Université de Abdelhamid Ibn Badis de Mostaganem Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique Département de Mathématiques et d’Informatique
Mémoire de …n d’étude
Pour l’obtention du diplôme de Master en Mathémathiques Cycle LMD
Spécialité :Analyse Harmonique et EDP Thème
Fermeture de l’image d’un opérateur non borné
Présentée Par
ABSI AICHA
Soutenu le 26/05/2015
Les mombres de Jury
Mr.Bahri Président M.C.A U.MOSTAGANEM
Mme.Bensikaddeur Examinateur M.A.A U.MOSTAGANEM
Mr.Ould Ali. Encadreur M.C.A U.MOSTAGANEM
Remerciments i
Résumé ii
Introduction 1
1 Rappel 2
1.1 Produit scalaire, norme, espace de Hilbert . . . 2
1.2 Opérateur borné, opérateur non borné . . . 3
1.3 Opérateur fermé et le théorème du graphe fermé . . . 8
2 Opérateurs associés à un opérateur fermé 10 3 Caractérisation des opérateurs non bornés à image fermé 14 3.1 Fermeture de l’image d’un opérateur borné . . . 14
3.2 Stabilité de Hyers-Ulam, et l’inverse généralisé . . . 15
3.2.1 Dé…nition de la propriété de stabilité de Hyers-Ulam . . . 15
3.2.2 L’inverse généralisé d’un opérateur . . . 16
3.3 Fermeture de l’image d’un opérateur non borné . . . 19
3.3.1 Exemple : Application aux opérateurs de multiplication . . . 23
TABLE DES MATIÈRES 3
Je tiens à remercier l’enseignant Mohand Ouldali qui à dérigé mon travail, Je tiens aussi à remercier les mombres du jury pout m’avoir donné l’occasion de discuter ce travail. Il est important pour moi de remercier ma famille : mes parents , mes frères et ma soeur,
RÉSUMÉ
Ce mémoire est consacré à l’étude de la fermeture de l’image d’un opérateur fermé densement dé…ni sur un Hilbert H (c’est à dire non borné ). En e¤et, on donne toutes les caractérisations récoltées dans la litterature mathématique pour q’un opérateur non borné
Il ya beaucoup d’applications importantes de la fermeture de l’image dans l’étude spectrale d’opérateurs di¤érentiels et aussi dans le contexte de la théorie de perturbation, cette impor-tance à été con…rmé par plusieurs travaux de recherche, nous citerons par exemple les articles suivants :
-(Q.Huang ; M.S.Moslehian[6]) qui ont donné la relation entre la fermeture de l’image d’un opérateur A 2 C (H), la propriété Hyers-Ulam stabilité et l’inverse de Moore-Penrose. -(S.H.Kulkarni ; M.T.Nair ; G.Ramesh[8]) qui ont donné quelques propriétés d’opéra-teurs non bornés à image fermè.
Dans ce travail nous rassemblons plusieurs resultats équivalents sur la fermeture de l’image d’un opérateur non borné sur un espace de Hilbert.
En rappel que l’étude de la fermeture de l’image d’un opérateur non borné A est en relation direct avec la résolution de l’équation Ax = y dans H, parce que la fermeture de R (A) est équivalente au fait que l’équation Ax = y est résolvable.
Notre manuscrit se compose de trois chapitres :
-Dans le premier on donne les di¤érentes notions mathématiques dont on a besoin : espace de Hilbert ; opérateur non borné ; opérateur fermé.
-Dans le deuxième chapitre on dé…nit des opérateurs associes à un opérateur fermé A 2 C (H). Ces opérateurs RA et SA sont bornés.
-Le dernier chapitre est consacré à l’étude des caractérisation de la fermeture de l’image d’un opérateur non borné (on donne le resultat principal de notre travail c’est-à-dire on montre les resultats équivalentes pour R (A) est fermé, avec A un opérateur non borné).
Chapitre 1
Rappel
1.1
Produit scalaire, norme, espace de Hilbert
Dé…nition 1.1.1 Soit E un espace vectoriel complexe. Un produit scalaire sur E noté h:; :i est une forme sesquilinéaire, hetmitienne, dé…nie positive :
E E ! C
(x; y) ! hx; yi
Sesquilinéaire : 8 u; v; w 2 E : hu; v + wi = hu; vi + hu; wi hu + v; wi = hu; wi + hv; wi
et 8u; v 2 E ; 8 2 C : h u; vi = hu; vi hu; vi = hu; vi Hermitienne : 8u; v 2 E : hu; vi = hv; ui
Dé…nie Positive : 8u; v 2 E : hu; ui 0et hu; ui = 0 , u = 0
Dé…nition 1.1.2 Une norme sur un |-espace vectoriel E est une application k k : E ! R+ véri…ant :
k xk = 0 () x = 0 8x 2 E
k xk = j j k xk 8 2 |; 8x 2 E k x + yk kxk + k yk 8x; y 2 E
Un |-espace véctoriel muni d’une norme k k est appelé un |-espace véctoriel normé ou simplement un espace normé.
Dé…nition 1.1.3 Un espace de Hilbert est un espace véctoriel H muni d’un produit scalaire (ie-une forme bilinéaire de H H dans R, symétrique et dé…nie positive) et qui est complet pour la norme associé
8x 2 H kxk =phx; xi
1.2
Opérateur borné, opérateur non borné
Dé…nition 1.2.1 Soit H un espace de Hilbert et soit A : H ! H un opérateur lineaire.On dit que A est borné s’il existe un nombre réel positif K telle que
kAxk Kkxk ; 8x 2 H
On note par B (H) l’ensembles des opérateurs lineaires bornés sur H. Notation
L (E; F ) : L’ensemble des opérateurs lineaires de E dans F .
D (A) : Le domaine de A est l’ensemble des vecteurs x 2 E pour lesquels il existe une image y2 F .
D (A) =f x, Ax est existe g N (A) : Le noyau de A est le sous espace de E dé…ni par :
N (A) =f x 2 D (A) ; A (x) = 0g R (A) : L’image de A est le sous espace de F dé…ni par :
R (A) =f y 2 F ; y = A (x) ; x 2 D (A)g
Dé…nition 1.2.2 Soient E et F deux espaces de Hilbert. et A 2 L (E; F ) :l’unique applica-tion lineaire A 2 L (F; E) telle que pour tous x 2 E , y 2 F on ait
hA (x) ; yi = hx; A (y)i est appelée adjoint de A:
Proposition 1.2.1 Soient E et F deux espaces de Hilbert. l’application A ! A est antili-neaire de L (E; F ) dans L (F; E) : de plus 8 A 2 L (E; F )
1.2 Opérateur borné, opérateur non borné 4
1) (A ) = A 2) kAk = kA k 3) kA Ak = kAk2
4) (AS) = S A :
Preuve. Par dé…nition du produit scalaire et de l’adjoint, pour tous x 2 E, y 2 F et A1; A2 2 L (E; F ) et 2 C, on a :
hx; (A1+ A2) (y)i = h(A1+ A2) (x) ; yi
= hA1(x) ; yi + hA2(x) ; yi
= hx; (A1) (y)i + hx; A2(y)i = hx; A1+ A2 (y)i
ainsi A ! A est antilineaire.
1)Monrons que (A ) = A pour cela on montre que pour tous x 2 E et y 2 F : hA (x) ; yi = h(A ) (x) ; yi:on a : hA (x) ; yi = hx; A (y)i = hA (y) ; xi = hy; (A ) (x)i = h(A ) (x) ; yi d’où (A ) = A .
2) Montrons que kAk = kA k on montre kA k kAk:
on utilise l’inégalité de cauchy schwartsz kA (y) k2 =
hA (y) ; A (y)i kA A (y) kkyk kAkk A (y) kkykc’est-à-dire on a :
kA (y) k2 kAkkA (y) kkyk (1.2.1)
Si k A (y) k > 0 alors on peut déviser l’inégalité 1.2.1 sur k A (y) k on obtient kA (y) k kAkkyk
Si k A (y) k = 0 l’inégalité 1.2.1 est véri…e
donc pour tout y 2 F on a k A (y) k kAkkyk d’où kA k kAk Maintenant on montre kAk kA k
on a k A k kAk et comme (A ) = A on a kAk = k (A ) k kA k d’où kAk = kA k:
3) Montrons que kA Ak = kAk2 comme kAk = kA k, on a :
kA Ak kA kkAk = kAk2 (1.2.2)
d’autre part : kA (x) k2 =
hA (x) ; A (x)i
= hA A (x) ; Axi par la dé…nition de A
kA A (x) kkxk par l’inégalité de cauchy schwartz kA Akkxk2
Par conséquent
kAk2 kA Ak (1.2.3)
de 1.2.2 et 1.2.3 on a k Ak2 =
kA Ak
4) Pour véri…er que (AS) = S A ;il su¢ t de montrer que pour tous x 2 E et y 2 F on a : h(AS) (x) ; yi = hS A (x) ; yi
par dé…nition de l’adjoint, on a : h(AS) (x) ; yi = hx; (AS) (y)i
= hA (x) ; S (y)i = hS A (x) ; yi
comme ceci est vrai pour tous vecteur x; y on a l’égalité (AS) = S A :
Dé…nition 1.2.3 Soit H un espace de Hilbert et A 2 B (H) alors A est auto-adjoint si A = A :
Exemples
1 Soit H un espace de Hilbert et I est l’opérateur identité si x; y 2 H alors
hIx; yi = hx; yi = hx; Iyi par conséquant I = I ; d’où I est un opérateur auto-adjoint.
2 Soit H un espace de Hilbert et A 2 B (H) alors les opérateurs A A et AA sont auto-adjoint.
on a d’aprés la proposition précédente :
1.2 Opérateur borné, opérateur non borné 6
Lemme 1.2.1 Soient H1; H2 deux espace de Hilbert et A 2 B (H1; H2)
a) N (A) = R (A )? b) N (A ) = R (A)? c) N (A )?= R (A)
Preuve. 1) D’abord. on montre que N (A) R (A )? pour cela .soit x 2 N (A) et soit z 2 R (A ) :comme z 2 R (A ) il existe y 2 H2 telle que A (y) = z donc hx; zi =
hx; A (y)i = hAx; yi = 0 ainsi x 2 R (A )? d’où N (A) R (A )?
ensuite nous montrons que R (A )? N (A) :dans ce cas soit v 2 R (A )? comme A Av 2 R (A ) on a :
hAv; Avi = hv; A Avi = 0 donc Av = 0 d’où v 2 N (A) :Par conséquant N (A) = R (A )?. 2) D’apès a) et la proposition précédente on a :
N (A ) = (R ((A ) ))?= R (A)? 3) On a :
N (A ) = R (A)? , N (A )? = R (A)? ? = R (A).
Dé…nition 1.2.4 Si A 2 C (H), (A) = C (A) est appelé spectre de l’opérateur A où (A) désigne l’ensemble résolvant dé…ni par :
(A) = 2 C ; (A I) dé…ni de D (A) dans H est inversible et R (A) = (A I) 1 2 B (H)
Dé…nition 1.2.5 Soient H un espace de Hilbert et A 2 B (H), on dit que A est positif si A auto-adjoint et
hAx, xi 0; 8x 2 H
Remarque 1.2.1 Si H un espace de Hilbert complexe et A 2 B (H) est auto-adjoint A est positif si et seulement si (A) [0, +1[.
Exemples
Soient H un espace de Hilbert complexe, R et S 2 B (H) sont positives, et A 2 B (H) et soit un nombre real positive.
i/ I est un opérateur positif ii/ A A est un opérateur positif iii/ R + S et S sont positives. Solution :
i/ On a I est auto-adjoint. si x 2 H alors
hIx; xi = hx; xi 0 d’où I est positif.
ii/ On a A A est auto-adjoint. si x 2 H alors
hA Ax; xi = hAx; Axi 0 d’où A A est positif.
iii/ R + S et S sont auto-adjoint. si x 2 H alors
h(R + S) x; xi = hRx; xi + hSx; xi 0 et
h( S) x; xi = hSx; xi 0 d’où R + S et S sont positives.
Dé…nition 1.2.6 Soit H un espace de Hilbert complexe et A 2 B (H), La racine carrée de A est un opérateur B 2 B (H) telle que B2 = A.
Dé…nition 1.2.7 Soit A 2 L (H1; H2) est dit densement dé…nie si D (A) = H1:
Dé…nition 1.2.8 Soient E et F deux espaces de Banach. on appelle opérateur lineaire non borné de E dans F toute application lineaire A : D (A) E ! F dé…nie sur un sous-espace vectoriel D (A) E à valeur dans F .
1.3 Opérateur fermé et le théorème du graphe fermé 8
Dé…nition 1.2.9 Soit H un espace de Hilbert complexe. une projection orthogonal sur H est un opérateur P 2 B (H) telle que
P = P = P2
1.3
Opérateur fermé et le théorème du graphe fermé
Dé…nition 1.3.1 Soient E et F deux espaces de Banach. et soit A : D (A) E ! F une application. le graphe de A est le sous espace vectoriel de E F noté G (A) dé…nie par :
G (A) =f(x; Ax) ; x 2 D (A)g
L’opérateur A est fermé si et seulement si G (A) est fermé dans E F .
Proposition 1.3.1 Un opérateur A dé…ni sur H et de domaine D (A) est fermé si et seule-ment si l’assertion suivante a lieu :
8 < : 8 fxng D (A) limn!+1 xn = x limn!+1 Axn = y ) x 2 D (A) et y = Ax
On note par C (H) l’ensemble des opérateurs fermés à domaine dense dans H .
Corollaire 1.3.1 Soit E un espace de Banach muni de deux normes k:k1 et k:k2:s’il existe
c > 0 telle que
8x 2 E kxk2 ckxk1
alors les deux normes sont équivalentes.
Théorème 1.3.1 (du graphe fermé) Soient E et F deux espaces de Banach. et soit A : E ! F une application. alors A est continue si et seulement si le graphe G (A) de A est fermé dans E F .
Preuve. On considére sur E la norme k:k2 dé…nie par :
kxk2 =kxkE +kAxkF
appelée norme du graphe.
(E; k:k2)est complet c-à-d :
Soit (xn)2 E une suite de cauchy. alors
8" > 0 9 n0 2 N:8n; m n0 : kxn xmk2 "
et on a :
kxn xmk2 =kxn xmkE +kAxn AxmkF
ceci implique que
kxn xmkE "
kAxn AxmkF " )
(xn) est une suite de cauchy dans (E; k:kE)
(Axm) est une suite de cauchy dans (F; k:kF)
) 9 x 2 E : xn ! x 9 y 2 F : xm ! y
d’où (xn)converge pour k:k2.
d’autre part
d’après le corollaire précédent on déduit qu’il existe c > 0 tel que kxk2 ckxkE ) kxkE +kAxkF ckxkE
) kAxkF (c 1)kxkE
Chapitre 2
Opérateurs associés à un opérateur
fermé
Dans ce chapitre nous associerons à tout opérateur A 2 C (H), des opérateurs bornés RA et
SA sur H. Ce lien nous permetra par la suite de caractériser la fermeture de l’image de A à
l’aide de ces opérateurs bornés
Soit A 2 C (H), alors l’opérateur I + A A est bijectif, auto-adjoint et positif de domaine dense dans H. On dé…nit alors les opérateurs RA= (I + A A) 1 et SA=pRA.
Proposition 2.0.2 Pour tout opérateur A 2 C (H), on a les assertions suivantes : 1. Si u 2 D (A), RA Au = ARA u.
2. (ARA) = A RA .
3. kRAuk2+kARAuk2 =hu; RA ui , 8u 2 H.
4. kARAuk2+k (I RA) uk2 =kRAuk2 hu; RAui , 8u 2 H D’où
RA et ARA sont bornés sur H et on a : kRAk 1; kARAk 12:
5. N (ARA) = N (A) :
6. Si u 2 D (A), SA Au = ASA u:
7. (ASA) = A SA :
8. kSAuk2+kASAuk2 = kuk2;8u 2 H
D’où , SA et ASA sont bornés dans H et on a : kSAk 1;kASAk 1:
10. N (ASA) = N (A) :
Preuve. 1) Soit u 2 D (A), on pose z = (I + A A) 1u = RAu; alors on a :
Au = A (I + A A) z = Az + AA Az = (I + A A) Az = (I + A A) ARAu
Nous obtenons directement la propriété en multipliant par RA = (I + AA ) 1
. 2) On a :
(ARA) u = (RA) (A) u = RAA u = A RA u;8u 2 D (A ) :
En utilisant la propriété 1 et le fait que D (A ) est dense dans D (ARA) ;on trouve le resultat.
3) On a : kRAuk2+kARAuk2 = hRAu; RAui + hARAu; ARAui = hRAu; RAui + hRAu; A ARAui Or, A ARA= I RA; car A ARA = A A (I + AA ) 1 = [(A A + I) I] (I + AA ) 1 = I (I + AA ) 1 = (I RA) D’où kRAuk2+kARAuk2 = hRAu; RAui + hRAu; (I RA) ui = hu; RAui , 8u 2 H
4) Estimons maintenant les normes de RA et ARA :
a) D’après la propriété (8) on a kSAk 1 donc
kRAk = k (SA)2k kSAk2 1 d’où kRAk 1.
b) D’aprés la propriété (3), on a pour tout u 2 H kARAuk2+k RA 1 2I uk 2 = hu; RAui kRAuk2 +k RA 1 2I uk 2 = hu; RAui hRAu; RAui + hRAu; RAui +hRAu; 1 2ui + h 1 2u; RAui +h 1 2u; 1 2ui
Opérateurs associés à un opérateur fermé 12 Donc kARAuk2 1 4kuk 2; 8u 2 H D’où kARAk 12
5) Soit u 2 H, tel que ARAu = 0, alors A ARAu = (I RA) u = 0 d’où u = RAu. Par
conséquent Au = 0, ce qui implique que u 2 N (A).
Inversement, soit u 2 N (A) alors u 2 D (A) et Au = 0 d’où ARAu = RA Au = 0, ce qui
nous donne que u 2 N (ARA).
6) On sait qu’il existe une suite de polynômes (qn)n telle que (qn(RA))n converge vers SA
dans B (H). Donc pour u 2 D (A) ; on a : SA A = lim
n!+1qn(RA ) Au = limn!+1Aqn(RA) u = ASAu
7) Soit u 2 D (A), alors 8v 2 H on a :
hASAu; vi = hSA Au; vi = hu; A SA vi
donc ASA = A SA sur D (A). comme D (A) est dense dans H, on obtient la propriété sur
H.
8) En vertu de 3), on a 8v 2 H ,
kSAvk2+kASASAvk2 =kSAvk2
Ce qui montre que (ASA)est borné sur R (SA) R (RA)qui est dense dans H, par conséquent
il est fermarble sur H.
Notons par B sa fermeture. soit v 2 H et vn = (SAwn) une suite qui converge vers v dans
H, alors les suites (ARAwn) et (RAwn)convergent respectivement vers Bv et SAv.
Comme A est fermé, on déduit que SAv 2 D (A) et Bv = ASAv c’est à dire ASA= B.
D’après la propriété 6 et le fait que R (SA) est dense dans H, on obtient pour tout u 2 H
kSAuk2+kASAuk2 =kuk2
9)Il est clair que R (SA) D (A)et que R (SA) R (RA)qui est dense dans D (A) muni de
De la propriété (8), on déduit que R (SA)est fermé dans le même espace ; …nalement D (A) =
R (SA).
10) Soit u 2 H; tel que ASAu = 0, donc SA ASAu = ARAu = 0 et alors u 2 N (ARA) =
N (A) :
Inversement, soit u 2 N (A), alors u 2 D (A) et Au = 0 donc ASAu = SA Au = 0, d’où u 2 N (ASA) :
Chapitre 3
Caractérisation des opérateurs non
bornés à image fermé
3.1
Fermeture de l’image d’un opérateur borné
Nous présontons dans cette partié une caractérisation qualitative de l’image d’un opérateur borné A sur un espace de Hilbert H. En fait nous donnons des conditions nécessaires et su¢ santes pour que R (A) soit fermé.
Théorème 3.1.1 Si A 2 B (H), alors les propiétés suivantes sont équivalentes : 1. R (A) est fermé
2. R (A ) est fermé 3. R (AA ) est fermé 4. R (A A) est fermé 5. (A) > 0
6. A+ est borné
7. La famille fR g >0 est uniformément bornée où R = (A A + I) 1
3.2
Stabilité de Hyers-Ulam, et l’inverse généralisé
3.2.1
Dé…nition de la propriété de stabilité de Hyers-Ulam
Dé…nition 3.2.1 Soient X; Y deux espaces lineaires normées et soit A est une application (n’est pas nécessairement lineaire) de X dans Y . on dit que A posséde la stabilité de Hyers-Ulam s’il existe une constante K > 0 tel que :
(a) 8y 2 R (A) ; 8" > 0; 8x 2 D (A) = k Ax y k "; il existe un élément x0 2 D (A) telle
que Ax0 = y et k x x0 k K":
nous appelons K la constante de stabilité de Hyers-Ulam pour A. et on note par KA
l’in…ni-mum de tous les constantes de la stabilité de Hyers-Ulam pour A:
Si A posséde la stabilité de Hyers-Ulam, alors pour tout "; la solution approximative x de l’équation Ax = y il correspent une solution exacte x0 de l’équation dans un voisinage K de
x:
Remarque 3.2.1 Si A est lineaire alors la condition (a) est équivalent à (b) et (c) telle que :
(b) Pour tout " > 0 et x 2 D (A) avec k Ax k "; il existe x0 2 D (A) telle que Ax0 = 0et
k x x0 k K":
(c) Pour chaque x 2 D (A) ; il existe x0 2 N (A) telle que
k x x0 k K k Ax k :
Dé…nition 3.2.2 Soient X; Y deux espaces de Banach. la conorme de T 2 C (X; Y ) est dé…nie par :
(T ) = inf k T x k: x 2 D (T ) avec d (x; N (T )) = inf
z2N(T )d (x; z) = 1
Si X; Y deux espaces de Hilbert, alors :
3.2 Stabilité de Hyers-Ulam, et l’inverse généralisé 16
3.2.2
L’inverse généralisé d’un opérateur
La notion d’inversibilité est une notion très importante dans tous les domaine de mathématiques. L’équation Ax = y possède une solution unique lorsque
l’opérateur linéaire A est inversible, malheureusement, on ne se trouve pas toujours dans ce cas, en pratique, on obtient souvent des données sous forme d’une matrice rectangulaire qui est un opérateur non inversible, ou bien dans le cas général on se trouve avec un opérateur non surjectif ou non injectif, ou d’inverse non borné. Dan ce cas on essaie de trouver un opérateur qui possède le maximum de propriété que possède l’inverse s’il existait, un tel opérateur sera appelé un inverse généralisé de A.
Dé…nition 3.2.3 Un opérateur A 2 C (X; Y ) posséde un inverse généralisé s’il existe un opérateur S 2 B (Y; X) telle que R (S) D (A) et
1. ASAx = Ax 8 x 2 D (A) 2. SASy = Sy 8y 2 Y 3. SA est continue.
on note l’inverse généralisé de A par A+:
Lemme 3.2.1 (a) Soit A 2 C (X; Y ) :supposons que N (A) admet un complément topolo-gique N (A)C sur X et R (A) admet un complément topologique R (A)c, ie
X = N (A) N (A)C et Y = R (A) R (A)C
Soit P est le projecteur de X sur N (A) parallélement à N (A)C et Q est le projecteur de Y sur R (A) parallélement à R (A)c, alors il existe un unique S 2 C (Y; X) véri…e :
(1) ASA = A sur D (A) (2) SAS = S sur D (S) (3) SA = I P sur D (A)
(4) AS = Q sur D (S) où D (S) = R (A) + R (A)c
(b) Sous les hypothése de la partie (a), S est borné si et seulement si R (A) est fermé. dans ce cas, S est un inverse généralisé borné de A avec D (S) = Y; N (A) = R (A)C et R (S) = D (A)\ N (A)C:
Dé…nition 3.2.4 (L’inverse de Moore-Penrose) Soient X; Y deux espaces de Hilbert et A 2 C (X; Y ) :Si les décompositions topologique dans le lemme 3.2.1 sont orthogonaux ie X = N (A) N (A)? et Y = R (A) R (A)?, alors l’inverse généralisé correspondant est appelé habituellement l’inverse de Moore-Penrose de A. dans ce cas, les opérateurs P et Q dans le lemme 3.2.1 sont orthogonaux.
on note l’inverse de Moore-Penrose de A par Ay:
Dé…nition 3.2.5 (L’inverse de Moore-Penrose) Soit A 2 Cm;n(C) :on dé…nit Ay:Cn! Cm par :
Ay(y) = 0; 8y 2 R (A)? et Ay(y) = A=R(A ) 1 y; 8y 2 R (A) : Proposition 3.2.1 Soit A 2 Cm;n (C), alors : a) A+Ax = 0. 8x 2 N (A) et A+Ax = x: 8x 2 R (A ) = R (A+). b) A+Ay = 0 . 8y 2 R (A)? et A+Ay = y 8y 2 R (A) : c) (A+)+ = A
Preuve. a) Ax = 0; 8x 2 N (A) =) A+Ax = 0. 8x 2 N (A). et Ax 2 R (A) ; 8x 2 R (A ) =) A+Ax = A
=R(A ) 1
Ax = x 8x 2 R (A ). b) 8y 2 R (A)? =) A+y = 0: 8y 2 R (A) =) A+Ay = 0. 8y 2 R (A)? et 8y 2 R (A) =) A+y = A =R(A ) 1 y =) A+Ay = A A =R(A ) 1 y = y c) (A+)+ : Cn ! Cm 8 x 2 R (A ) ; A+ + x = A=R(A ) 1 + x = A=R(A ) 1 1 x = A x et 8 x 2 R (A )?; A+ + x = 0 , donc (A+)+ = A.
Lemme 3.2.2 Soient X; Y deux espaces de Hilbert et A 2 C (X; Y ) avec un inverse généra-lisé A+ 2 B (Y; X), alors A est à inverse de Moore-Penrose Ayet Ay=hI PN (T )? iA+PR(T )? . Théorème 3.2.1 Soient X; Y deux espaces de Hilbert et A 2 C (X; Y ), alors les assertions suivantes sont équivalents :
1. A possède la propriété de Hyers-Ulam stabilité. 2. A possède un inverse de Moore-Penrose borné Ay.
3.2 Stabilité de Hyers-Ulam, et l’inverse généralisé 18
3. A possède un inverse généralisé borné A+. 4. A à image fermé.
de plus, si l’une des conditions au-dessus est vraie, alors
D Ay = Y, N Ay = R (A)?; R Ay = D (A)\ N (A)? et K
A =kAyk = (A) 1.
Preuve. Notons que A=N (A)? : D (A)\ N (A)?! R (A) est inversible et Ayest dé…nie par :
Ayy = A=N (A)?
1
Qy y2 R (A) + R (A)?
où Q est le projecteur orthogonale de Y sur R (A) parallélement à R (A)?, alors Ayest un
opérateur fermé densement dé…ni avec D Ay = R (A)+R (A)?et R Ty = D (T )\N (T )?:
(2))(1) Si A possède un inverse de Moore-Penrose borné Ay, alors pour tout x 2 D (A)
I AyA x2 N (A) et
kx I AyA xk = kAyAxk kAykkAxk
ceci veut dire que A possède la propriété de Hyers-Ulam stabilité et KA kAyk.
supposons que K est la constante de Hyers-Ulam stabilité ie, pour tout x 2 D (A), il existe x0 2 N (A) telle que kx x0k KkAxk alors pour tout y 2 Y; Ayy 2 D (A) \ N (A)? et il
existe x1 2 N (A) telleque kAyy x 1k KkAyAyk. comme Ayy ? x 1; nous obtenons : kAyyk kAyy x1k KkAAyyk Kkyk (3.2.1) d’où K kAyk et donc K A kAyk par conséquent KA=kAyk.
(1))(2) Si A possède la propriété de Hyers-Ulam stabilité alors de 3.2.1 on a que l’inverse de Moore-Penrose Ay est borné.
(2),(3) D’aprés le lemme 3.2.2 on a (3) ) (2). et comme l’inverse de Moore-Penrose est un inverse généralisé, d’où (2) ) (3).
(4))(2) Si R (A) est fermé, alors D Ay = Y, et d’après le lemme 3.2.1 Ay est borné.
(2))(4) Si Ay est borné, comme Ayest un opérateur fermé densement dé…ni, nous obtenons
D Ay = Y, ie Y = R (A) + R (A)?.
dans la suite, montrerons que (A) =kAyk 1. en e¤et, pour tout x 2 D (A), nous avons
I AyA x2 N (A) et
d (x ; N (A)) kx I AyA xk = kAyAxk kAykkAxk
alors (A) kAyk 1. comme (A) kAyk 1 pour tout x 2 D (A) \ N (A)? avec k x k= 1: nous obtenons pour tout y 2 Y tel que k Tyyk= 1,
(A) kAAyyk =k Qy k k y k D’où pour tout y 2 Y avec Ayy 6= 0, (A) kyk
kAyyk, donc (A) inf k y k k Ayyk : y 2 Y , A yy6= 0 = sup k Ayyk k y k : y 2 Y 1 =kAyk 1 par conséquent (A) = kAyk 1:
3.3
Fermeture de l’image d’un opérateur non borné
Dans cette partié on donne toutes les caractérisations récoltes dans la litterature mathéma-tique pour q’un opérateur non borné ait une image fermée.
Ces caractérisations sont liées à :
1. La fermeture des images de A , A0 = AjC(A), A A, AA , ARA et A RA .où C (A) =
D (A)\ N (A)?
2. La positivité de la conorme de A.
3. La bornitude de l’inverse de Moore-Penrose de A.
4. La stabilité au sens de Hyers-Ulam des opérateurs A0 et A.
5. L’aspect spectral de l’opérateur A A. 6. La fermeture des images de ASA et A SA .
Théorème 3.3.1 Pour tout opérateur A 2 C (H), les assertions suivantes sont équivalentes : 1. R (A) est fermé
3.3 Fermeture de l’image d’un opérateur non borné 20
2. R (A ) est fermé
3. A0 = AjC(A) a un inverse borné
4. kAxk mkxk, pour tout x 2 C (A) avec m > 0 5. (A) > 0
6. A+ est borné
7. R (A A) est fermé 8. R (AA ) est fermé
9. A a la propriété Hyers-Ulam stabilité 10. A0 a la propriété Hyers-Ulam stabilité
11. H = N (A ) R (A) 12. R (ASA)est fermé
13. R (A SA ) est fermé
Preuve. (1) , (5)
Supposons que R (A) est fermé alors l’opérateur bA : D (A)=N (A)? ! R (A) est injectif et on
a R (A) = R Ab est fermé. donc bA admet un inverse borné.
0 < inf ( k bAxk k [x] k ; [x] 2 D bA ) = inf k Ax k
d (x; N (A)); x2 D (A) ; x =2 N (A) = inf k Ax k d (x; N (A)); x2 C (A) = 1 k bA 1 k = (A)
Par conséquent R (A) est fermé nous donne (A) > 0. Inversement, si (A) > 0 alors k A+
k= (A)1 est bornée et par suite R (A) est fermé.
(1) , (7)
Si (A) > 0 alors R (A) est fermé, d’où A+ est borné, de même pour (A+) A+ et comme (A A)+ = A+(A )+ alors : (A A) = 1 k (A A)+k = 1 k A+ k2 (A) 2 > 0 (1) , (11) On a : H = N (A ) N (A )? et comme N (A )? = R (A ) d’où H = N (A ) R (A ) et comme R (A) est fermé , R (A ) est fermé on a
H = N (A ) R (A) (1) , (12)
On a d’après la propriété (8) de la proposition 2.0.2 que
kASAvk2 2(A)kSAvk2 = 2(A) kvk2 kASAvk2 pour tout v 2 H
d’où,
(ASA)
(A) p
1 + 2(A)
Cette dernière formule montre que (ASA) > 0 si (A) > 0. C’est à dire si R (A) est fermé
alors R (ASA) est fermé.
Inversement si R (ASA) est fermé alors (ASA) > 0.D’autre part, des propriété (8), (9) et
(10) de la proposition 2.0.2, on obtient que (ASA) (A), d’où (A) > 0 ce qui veut dire
que R (A) est fermé. (12) , (13)
L’équivalence découle directement du fait que (ASA) = A SA , en utilisant l’équivalence
entre (1) et (2) pour ASA.
(3) , (4)
3.3 Fermeture de l’image d’un opérateur non borné 22
Soit
b
H =n Av2 H : v 2 C (A) = D (A) \ N (A)?o Comme bA est injectif alors bA 1 est bien dé…ni sur bH, de plus
sup w2 bH=f0g k bA 1w k k [w] k = sup k v k k Av k; v 2 C (A) , v 6= 0 = inf k Av k k v k ; v 2 C (A) , v 6= 0 1
Il s’ensuit que bA 1 est borné si seulement si A est borné inférieurement, c’est à dire (4).
(3) , (9)
Supposons que A a la propriété de stabilité au sens de Hyers-Ulam, alors 9 K > 0 8u 2 D (A) ; 9 u0 2 N (A) : k u u0 k K k Au k
Soit u 2 C (A), un élément arbitraire, alors 9 u0 2 N (A) :
k u u0 k K k Au k
Comme u 2 (N (A))? et u0 2 N (A), on a :
k u u0 k2=k u k2 + k u0 k2=k u k2
D’où
k u k k u u0 k K k Au k; 8u 2 C (A)
Finalement
k Au k K 1 k u k; 8u 2 C (A)
Inversement, supposons que A est borné inférieurement avec (A) > 0 comme borne infé-rieure, d’où
k Au k (A)k u k; 8u 2 C (A) Pour u 2 D (A), posons u0 = PN (A) u.
Comme u u0 2 C (A), on a :
Ce qui établit (9). (1) , (10)
Soit (un)nune suite dans D (A) qui converge vers un élément w 2 H, montrons que w = Au0
avec u0 2 D (A) :
Comme A01 est borné, alors
k v k k A01 kk Av k; 8v 2 C (A)
On a PN (T )?un2 D (A)(car N (A) D (A)), d’où
k PN (T )?un PN (T )?um k k A 1
0 kk APN (T )?(un um)k=k A 1
0 kk Aun Aum k
Donc PN (T )?un est une suite de cauchy dans N (T )? qui est fermé, d’où elle converge
vers un élément v0 2 N (T )? :
Comme A est un opérateur fermé, on prond v0 2 D (A) et w = Av0
Inversement Soit
R (A0) =
n
Av2 H : v 2 C (A) = D (A) \ N (T )?o
Comme R (A0)est fermé dans H et A0 étant un opérateur fermé sur R (A0), alors d’aprés le
théorème du graphe fermé A0 est un opérateur borné.
Remarque 3.3.1 La démonstration des équivalences ((1) , (6)) et ((1) , (9)) de le théo-rème 3.3.1 est trouvé dans le théothéo-rème 3.2.1.
3.3.1
Exemple : Application aux opérateurs de multiplication
Soient (X; ) un espace mesuré avec une mesure positive -…nie sur X , une fonction numérique mesurable sur X et A l’opérateur de multiplication par ;dé…ni par :
A' = '
A est un opérateur non borné densement dé…ni sur L2(X; ) de domaine
3.3 Fermeture de l’image d’un opérateur non borné 24
Nous rappelons que A est borné si et seulement si est une fonctions essentiellement bornée sur X , dans ce cas
k A k=k kL1(X)= ess sup x2X j (x) j Soient E =f x 2 X ; (x) = 0g et L = '2 L2(X; ) ; ' (x) = 0 , 8 x 2 E Alors, R (A) = L:
Evidement on a R (A) Let L est fermé dans L2(X; ) :Donc , R (A) L:
Inversement . On pose
F = fx 2 X ; j (x) j6= 0g Fn = x2 X ; j (x) j 1n ;8 n 2 N
et on dé…ni f = 1 et fn = 1 n , où et nsont les fonctions caractéristiques des ensembles
F et Fn respectivement. Alors f et fn sont des fonctions mesurables sur X.
Soit ' 2 L. Puisque j fnj n; on a alors fn' 2 L2(X; )et fn' 2 L2(X; ), donc fn'2
D (A) pour tout n 2 N et
A (fn') = fn' = ' n2 R (A) ; 8n 2 N
Comme Fn Fn+1 pour tout n 2 N , alors [1n=1 Fn= F .
En utilisant le théorème de la convergence dominée de lebesgue, on obtient que limn!1' n= ' dans L2(X; )
, c’est à dire ' 2 R (A): On a directement les propriétés suivantes :
a) R (A) = R (A ) = R (A A) = R (A) = L où A et A A = AA sont respectivement les opérateurs de multiplication dans L2(X; ) par les fonctions et j j2.
b) (A) = (A ) infx2X E j (x) j= > 0:
d) Puisque ARA, A RA , ASAet A SA sont respectivement les opérateurs de multiplication
sur L2(X; )par les fonctions
1+j j2;1+j j2;p
1+j j2 et p1+j j2, alors :
R (ARA) = R (A RA ) = R (ASA) = R (A SA ) = R (A) = L
e) Si est strictement positif alors A a la propriété de la stabilité au sens de Hyers-Ulam avec une constante de stabilité KA= 1.
L’opérateur correspondant A0 = A dé…ni sur D (A) muni du produit scalaire induit par la
norme du graphe a aussi la propriété de stabilité au sens de la stabilité de Hyers-Ulam avec une constante de stabilité KA0 =
p
1 + 2.
f ) pour véri…er toutes les autres propriétés du théorème 3.3.1, pour l’opérateur A, il su¢ t de montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. R (A) est fermé 2. R (A) = L
3. 9 > 0 tel que j j presque partout sur X=E:
Il est clair que l’égalité R (A) = L prouve l’équivalence entre 1 et 2. Il reste donc à montrer l’équivalence entre 2) et 3) .
Supposons que la propriété 3 a lieu, alors j f j 1 presque partout sur X: D’où pour ' 2 L, on a f' 2 L2(X; ) et
A ( f ') = '2 R (A) Par conséquent R (A) = L:
Inversement, supposons que la propriété 2 a lieu, on dé…ni l’opérateur B = A+ est borné
puisque R (A) = L est fermé. Alors, f est essentiellement bornée dans X et k B k=k f kL1(X) :Par conséquent on a la propriété 3 en prenant = kf k 1
CONCLUSION
Dans ce mémoire, on s’intérésse à la fermeture de l’image des opérateurs non bornés. on donne des caractérisations pour qu’un opérateur A appartient à C (H) a une image fermée.
[1] B.I.Adi and T.Greville, Generalized inverses, second ed., CMS Books in Mathema-tics/Ouvrages de Math´ematiques de la SMC, 15 (NewYork : Springer-Verlag) (2003) Theory and applications MR MR1987382 (2004b :15008)
[2] H.O.Cordes., J.P.Labrousse, The Invariance of the Index in the Metric Space of Closed Operators. J. Math. Mech., Vol.12, No 5 (1963), 693-720.
[3] S.Goldberg., Unbounded Linear Operators. Mc Graw Hill, New York, 1966.
[4] C.W.Groetsch., Inclusions for the Moore-Penrose Inverse With Applications to Com-putational Methods, Contributions in Numerical Mathematics. World Sci., River Edge, NJ, (1993), 203-211.
[5] G.Hirasawa., T.Miura, Hyers-Ulam Stability of a Closed Operator in a Hilbert Space. Bull. korean Math. Soc. 43(2006), 107-117.
[6] Q.Huang., M.S.Moslehian., Relationship Between The Hyers-Ulam Stability And The Moore–Penrose Inverse. 2010 Mathematics Subject Classi…cation. 47A55, 46A32, 39B82, 47A05, 47A30.
[7] T .Kato, Perturbation theory for linear operators, second ed. (Berlin :Springer-Verlag) (1976) Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 132, MR MR0407617 (53 #11389)
[8] S.H.kulkarni., M.T.Nair., G.Ramesh., Some Properties of Unbounded Operator With Closed Range. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci),Vol. 4, November (2008), 613-625.
BIBLIOGRAPHIE 28
[9] M.S.Moslehian., G.Sadeghi., Perturbation of Closed Range Operators.Turk. J. Math. 32 (2008), 1-9.
[10] M.Ould Ali., Stabilité de la Fermeture de L’image Des Opérateurs Fermés.Es Sinia 2010.
