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www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Série n° 1 Exercices sur « Les suites » 2éme Bac SM

EXERCICE 1

1/ Soit n un entier naturel non nul.

Montrer que l’équation :xⁿxⁿ^¹ +     x 1  0 possède une unique solution dans



^0,^



. On la note _n

2/ Montrer que la suite

 

n _n_ est décroissante. En déduire qu’elle converge.

3/ Montrer que, pour tout entier naturel ≥ 2 ∶ 1 1

2

n n n

  ^ ^ . 4/ Déterminer lim _nⁿ ¹

n  ^

 . En déduire lim _n

n 

 . EXERCICE 2

Soit la suite

 

Un définie par :

0

1

1 2

n n

n

U

U U n IN

 U

 

   

 



1) a) Calculer U et ₁ U ₂

b) Montrer que la suite

 

Un n’est ni arithmétique ni géométrique 2) a) Montrer que :



 n IN



Un ⁰

b) Montrer que la suite

 

Un est décroissante

c) En déduire que la suite

 

Un est convergente et calculer sa limite 3) Soit la suite

 

Vn définie par :

1

n n

n

V U n IN

 U  



a) Calculer V et montrer que ₀

 

Vn est une suite géométrique b) Déterminer la limite de la suite

 

Vn

c) Montrer que : ¹₁

2 1

n n

U  _  n IN



d) Retrouver la limite de la suite

 

Un . EXERCICE 3

Soit

 

Un la suite définie sur IN par U₀ 4 et

2 1

3 6

1

n n

n

U U

U ^ U

 

  .

1) Montrer que



^{ }ⁿ ^IN



^;³Un ⁴

2) a) Montrer que la suite

 

Un est décroissante.

b) En déduire que

 

Un est convergente et déterminer sa limite.

3) a) Montrer que



^{ }ⁿ ^IN



^{on a :} 1

 

3 1 3

n 2 n

U _   U  b) Déduire que



^{ }ⁿ ^IN



^, 1

3 1 2

n

Un_  

     . Retrouver alors la limite de

 

Un . 4) a) Montrer que :  n 4 ; 2ⁿn².

(2)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 b) Déduire que  n 4 ; ^{n U}



_n ³



¹

 n. Déterminer alors ^lim



³



n n Un

  . 5) On pose pour tout n IN,

0

6 1

n n

k k

S  _ U



 ^et

0

2 1

n k n

k k

S U

 U

 



 a) Montrer que



^{ }ⁿ ^IN



^{; on a :}U_n_₁S_n ^–S_n⁴ .

b) Déterminer la limite de S puis celle de_n S_n. EXERCICE 4 (7 pts)

On considère la suite

 

Un définie par

 

0

1 2

2

3 1

n n

n

U

U U n IN

 U

 

  





 1) a) Montrer que : U_n 1 pour tout nIN. b) Etudier la monotonie de

 

Un

c) En déduire que

 

Un est convergente et déterminer sa limite 2) Soit la suite

 

Vn définie par :

 

2

1

n n

n

V U n IN

U

  

 a) Montrer que la suite

 

Vn est géométrique b) Exprimer V puis _n U en fonction de n _n c) Retrouver la limite de la suite

 

Un .

3) On considère la suite

 

Wn définie sur IN par W_n 2 U_n Montrer que les suites

 

Un et

 

Wn sont adjacentes.

4) Soit nIN^ , on pose : ₂

0

1

n

k

n k

S 



_ U a) Vérifier que : ¹₂ 1 ₂¹₁

2 ^k Uk   ^ b) Montrer alors que : 2 1

3 1 4

n

Sn  n       c) Calculer la limite de^Sⁿ

n .