Année universitaire 2019/20 SMIA-S2
M8 : Analyse 2 Série 3
Exercice 1. Étudier la convergence des intégrales suivantes : 1- Z 1
0
lnt 1 +t2dt. 2- Z 1
1
1
t↵(lnt) dt,↵>0et >0.
Exercice 2. Étudier, suivant les valeurs de↵>0et >0, la convergence des l’intégrales généralisées :
I= Z 2
1
(1 +x) x 2 + 1
x↵(x 1) dx, et J = Z 1
2
(1 +x) x 2 + 1 x↵(x 1) dx
(Indication :pour J on pourra penser à un développement asymptotique au voisinage de+1à un ordre convenable.) Exercice 3.
1- Montrer qu’il existe une fonctiong: [1,1[!Rcontinue, bornée et telle que
8x 1, sin(x)
px+ sin(x) =sin(x) px
sin2(x)
x +sin3(x) xpx g(x).
2- Étudier la convergence des intégrales suivantes : a) Z 1
1
sin(x)
px dx. b) Z 1 1
sin2(x) x dx.
3- Déduire la nature de l’intégraleZ 1 1
sin(x) px+ sin(x)dx.
Exercice 4. a- Etudier la convergence de l’intégrale généraliséeZ 1 0
e x e 2x
x dx.
b- Si cette intégrale est convergente, calculer sa valeur.
Exercice 5. (CF Printemps 2016) Soita2]0,1[. On poseIa=
Z 1 1
cosx
xa+1dx et Ja= Z 1
1
sinx xa dx.
1) Montrer queIa est une intégrale convergente.
2) En déduire queJa converge.
Aide:On pourra utiliser, soigneusement, une intégration par parties.
3) Montrer queZ 1 1
sin2x
x dxdiverge.
Aide: On pourra linéarisersin2x.
4) En déduire queZ 1 1
|sinx|
x dxdiverge.
