www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Série n° 4 Exercices sur « Les suites » 2éme Bac SM

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EXERCICE 1:

On considère la suite définie par son premier terme et, pour tout enter naturel n, par .

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

2. Démontrer que, pour tout entier , est divisible par 6.

On définit la suite d'entiers par, pour tout entier naturel ,

3. On considère l'affirmation : « pour tout entier naturel n non nul, est un nombre premier » Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse en justifiant la réponse

4. a) Démontrer que, pour tout entier

b) En déduire que, pour tout entier , et sont premiers entre eux c) En déduire, pour tout entier , le PGCD de et

5. a) Vérifier que : .

b) En déduire que si n est de la forme avec entier naturel, alors est divisible par 5.

c) Le nombre est-il divisible par 5 pour les autres valeurs de l’entier naturel n? Justifier CORRECTION :

1) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, .

• . Donc, l’égalité est vraie quand n = 0.

• Soit . Supposons que . Alors

. On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, .

2) Soit .

.

De plus, est un entier relatif car n est supérieur ou égal à 1. Ceci montre que, pour , est un entier divisible par 6.

3) Pour , on a : . En particulier,

n’est pas un nombre premier et donc il existe au moins un entier naturel non nul n tel que ne soit pas premier. L’affirmation de l’énoncé est fausse.

4) a) Soit .

 

un

0 3

u 

1 2 6

n n

u_  u 

9 2ⁿ 6 un    1

n u_n

 

vn n1

6

n

vn u

 vn

1

n v_n12v_n1 1

n v_n v_n1 1

n u_n u_n1

 

24 1 5

4k2 k u_n

un

9 2ⁿ 6 un   

0

9 2     6 9 6 3 u0

0

n u_n  9 2ⁿ6 u_n1 2u_n 6 2 9 2



 ⁿ  6



6

 

1

2 9 2 12 6 9 2 6

n n

par hypothèse de récurrence



    

  

9 2ⁿ 6 un    0

n u_n  9 2ⁿ6

 

1 1

3 3 2 2 6 6 3 2 1

n n





    

  

3 2 ^n11 n1 u_n

0

n v_n  3 2^n11 v₆   3 2⁵ 1 3 32 1 95 5 19

  



 

v6 v_n

0

n 1



1



2 1 2

n n 6 n

v_  v  u _  un

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b) Soit . . Donc, il existe deux entiers relatifs a et b tels que . D’après le théorème de Bézout, et sont premiers entre eux.

c) Soit .

Donc, pour tout entier naturel non nul n,

5. a) donc :

b) Soient k un entier naturel puis n = 4k + 2. et donc ou encore

. On en déduit que ou encore ou enfin .Ceci montre

que est un multiple de 5.

c) Soit n un entier naturel. n est soit de la forme 4k, k ∈ N, soit de la forme 4k + 1, k ∈ N, soit de la forme 4k + 2, k ∈ N, soit de la forme 4k + 3, k ∈ N,

• Soient k un entier naturel puis n = 4k. Alors, puis ou encore

. Mais alors . Dans ce cas, n’est pas divisible par 5.

• Soient k un entier naturel puis n = 4k + 1. Alors, 2 puis ou encore

. Dans ce cas, n’est pas divisible par 5.

• Soient k un entier naturel puis n = 4k + 3. Alors, puis ou encore

. Dans ce cas, n’est pas divisible par 5.

En résumé, pour tout , est divisible par 5 si et seulement si n est de la forme 4k + 2 où k est un entier naturel.

EXERCICE 2:

Démontrer par récurrence que la proposition :« est un multiple de 5 » est vraie pour tout entier naturel n.

CORRECTION : Initialisation

Au rang , . Or, 0 est divisible par 5. Ainsi la propriété est vraie au rang . Hérédité

On suppose que la proposition « est un multiple de 5 » est vraie pour un certain rang n ; autrement dit, on suppose que pour un entier n positif, est divisible par 5.

Regardons la proposition au rang : .

Par hypothèse de récurrence, est un multiple de 5 donc il existe un entier p tel que . Ainsi,

1 2 6 uⁿ





 6 2u_n



1 0

n 1v_n1 

 

2 v_n 1 a v _n1  b v_n 1 vn v_n1

0

n pgcd u u



_n, _n1



 pgcd



6 , 6v_n v_n1





1



6 pgcd v v_n, _n 6

 



_n, _n 1



6 pgcd u u _  2416 1 3 5   ^{24 1 5}

 

 

4 2 4 2

2ⁿ 2 ^k  2 ^k2 ^{2n }

 

^{1 k2 52}

 

 

2ⁿ 4 5 un   ^{9 4 6 5}

 

un ^{30 5}

 

un ^{0 5}

 

un

 

⁴

^{ }

2ⁿ  2 ^k 1 5 un   ^{9 1 6 5}

 

un ^{3 5}

 

 

n 0 5

u  u_n

 

⁴

^{ }

2ⁿ  2 ^k 2 2 5 un   ^{9 2 6 5}

 

 

n 2 5

u  u_n

 

^{4 3}

^{ }

2ⁿ  2 ^k2 3 5 un   ^{9 3 6 5}

 

 

n 1 5 u 

un

0 n u_n

Pn ⁷ⁿ^{2 n}

0

n 7⁰2 =1 1=0 ⁰  P_n n0

7ⁿ2 ⁿ

7ⁿ2 ⁿ 1

n 7^n12^n1  7ⁿ 7 2^n12

 

 

7 2 5 2 2

7 2 7 5 2 2 7 2 2 2 7 5

2 7 2 7 5

n n

n n n

n n n

n n n

    

     

     

    

7ⁿ2ⁿ 7ⁿ2ⁿ5p

1 1

7^n 2^n  2 5p 5 7ⁿ

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Comme est un nombre entier, est divisible par 5 et la proposition « est un multiple de 5 » est vraie au rang :

la propriété est héréditaire.

Conclusion

La proposition « est un multiple de 5 » est vraie pour n = 0 et elle est héréditaire donc, par récurrence, pour tout , est un multiple de 5.

EXERCICE 3:

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, la proposition

« est divisible par » est vraie.

CORRECTION :

Initialisation

Au rang , et . Or, 2 est divisible par 2. Ainsi la proposition est vraie au rang . Hérédité

On suppose que la proposition « est divisible par » est vraie

pour un certain rang .

Montrons que la propriété au est vraie :

Par hypothèse de récurrence, est divisible par 2 k donc il existe un entier p tel que . Ainsi,

Comme est un nombre entier, est divisible par et la proposition

« est divisible par » est vraie au rang :

la proposition est héréditaire.

Conclusion

La proposition est vraie pour et elle est héréditaire donc, pour tout , est divisible par .

 

5 2p 7ⁿ

  

2p7ⁿ 7^n12^n1 P_n ^{7n2 n}

1 n

Pn ^7n2n

0

n 7ⁿ2ⁿ

Pn



¹



²

 

^{2 1 2}

 

An  n n n n ₂ⁿ

1

n A₁ 2 2¹2 P_n n1



¹



²

 

^{2 1 2}

 

An  n n n n 2ⁿ

n

1

Pn_ A_n1 



n 1) 1 (



n 1) 2

 

2(n 1) 1 2(



n1)



    

     

2 3 2 1 2 ( 1)

3 2 2 2 1

An

n n n n

n n n

      

    

An An ²ⁿp

 

1 2ⁿ 2 2 1

An_    p n

 

 

2^n1 p 2n 1

   



^{2 1}



p n

1

An_ ^2n1



¹



²

 

^{2 1 2}

 

An  n n n n 2ⁿ n1

Pn n1 n1



¹



²

 

^{2 1 2}

 

An  n n n n 2ⁿ