www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Série n° 5 exercices « Etude de fonction » 2éme Bac SM
EXERCICE 1:
Pour tout entier naturel n, on appelle f la fonction définie sur n
0;1 par : f xn( )xn12
1x
12 si
0;1x et fn(0) fn(1)0
On note C la courbe représentative den f dans un repère orthonormé n
O i j du plan ; ;
(unité graphique: 10 cm)
1- Montrer que C est un demi-cercle de rayon 2 dont on précisera le centre 0 2- Soit n un entier naturel non nul
Justifier que f est dérivable sur n
0;1 et déterminer la dérivée fnde f sur n
0;1Montrer que pour tout x
0;1 fn a le même signe que 1
1
n 2 n x
Montrer que f est dérivable en 0 et déterminen fn(0).Interpréter géométriquement le résultat f est-elle dérivable en 1? n
Interpréter géométriquement le résultat
e) Dresser le tableau de variation de f (on ne calculera pas l'extremum) n 3- a) Soit n un entier naturel
Etudier le signe de fn1 fn sur
0;1b) En déduire la position relative de C et n Cn1
c) TracerC ,0 C et1 C dans le même repère 2
O i j . ; ;
EXERCICE 2:
Soit f la fonction définie sur par :
1) a) Montrer que f est dérivable sur et que pour tout ;
b) Dresser le tableau de variation de f.
c) Tracer la courbe de f dans un repère orthonormé.
2) a) Montrer que f réalise une bijection de , sur lui-même.
b) Expliciter pour . En déduire que la droite : est un axe de symétrie pou
3) Soit g la fonction définie sur , par :
a) Montrer que g est continue à gauche de .
b) Montrer que g est dérivable sur , et que : pour tout .
2;
( ) 224 f x x
x
2;
x
2;
28
3( )
4 f x
x
Cf
2;
x
( )
f f x x>2 y x=
Cf0;2
1 1
( )
2 4 2
( ) 5
4 2
f x si x
g x
si x
2
0;2
2
( ) cos sin g x x
x
0;
x 2
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4) a) Montrer que , on a : .
b) Montrer que l'équation admet dans , une solution unique .
5) Soit la suite réelle définie sur par :
a) Montrer que : .
b) Montrer que : et en déduire que : .
c) Montrer que est convergente et donner sa limite.
6) On pose pour tout , .
a) Vérifier que
b) Dresser le tableau de variation de h
c) Montrer que h réalise une bijection de , sur un intervalle que l’on précisera.
7) Soit la suite définie par ; .
a) Montrer que ; .
b) En déduire que est convergente et déterminer sa limite.
3 2; x
( ) 2 g x 3 ( )
g x x ;
3 2
Un
0
1
3
n n
U
U g U n
n
3 Un 2
n 1 2
n 3 n
U U n 2
3 3
n
Un
Un0;2 x
5 1
( ) ( )
8 2
h x g x
1 1
( ) 2 2sin h x x
0;2
Vn n 1 21
1 n
n k
V h k
n n
n 1 1 1 12
h Vn h
n n
