www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Série n° 5 exercices « Les suites » 2éme Bac SM

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EXERCICE 1

Soit la suite un définie par et pour tout entier n, . 1. Calculer les termes et .

2. Montrer que la suite n’est ni arithmétique ? ni géométrique ? 3. On admet que, pour tout n, n’est pas nul. On pose : a) Calculer les trois premiers termes de .

b) Déterminer la nature de .

c) Exprimer en fonction de n. En déduire en fonction de n.

4. Calculer

5. On pose pour tout n dans IN ,

Exprimer en fonction de n , puis calculer CORRECTION :

1. On a : et .

2. On a : et donc n’est pas arithmétique.

Puis et donc n’est pas géométrique.

3. a) On a : , et .

b) Soit .On a :

Ainsi, pour tout : , La suite est donc arithmétique de terme initial et de raison 3.

c) Pour tout ; , donc pour tout :

 

0 1

u  1

2 2 3

n n

n

u u

  u

 u1 u₂

 

un n ^{1 2}

n

v  u

 

 

vn u_n

lim _n

n u



0 1

1 1 1

n

u u n

S    u

Sn ^lim n

n S



0 1

0

2 2

2 3 5

u u

 u 

 ^{1 1} ₁

2 1

2 3 4

u u

 u 



1 0

3

u u  5 _{2 1} 3

u   u 20

 

0

2 5 u

u  ²

1

5 8 u

u 

 

0

1 2 3 v  u  ₁

1

1 2 6 v  u  ₂

2

1 2 9 v  u 

nIN ₁

1

1 2

n

n

v ^  u _ 1 2

2 2 3 2 4

2 4 3

n n n n

n n

u u u u u v

 



 

 

 

nIN v_n1 v_n 3

 

nIN v_n v₀ nr nIN v_n 3 3n

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 De plus, pour tout ,

Donc ; d’où .

4.

5. pour tout n dans IN , et comme : donc : on obtient :

Or la suite est donc arithmétique, d’où :

Donc : Et

EXERCICE 2:(6 points)

Soit

 

2 1

3 6

1

n n

n

n

U U

U ^ U

 

   n IN 1)Montrer que :  n IN : 3U_n 4

2) a) Montrer que la suite

 

b) En déduire que

 

 

3 1 3

n 2 n

U _   U  b) Déduire que :  n IN ; 1

3 2

n

Un      . Retrouver alors la limite de

 

4) a) Montrer que  n 4 ; 2ⁿn² b) Déduire que  n 4 ; n U





 n. Déterminer alors_n^lim n U





   5) On pose pour tout nIN ;

0

6 1

n n

k k

S  _ U



0

2 1

n k n

k k

S U

 U

 



b) Déterminer la limite de S puis celle de _n S_n.

nIN _n 1 ²

n

v  u

2

n 1

n

u  v



2

n 2 3

u  n



lim lim 2

2 3 0

n un n n

  

 

0 1

1 1 1

n

u u n

S    u 2

n 1

n

v  u ^{1 1}





2 ⁿ

n

u  v 

     





1 1 1 1

n 2 n

S  v   v    v 

 

0 1

( 1)

1 1 1

2 ⁿ

n fois

v v v



 

 

      

 

 

 

0

0 1 ( 1)

2

n n

v v v   v v  n 

( 1)(3 6) 2 n n



1 ( 1)(3 6)

( 1)

2 2

n

n n

S      n 

( 1)(3 8) 4 n n

 lim _n

n S

  

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 EXERCICE 3: (points)

On considère la suite

 

 

1 2

1

n n

n

U U

U

 

 1) a) Montrer que pour tout entier n , U_n 0.

b) Montrer que

 

c) Déduire que

 

2) Soit la suite

 

n

V

 U

a) Montrer que

 

b) On déduire V puis _n U en fonction de n et retrouver _n lim _n

n U

 . 3) On pose pour tout nIN^:

0 n

n k

k

S U







a) Montrer que la suite

 

b) Montrer que pour tout nIN^, ^{1 1}

n 1

U  n n

 c) Montrer que : 2 ¹

n 1

S  n

 . En déduire que la suite

 