plus fréquentes, tandis que les hauteurs étaient réparties plus régulièrement autour de la moyenne.

On vérifie aisément qu'une translation de 13 cas amène le tiers moyen des deux courbes à une très bonne coïncidence. On voit ainsi qu'une loi unique régit la production des crues de hauteur et de date moyennes'. En remplaçant, dans cet intervalle, les gra- phiques par une droite inclinée, on trouve pour les deux séries une moyenne de 13 cas par 0, l de l'écart des données extrêmes. La probabilité pour chacune de ces tranches

ÉTUDE STATISTIQUE. 5

est donc égale à 13: 70

=

0,185. On peut dire aussi que, dans cet intervalle de 33 à 66%,

un mètre équivaut à 22,6 jours au point de vue de la répartition des cas observés.

HI

A

15

111

/5 F

1

/5 J ¹ /5

.D 1

/5

i"I 1

100

7,0 6,50_5,50~(jO

57

qOO

4ji()

5049

43

4,0

37

.3,SO

3,Of)

2.8

2.,50 2,00(50

0:

fO 20

30 40

^{50 60 70}

!4'l2

^..3ftJ.

/Yornure de crues

Fig. 3.

Les crues très hautes ou très faibles, de même que les crues très précoces ou très tardives, doivent être soumises à d'autres influences encore. Il faut d'ailleurs remarquer que l'on n'a actuellement qu'un peu plus d'une seule oscillation longue complète de l'allure générale du graphique (fig. 1et 8 qui en est déduite par la suppression des oscillations courtes, ce qui se voit aussi en faisant passer une courbe moyenne à travers les dentelures du graphique fig. 1). Il serait difficile de parler, dans ces conditions, de la répartition par tiers du nombre des crues entre les crues fortes, moyennes et faibles;

et entre celles précoces, moyennes et tardives. Il faut retenir seulement que le classement des crues dans le voisinage de leur moyenne tant au point de vue de la hauteur, qu'à celui de la date, présente un parallélisme évident.

Fréquences. - La figure 4 montre la répartition des fréquences des crues pour chaque dixième de l'écart des extrêmes (pris égal à 100 %,) Pour tenir compte de la différente longueur des séries, les fréquences sont exprimées en fractions du nombre

FnOLO'W.

*

6 LI: MAXIMUM ANNUE"L DE LA SEINE A PARIS.

des termes de chacune d'elles (6g pour les dates et 70 pour les hauteurs) (1). On y distingue une marche analogue pour les deux séries, comportant deux maxima (le

1>roua{J/lités 0,2

0,1

o

Crue'

basse

et crue' précoce

so

__ hauteur

Fig. 4.

o'at~

100°/",

crue h.:Juée

et ^crut!! éaro'/ve

premier entre 30 et 50 % et le deuxième entre 60 et 80 %). On voit aussi que les crues hautes ont été moins fréquentes que les crues tardives et que l'inverse avait lieu pour les crues bassés et les crues précoces.

Il est possible que la production des crues tardives soit due à la présence assez longue des neiges certaines années. On est ainsi amené à envisager l'influence de la température sur l'écoulement dans le bassin de la Seine.

Pour ce qui est des hauteurs, on pourrait invoquer l'origine du maximum qui peut être dû soit à la crue d'une seule rivière (cas de pluies locales), soit à la coïncidence des crues de plusieurs rivières (cas de pluies générales). L'influence de la température et celle de la coïncidence de crues des affluents seront examinées dans un autre Mémoire.

Probabilités cumulées. -

La hauteur en fonction de la date. - En classant les

TABLEAU

III.

4 0,20

5

O,Ol

25 o,oG 13

o,oG1']

3

-_.--

^!

---

^-

1 1

1

Mois.

0·8.

8-i.

ï-ILG-5.

5-1.

1.-3.

3-2.

1

--- ^--- - - ^{- --- -}

Octobre ...

---

_.

-

1

- -

Novenibre ...

--

-

0,500,25

-

0,25 Décembre ...

- -

0,40

-

- 0,40-.

Janvier ... ^0,160,160,040,120,280,[6 ^0,04

Février ...

-- -

0,230,460,230,08 Mars ...

- -

0,06^0,470,0,120,06[8 Avril ...

----

- 1 -

!VIai. ... 1

-

^..

- - -

1

2· 1. 1·0. Nombl'e

(le crues.

maxima d'abord par mois où ils ont été observés, on constitue 8 séries d'un nombre

(') Rappelons que le nombre de cas observés dans un intervalle (fréquence) divisé par le nombre total des cas donne laprobabilité de cet intervalle.

ÉTUDE STATISTIQUE. 7

variable de termes. On considére ensuite isolément chacune de ces séries et on y classe les crues par intervalles d'un mètre. Les probabilités de chaque intervalle sont ensuite calculées pour chacune des 8 sériés et l'on obtient ainsi le Tableau III.

Le graphique 5 (partie gauche) reproduit les résultats relatifs aux mois de janvier, février et mars où les crues étaient assez nombreuses. On y voit que les crues de février

et de mars ont le maximum de fréquence dans la tranche 4 à 5m, tandis que pour les crues de janvier la tranche de fréquence maximum est entre 3 et 4m, inférieure ^à la précédente.

On obtient un renseignement plus intéressant en calculant, au moyen des éléments

OIY.D J rHAM

6-5 "'

o,s

0.

0.,4 0.

0.,3 0..3

0.

0.,3

0./

0,2 0.,4 0,1 CJ'

0,2

o.,f

3_2"' ¹

1

~.~-~ --l'

1 j

1 ! 1

-~-f-__ 15~4~)-rr

^l

--L

^!

-J=Lt--! \

il

ⁱ

---L~l 1

, 1 l '

i 1

l

¹

r~~~Fl~

I~t-H

Fig. 5.

ayant serVi pour le Tableau

III,

les probabilités des tranches de lm pour 2, 3, ... mois cumulées en commençant par octobre, puis par novembre, etc., et finissant en janvier.

8 LE MAXIMUM ANNUEL DE LA SEINE Ii PARIS.

Ensuite pour les intervalles de temps commençant aux mêmes mOIs, mais finissant en février, etc. Il y a ainsi 4 répartitions finissant en janvier, 5 en février, etc.

Les graphiques représentant les résultats de ces càlculs (fig. 6), groupés suivant le mois qui termine l'intervalle de temps envisagé, se superposent assez pour mettre en évidence les faits suivants:

a. Les maxima annuels survenant avant la fin janvier (partie supérieure de la figure 6, marquée JanfJier) ont la plus grande fréquence entre 3 et 4m• Ils présentent, entre 5 et 6m, une deuxième tranche privilégiée, mais secondaire séparée de la première

pâr des fréquences moindres entre 4

et 5m.

c. La répartition des maxima cu- mulés est nettement en faveur de la tranche de 4 à 5m, et les graphiques cumulés affectent une forme triangulaire au mois de mars.

b. Les crues de février intervien- nent pour souder les deux tranches de grande fréquence. Elles atteignent le plus souvent la tranche de 4 à 5m et elles y sont assez nombreuses pour se faire sentir dans la répartition des va- leurs cumulées envisagées ici.

d. Enfin, les maxima annuels se produisant en avril et en mai sont favorables à la tranche de 3 à 4m, mais ils ne sont pas assez nombreux pour changer beaucoup l'aspect du graphique qui reçoit de leur fait un renflement secondaire correspondant à la tranche de 3 à 4m•

a

en me'tres.

crue Fig. 6.

Hauteur de 9

"

0, 0

0,30,) M

0,/

D,

1

0,,31-"--!

1

D,'

Avh/

0,./

0,

0,,1

0,3 La superposition du ruissellement

hivernal et de la fonte des neiges se produit assez souvent en février et en mars, et c'est à elle que l'on peut attri- buer que la tranche la plus fréquente soit relevée dans les graphiques corres- pondant ^à ces mois.

D'autre part, le peu d'influence des maxima annuels d'avril et de mai est dû àce qu'en général le développement de la végétation est suffisant dans le bassin de la Seine pour empêcher de fortes crues pendant ces mois.

ÉTUDE STATISTIQUE. '9

Les mois en jonction de la hauteur. - Un autre classement peut être fait. Les maxima annuels sont groupés d'abord par tranche de lm, ce qui donne gséries d'un nombre variable de termes, et ensuite ils sont classés ^à. l'intérieur de chaque série suivant le mois. Les résultats du calcul des probabilités correspondantes sont réunis dans le Tableau IV.

TABLEAU IV.

Mètres. Octohre. Novembre. Décembre. Janvier. Février.

1 Mars. ^{Ayril. Mai.}

Nombre de cas.

Les probabilités des4 séries ayant un plus grand nombre de termes sont représentées sur la partie droite de la figure 5. On y constate que les maxima annuels de 5^à. 6m sont assez également répartis entre novembre et mars, tandis que les maxima annuels de

4à.5m sont les plus fréquents en mars; ceux de 3^à.4m,en janvier; et ceux de2 à.3mproba- blement en février.

En groupant, d'autre part, ^à. l'intérieur de chaque série, tous les maxima -annuels entre 0, 1, 2et gm, puis entre 0, 1,2 et sm, etc., on obtient dés répartitions des fréquences des mois pour les différentes parties de l'échelle des crues. La figure 7 représente la superposition des graphiques pour les intervalles de üm^à. 4, 5, 6, ..., gm (graphique supérieur marqué 0), ensuite de lm ^à. 4, 5, 6, ..., gm (graphique marqué 1), etc. Les caractéristiques importantes de ces différentes répartitions de probabilité sont :

9-8 .

8-'-'7· ' .

7 -6 .

6-5 '

5-4 · .

4-3 .

3-2 .

2- 1 . . . • . . . . . 0,33

1-0 .

0,11

1 0,16

0,67 0,16

0,17

o~250,25 0,17 0,20

0,300,40 ^0,05 0,12

0,440,,19 0,060,19 0,44

0,110,33 0,33

0,33

1 6

12 20 16 9 3

a. l'existence pour tous les tronçons de l'échelle de crue d'une fréquence maximum.

en janvier, avec une seule exception pour le tronçon de 4 ^à. 6m où le maximum de fréquence se place en mars;

b. l'existence d'un maximum secondaire en mars pour les tronçons de l'échelle des crues commençant au-dessous de 5m.

Si l'on considère non plus un niveau déterminé du maximum, mais l'ensemble des maxima appartenant ^à.une partie considérable de l'échelle, le mois le plus fréquent est janvier, quelle que soit la hallteur du maximum. Mars est un autre mois dangereux, mais seulement pour les maxima annuels inférieurs ^à 6m.

Notons èri terminant que cette étude de la répartition des maxima annuels est

10 LE MAXIMUM ANNUEL DE LA SEINE A PARIS.

purement descriptive des faits entre 1872 et 194

l,

et qu'elle ne donne lieu à aucune méthode de prévision.

/1

Le coefficient de corrélation est égal à

, ~ • 27';;:1;

f (J')

=

an sm -- ,

, .•••• n

1

1"'"

•/'( x) '" ( :r.) dx, ,1 "-

~

1 ,

10'.'al (f( x)]" dx' ~œl{:x,^r9(:E)J" der (''

r=

Il

~ ,('2;-;,Z' )

::::= ~ bn SUl ---;;-

+

^{"fil •}

1

S:z:y

r= . "

Ii S,r" SY"

Corrélation. - Le coefficient de corréla- tion des hauteurs et des dates:

il est donc une fonction non seulement des paramètres des sinusoïdes qui composent les séries comparées, mais encore de la longueur de ces dernières. De ce fait, dans le cas considéré, le coefficient de corrélation ne donne aucune indication sur la relation entre les séries.

où le symbole S désigne une somme, est égal à - 0,13. D'après les conventions, la corrélation des deux séries doit donc être

tenue pour faible. ,

Cependant, on est ici en' présence de phénomènes pouvant être développés en une somme de sinusoïdes. Alors, dans un cas parti- culier, on peut donner un sens précis au coeffi- cient de corrélation.

Soit deux sommes d'un même nombre de sinusoïdes, ayant les mêmes périodes mais différant par l'amplitude et par la phase

A !'1

o

Fig. 7.

o

o

Oi.o !Y .l) J F

0,3

0,3

o,4i

!

0.31, ;

0,2

0,1

Probsbilites

0, '

Cas particulier. - Lorsqu'il n'y a qu'une seule sinusoïde dans chacunè des deux

ÉTUDE STATISTIQUE.

séries, l'expression de l' devient, entre les limites 0 et x,

Il , "r.X' (' 2r.x ) :1;cos::;

+ -

Slll-- cos --

+

^'!J

, :J.;: n n ^j

II

r=

\ [-,r _( .i" :~ sin_4_r._xJIl [x _ '1."In_sin_2_r._xIl cos (_:,_r._:rn

+

2'1')] t+) et, en posant

x = kn

+

^~L

fi (p

>

0),

( 1) . 2;: (:l ;: \)

'" ;: k

+

p cos,? -- SUI p- ^COS

P +

^'?

1

l

^{,[4r. (,1k-1- ~) - sin 4 :]}

¹

^[4

^_

^{r. ('k}

^{+ .:) -}

^{P sin 1(Pr. cos (2Pr.}

⁺

^{2'1')] ('"}

Pour k

=

^co, le coefficientl'tend vers cos 9. Il prend cette même valeur pour p

=

^1,

indépendamment de k. Pour un nombre croissant de boucles de la sinusoïde considérée, r s'écarte de moins en moins de cos^cr et, en faisant le calcul pour un cas particulier, on peut voir que pour quelques boucles seulement les écarts sont déjà faibles entre r et cos^ep.

Ainsi pour une sinusoïde comparée à une autre de même période, mais de phase et d'amplitude différentes, la signification géométrique de r est d'être la mesure de l'écart de phase.

Appliqué aux développements en sinusoïdes, le coefficient de corrélation, calculé pour le plus grand nombre disponible de boucles entières de chacune des composantes, permet le calcul de la différence de phase des composantes homologues.

Cette propriété est intéressante dans le cas des écarts faibles qui ne peuvent être déterminés graphiquement avec assez de précision. Elle rend ainsi possible l'étude de la répartition des phases sur un territoire restreint.

Le coefficient de corrélation permet d'autre part de reconnaître si la période apparente dans une courbe de reconnaissance d'ordre assez élevé appartient à une composante qui, pendant l'intervalle de temps considéré, est la plus longue de celles qui règlent le phénomène. Il suffit pour cela que, pour un nombre entier de boucles de cette courbe de reconnaissance, l' soit sensiblement égal au cosinus de la différence de phase mesurée sur le graphique.

Les deux propriétés signalées du coefficient de corrélation seront utilisées plus loin.

Critérium de Goutereau. - Goutereau (1) considère d'une part la variabilité d'une série et d'autre part son écart moyen. La variabilité (V) est définie comme la moyenne des valeurs absolues des différences entre deux termes successifs de la série envisagée.

L'écart moyen (E) est la moyenne des valeurs absolues des différences entre chacun des termes de la série et leur moyenne.

Le rapport de la variabilité

à

l'écart moyen est, d'après Goutereau, égal

à{;

^dans

le cas d'une série due au hasard.

La série des hauteurs de crue de la Seine au pont d'Austerlitz donne pour le rapport ~

=

1,414, valeur extrêmement rapprochée de V2. La série des dates donne, pour le même rapport, la valeur de 1,273, sensiblement plus petite que V"2. La série

(') Annuaire de la Société météorologique de France, 54, 1906, p. 122.

12 LE MAXIMUM ANNUEL DE LA SEINE A PARIS.

des dates serait ainsi moins aléatoire que celle des hauteurs, et son analyse harmonique serait plus justifiée.

En réalité on démontre que, pour les sinusoïdes, le rapport ~ est une fonction de la longueur de la série et des paramètres des sinusoïdes. Ce n'est pas une constante et, dans le cas envisagé au moins, il ne peut renseigner sur la part due au hasard dans la constitution de la série.

ANALYSE HAHMONIOUE._,,~

Les courbes des éléments hydrométriques et météorologiques présentent des fluctua- tions àaspect plus ou moins périodique, que l'on est tenté de décomposer en ondes plus simples, dont certaines ont une interprétation évidente, comme la composante annuelle.

L'intérêt d'une telle décomposition est justifié, a posteriori, par les possibilités de prévision à longue échéance, comme nous l'indiquons plus loin sur un exemple.

Faisons quelques remarques d'ordre général.

Lorsque diverses composantes, obtenues à l'aide de combinaisons peu sélectives, présentent, comme c'est souvent le cas, une amplitude et une période variables, on peut se demander si des combinaisons plus sélectives laisseraient apparaître des composantes à amplitude et période constante. S'il en était ainsi, ce serait l'indice que les premières composantes isolées ne sont pas des ondes simples, mais résultent de la superposition d'ondes de périodes voisines. Mais l'emploi de combinaisons très sélectives exige la possession de longues séries de données: c'est donc dans l'avenir que se trancheront les questions qui peuvent se poser ^à propos des décompositions envisagées.

Pour l'instant, nous emploierons des combinaisons peu sélectives, donnant des décompositions en éléments peu nombreux, d'amplitude variable, de période assez constante. Il est possible que, plus tard, lorsque la longueur des séries le permettra, des combinaisons plus sélectives conduisent à des composantes plus nombreuses et plus régulières, que l'on ne devra pas considérer comme des solutions distinctes de la décomposition actuellement proposée.

A côté de variations périodiques, les données comprennent généralement des variations non périodiques, systématiques ou aléatoires. Par exemple, dans les hauteurs d'eau interviendra comme variation systématique, l'aménagement du lit d'un fleuve.

Il s'ensuit que, si même les composantes à isoler étaient réellement sinusoïdales, les résultats des calculs pourraient différer des sinusoïdes par l'existence de parties aléatoires.

Courbes de reconnaissance. -

Quatre courbes de reconnaissance ont été tracées

(fig. 8). La première, obtenue par la combinaison multiple SI S2' efface pratiquement toutes les composantes jusqu'à la période 4. La deuxième, S3S2' jusqu'à la période 6.

La troisième, ^{S6 S5'} laisse subsister surtout les composantes de période supérieure à 13ans; et la quatrième, ^{S6 S7'} conserve surtout les composantes de période supérieure à 15 ans.

Courbes ^{S6 S7' -} Le tracé de cette quatrième courbe a l'aspect d'une sinusoïde

à axe incliné pour les hauteurs de crue; elle est beaucoup plus dissymétrique pour les ~~

ANALYSE HARMONIQUE.

dates. Cela peut tenir à l'importance différente des composantes conservées, mais on voit, par la forme de ces courbes, qu'un petit nombre de sinusoïdes suffirait pour repro- dùire les graphiques ^{S6 S7} dans les deux cas. La courbe des hauteurs montre une période d'une quarantaine d'années. On peut admettre provisoirement qu'une oscillation ayant

rn

150

200 150

600

500

__ hauteur

Fig. 8.

_____date

2000

6000

5000

4000

5000

4000

une période apparente de cet ordre de grandeur était, pendant les années considérées, absolument prépondérante pour les hauteurs de crue parmi les. composantes de périodes supérieures à 15 ans. Pour les dates, cette oscillation semble avoir eu une amplitude relativement moins grande, quoique encore importante.

La courbe des dates présente aussi des ondulations secondaires assez marquées et dont l'écartement de sommet à sommet dépasse probablement 10 ans.

La différence de phase est grande entre les courbes S6 S7 des hauteurs et des dates.

Le coefficient de corrélation est ici égal à

-0,798,

correspondant à un arc de 143°, soit de 0,4 de ^{:2 Tc.} La différence de phase mesurée sur le graphique étant de 16 ans, on trouve bien pour la période de la composante prépondérante

16: 0,4.

=

40 ans.

C'est une première application de la propriété de r énoncée dans le cas des sinusoïdes.

En réduisant (1) les courbes ^{S6 S7} à l'échelle du graphique des données dans l'hypo- thèse de la prépondérance de la période de 40 ans environ, on voit que l'ensemble des

(1) H. LABROUSTE, Tables numériques pour l'analyse des graphiques résultant de la superposition des sinusoïdes.

Paris, les Presses Universitaires de France, 1930, p. XXXVII, note (1),et p. 60.

I~ LE MAXIMUM ANNUEL DE LA SEINE A PARIS.

composantes longues détermine des variatiolls de hauteur de crue de l'ordre de ^2ffi,20 et de dates de l'ordre de 60 jours.

Courbes S6 S5' - La courbe ^{S6 S5} des hauteurs montre en A, B et C des maxima secondaires équidistants. Ils indiquent l'existence d'une composante dont la période est comprise entre 13 et 15ans. On retrouve ici l'indication tirée de la courbe précédente des dates. La courbe ^{S6 S5} des dates montre des ondulations secondaires encore plus rapprochées, distantes de 10 ans environ.

Courbes S3 Sc' -- La courbe S3S2 des hauteurs montre des maxima annoncés par la courbe ^{S6 S5'} et l'on voit de plus que ces maxima sont séparés par des portions de courbe assez plates. Ceci se produit quand on a la somme d'une sinusoïde et de son harmonique.

La courbe considérée indique donc qu'en plus d'une composante de période entre 13 et 15 ans, doit exister une composante de période de l'ordre de 7 ans.

La courbe S3 S2des dates confirme cette possibilité par la disposition de ses sommets.

Enfin, les courbes SI S2 apportent une nouvelle confirmation de l'existence des composantes envisagées.

Développement. - Les périodes possibles, supérieures ^à 4 ans, étant reconnues, les composantes -correspondantes des deux séries ont été isolées par la méthode des combinaisons linéaires d'ordonnées, due à M. et Mme Labrouste (1). Les restes successifs ont montré l'utilité de calculer de même les composantes de période de 4, 3 et ² ans.

La figure 9, où les graphiques se rapportant à la hauteur des crues sont en gros traits et ceux concernant la date des maxima en trait fin, reproduit les résultats des calculs. Les valeurs des ordonnées des composantes calculées, ainsi que le reste obtenu par soustraction de leur somme des données, sont réunis dans le Tablea,u V.

Les combinaisons multiples suivantes ont été utilisées pour le calcul, et le rapport des résultats a permis de relever les valeurs des périodes, indiquées en regard des combi- naisons.

ComhinaisOll.

S, 5:: 5,l,:Z, S,S,Z1Z2(S,)"

S,Z,l2(S, S,Z,Z'leS, Zj/e(s' Z;/2Sl(SJ (s,

Péi'iotle.

13,'7 ans 9,7 6,5

il.

3

:2

Les séries ne sont pas assez longues pour que des combinaisons plus sélectives puissent être utilisées, aussi les composantes calculées ne sont pas encore suffisamment pures. Il semble que la longueur de la période soit assez bien définie pour les trois premières. Elle n'est certainement qu'approximative pour les autres. lIen résulte une certaine imprécision sur les ordonnées calculées.

Les courbes de période apparente de ² et de 3 ans sont en réalité une superpo-

(I) Analyse des graphiques résultant de la superposition des sinusoïdes (Mém. Aead. sei., Paris, t. 64, 1940).

2 1Il

1

ANALYSE HARMONIQUE. 1:)

~~ _fi

1

A 1)aée^"-

A

A A

J .

fi

^A

f\/~ ^{~!\ \ f\ IV\}

^J\A

!'1 100

F

J~V

J \ ~~\A

v

y

J D

1y ^V

1 \ f1

0

- -

Tc 6,5

T, 4.

•...•••.•./"'\.

-../ v--"

/""'.. t-- _1- __ k. /'""1/\

~~ ~AV'\!

/ V \J 'J ~ \J

_V

'" /'1

f\

1\

,,'r\ f\ r l\ f\

f\- /\~

AV /\ V^fi"'-'f\

'f ~

^Vf\

~f\"/\ \"

V vVVV~VV'v\"

f\f\flf\" _A I\f\rf\f\f\

V.Vf\f\f\f\f\\f\1'\v~ VVVVV'!JVV_1\"""

JV VV\VVV vv vv 1

A " Il^{A A} Il Il^{A 1.• A .•}

V "'VYVVv vyyV vv

fi" f\ f\ ,A A fi

vv y vvvy~

m

Fig. g.

sition de composantes de périodes voisines. D'ailleurs, pour la courbe T

=

^2, on s'est contenté de relier les points calculés par des éléments de droite.

Jf) LE MAXIMUM ANNUEL DE LA SEINE A PARIS.

TABLEAU V.

Période 13,7 ans.

o .

1 .

.% •••••••.•

3 .

.1.. .

J .

6 .

7 .

8 .

G ..•...

1870. 1880. 1890.

Hauteur.

+(}~22

+0,32 +0,35 +0,32 +0,21 +0,04

1900.

-0,10 -0,37

---0,55

-(J,65 -0,65 '-0,52 -0,30 --0,02 +0,31 +0,58

mo.

+0,76 +0,80 +0,69 +0,46 +0,14 --0,19

-°,48

-0,67

-°,74

-0,66

1920. 1930. 1940.

~.

Période: 9,7 ans.

0 .

1. .

2 .

..v .

4 .

D .

6 .

7 .

8 .

G .

-0,24 -0,05

-f-O,I2

+0,22 +0,27 +0,26

+0,23 +0,14

-j-O,OI

-0,10 -0,31

~o,36

-0,31 -0,12 +0,14 +0,35

+0,41 +0,32 +°,°7

~O,I7

_0,30 -0,28 -0,15 +0,03

"

+0,1..) -j-O,I2

Période: 6,5 ans.

0 .

'1. .

2·, ... , ..

v.. .

4 .

J .

6 .

7

8:::::::: .

Il. .

+0,20

-f-O,20

-0,11 -0,16 -0,J2

+0,14 +0,15 +0,05 -0,15 -0,17 +(),05 +0,23 +0,22 +0,02 -0,24

-0,32 -0,18 +0,05 +0,31 +0,41 +0,20 --0,22 -0,50 -0,41 +0,04

+0,18 +0,52 +0,15 --0,27 -0,51 -0,46 -0,10 +0,36 +0,68 +0,57

-o,og -0,82

--0,87

-0,11 +0,80 +1,00 +0,21 -0,79

-°,96

Période: 4 ans.

0 .

'1. .

':2 ...•..

'.il .

4 .

v .

6 .

7 .

8 .

G .

-O,JO

+0,68

+O,lg

-0,43 -0,31 +0,36 +0,51

-0,30 -0,66 +0,33

-!-0,71

-°,40 -°,7'1

+0,51 +0,7°

-0,50 -0,61

+0,35 +0,41 -0,08 -0,18 -0,17 -0,03

-t-O,q2

+0,22 -0,61 --°,41

+0,66 +0,61 -0,50 -°,77 +0,20 +0,85 +0,12 -o,go

-°,40

+0,98

+0,67

-0,96 -0,78

+.0,89 +°,72 -0,85 -0,62 +0,84 +0,56 -'--0,80

-0,57

ANALYSE HARMONIQUE.

TABLEAU V (suite).

-0,42 +0,14+0,59+0,59-°,45 -0,31

+0,18 +0,11 -0,75 +0,36 +0,61

-0,28 ---0,83 +0,16 -0,37-

+0,02 +0,63 +0,57 +-0,01

+0,32 +0,33 -~o, 75 -1-0,26

~0,26 --0,89 -1-0,25 -0.28

-0,25 +0,40 +0,36 +0,14

-1-0,57 +0,6t -0,56 -1-0,10

-0,21 -0,94 +0,30 -0,25

-°,46 -1-0,27 +0,16 Période

:

2ans.

--0,24

-0,15 +-0,85 +0,54 --:-:0;22 +0,21

+0,01 -0,67

-0,7°

+0,36 -0,19

+0,18' +0,52

-+-0,77

-°,40 +0,21

-0,39 -0,39 -0,82

-1-0,/11 -0,22

~ +0,54+0,87--0,44+0,23

-+-0,22

-o,7~~

+0,06 -0,79 +0,40

-0,28

+0,87 +0,05 +0,61 -0,34 +0,37

-°,93 -0, I~).

-0,41 -0,36

+0,94 +-0,17 +0,'24 +0,26

-°,93 -0,31 -O,O?

Dates.

Période

:

13,7ans.

-II ,4

+ 0,6 -II,9

4,G 9,7

8,9 6,4

-12,2

1,9

-14,0 +-13, "

2,8 -13,0-;-

-1-

7,6 + 5,9 -10,0 +-

1,7 +

8,0 4,7

4,5

7,3 ++ 2,0 8,8

+ 4,6 -1-

8,5 Période:

ans. 9,7 -10,7

-15,0 -15,1

-16,0 -13,9

-

9,8

6,6 + 0,7 +

3,7 + 9,4 +-

7,3 +12,7+13,1

-t-11,2

+-16,3 +II,O +IO,5

+-13,3 + 4,4 +

5,8 +-

3,7 3,3

-

2,4

-

7,3 8,5

1940.

1930.

1920.

1910.

1900.

1890.

auteur (suite). - Période: 3ans.

1870.

1880.

R

O.

- -

1

- -

2.

-

-0, 15 ..

-

+0,

.:>. 85

4.

-

49 -0, J.

-

--0,61

G.

-

, +1 16

ï

-0,53 -

8

-

--0,55 9.

-

-+-0,96

O.

-

-0,69

!

^+0,91

^-

2

-

,01 -1

"

^.~). ^+°,92

-

4.

- -°,72

J

-

+0,54

G.

-0, -

Q,....,

ï

vi ^{,18 +0 +0,}

22

8.

29---'--:0, -0, 17 9.

46 +-0,22.+0,

O.

- -

-1

- -

2.

- -

.. ^-

,)

-

4.

-

-

;).

-

- G.

- -

ï ^- -

8 ^-

-

9

- -

O.

- -

1.

-

-

2.

- -

3.

- -

4.

- -

J.

- -

G.

.. - -

ï. - -

8.

^- -

9.

- -