Corps $p$-rationnels, corps $p$-réguliers, et ramification restreinte

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J.-F. J

AULENT

T. N

GUYEN

Q

UANG

D

O

Corps p-rationnels, corps p-réguliers, et

ramification restreinte

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

5, n

o

_{2 (1993),}

p. 343-363

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Corps p-rationnels,

corps

p-réguliers,

et

ramification restreinte

par J.-F. JAULENT ET T. NGUYEN

_QUANG

DO

Le texte _qui suit est la rédaction actualisée de deux _exposés donnés au

Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux en Décembre 87. Il réunit

dans une _{synthèse originale} les résultats sur les corps p-réguliers obtenus par le premier auteur en collaboration avec G. Gras et ceux sur les _corps

p-rationnels établis par le second avec A. Movahhedi. La version _{préliminaire,}

publiée dans les Actes du Séminaire _87/88, s’est révélée _{inexploitable} du fait de l’accumulation malheureuse d’erreurs _{typographiques.}

0. Introduction et notations

Fixons une fois _{pour toutes} un nombre

_premier

_p. Pour

chaque

_corps de nombres K

_(de

_degré

fini sur

Q),

désignons

_par l’ensemble des

places

de

_K,

et _par le sous-ensemble des

_places

_qui

divisent p. Choisissons

enfin un ensemble fini S =

SI

de

places

finies de

K, disjoint

de

notons

_Ms

la

_{pro-p-extension}

S-modérément ramifiée

_{oo-décomposée}

ma-ximale de K

_(i.e.

la

_composée

des

_p-extensions

_galoisiennes

de If

_qui

sont

non ramifiées en dehors des

places

de S et de celles

qui

divisent p, et

complètement décomposées

aux

_places

à

l’infini),

puis

çs

= Gal

(MSIK)

son _groupe de Galois.

La théorie de la S-ramification

_(ou

ramification

_restreinte)

a _pour

objet

essentiel l’étude du _groupe de Galois

_Çs

dont la structure reflète les

pro-priétés arithmétiques

du

_{corps K}

_par

_rapport

au nombre

_premier

_p.

_Ainsi,

la structure du _groupe abélianisé

_çsb

= est décrite _par la théorie du

corps de classes

qui

donne

l’isomorphisme

où p est

_égal

à 1+c

_{(c :}

nombre de

_{places complexes}

de

_l()

sous la

conjecture

de

_Leopoldt,

et

_TS

est un _p-groupe fini dont les

propriétés

sont intimement reliées à celles des fonctions L

_p-adiques

_{(lorsqu’elles}

sont

_définies)

ainsi

qu’à

celles de divers _noyaux de la K-théorie

_(cf.

_par

_exemple

_[Gl],

_[J2],

[N2],...).

Dans cet

_article,

nous nous _proposons d’étudier une classe de _corps de

nombres, appelés p-réguliers

dans

_[GJ],

ou

_p-rationnels

dans

[MN],

_pour

lesquels

on

_peut

donner une

_{description complète}

de

_gs

_lorsque

l’ensemble S

est

_p-primitif

au sens de Gras

_(cf.

[G3]).

Une

_{conséquence particulièrement}

intéressante de cette

_description

est la

_propagation

de la

_{p-régularité}

dans les

_{p-extensions primitivement}

_ramifiées,

ce

qui

_permet

d’établir _par des méthodes _purement

_algébriques

la validité des

_conjectures

de

_Leopoldt

et de Gross _pour une classe infinie de _corps

_qui

vérifient des conditions

arithmétiques

dures

_(mais

de vérification

_facile)

et sont essentiellement non

abéliens,

donc inaccessibles

_{(pour l’instant)}

aux méthodes transcendantes.

Avant d’énoncer ces

conditions,

fixons

quelques

notations. Étant donné

un _corps de nombres

_h’,

nous écrivons :

M la

_{pro-p-extension}

_{p-ramifiée oo-décomposée}

maximale de

_~1,

_et

Gal

_(MIK)

son _{groupe de}

Galois ;

M~

la sous-extension maximale de M

_qui

est abélienne sur

7~,

et

!gal

= Gal son _groupe

_{Galois ;}

Z la

_composée

des

_{Zp-extensions}

de

_7~,

de sorte _{que le groupe} T =

Gal

_(M°’b/Z)

est le _sous-groupe de torsion de

_{g,b ;}

&#x26;

_{v(x) -}

0

_{mod p) V’[f poo}}

le _groupe

des éléments

_{hyperprimaires}

de ~~

_{(relativement}

à

_{p) ;}

Cl’ le _p-groupe des

_p-classes

de diviseurs de

_K,

i.e. le _{p-sous-groupe} de

Sylow

du

_quotient

du _groupe des classes d’idéaux au sens restreint _par le

sous-groupe

engendré

par les classes des idéaux au-dessus de p.

Plus

_{généralement,}

étant donné un ensemble fini S de

_places

finies

étran-gères

à _p, nous notons :

MS

la

_{pro-p-extension}

S-modérément ramifiée

_{oo-décomposée}

maximale de l(

_(i.e.

la

_composée

des

_p-extensions

_galoisiennes

de E

_qui

sont non

ramifiées en dehors de ,5’ et de _p, et

_{complètement décomposées}

aux

places

à

_l’infini),

et

_gs

= Gal

(MSIK)

_{son groupe} de Galois.

Msb la

sous-extension maximale de

_MS

_qui

est abélienne sur

K, puis

gab

= Gal _son

groupe de

Galois,

et

_T~s

= Gal le

sous-groupe de torsion de

_gab

_S

Vs -

tx

E E &#x26;

_{v(x) -}

0

_{[mod p]}

Vf

_f

_5’oo}

_{le groupe} des éléments

_{S-hyperprimaires}

de l(

_{(relativement}

à

_{p) ;}

Cl’

le _p-groupe des

_Sp-classes

de diviseurs de

_K

i.e. le

_quotient

de

Cl’ _{par le sous-groupe}

_engendré

_par les classes au sens restreint des idéaux construits sur les

_places

de S.

1.

_Corps

_p-réguliers

&#x26; _corps

_{p-rationnels.}

DÉFINITION ôL PROPOSITION 1.1. Nous disons _que le _corps K est :

(i)

p-régulier,

lorsque

le p-sous-groupe de

Sylow

R2(If)

du noyau dans

11(2 (K)

des

_{symboles réguliers}

est

_{trivial ;}

(ii)

p-rationnel, lorsque

le _groupe de Galois

_GK

= Gal

(MIK)

de la

pro-extension

maximale

_MIK

_qui

est

_p-ramifiée

et

_{oo-décomposée}

est un

pro-p-groupe libre.

Lorsque

K contient le _sous-corps réel maxirraal

_Q[(

+

_(-’]

du

_p-ième

corps

cyclotomique

Q[(],

il est

équivalent d’affirmer

que K est

_p-régulier

ou

qu’il

est

_p-rationnel.

L’équivalence

entre

_régularité

et

_{rationalité,}

sous la condition suffisante

(+

(-1

E

_K,

résulte de

_{l’égalité}

entre _p-rangs

qui

fait intervenir le défaut de la

_conjecture

de

_Leopoldt

dans

_K,

et de la

caractérisation suivante :

THÉORÈME 1.2. Pour tout _corps de nombres

_I(,

les conditions suivantes

sont

_{équivalentes :}

(i)

le _groupe de Galois

_{~I~ -}

Gal

_(MIE)

de la

_{pro-p-extension}

ma-ximale de

_qui

est

_p-ramifiée

et

_{oo-décomposée}

est un _pro-p-groupe libre

(nécessairement

sur _{1 + c~~}

_{générateurs,}

si est le nombre de

_places

com-plexes

de

_K).

(ii)

le _groupe de Galois

_{gal .}

Gal de la

_{pro-p-extension}

abé-lienne maximale de K

_qui

est

_p-ramifiée

et

_{oo-décomposée}

est un

7lp-module

libre de dimension 1 +

(iii)

le _corps Il

_vérifie

la

_conjecture

de

_Leopoldt

_(pour

le nombre

_premier

p),

et le sous-module de torsion

T~~

de Gal

_{(Mab IK)}

est nul.

(iv)

le _groupe

_V¡(

des éléments

_{p-hyperprimaires}

du _corps K se réduit

à et l’on a l’identité entre les _p-rangs des _p-groupes de racines de l’unité :

PIP

(v)

le _corps K

_vérifie

l’une des deux conditions suivantes :

a~

ou bien K contient une racine

_{primitive p-ième}

de

l’unité (, auquel

cas K

possède

une

_unique

_{place .p}

au dessus de _{p, et} le _p-groupe des

p-classes

d’idéaux au sens restreint

C’l~~

est

_{nul ;}

b)

ou bien K ne contient _pas

(,

auquel

cas les

places

de li au-dessus

de _p ne se

_décomposent

_pas

_{complètement}

dans l’extension

_cyclotomique

et la

_{w-corraposante}

du _p-groupe des

_p-classes

d’idéaux au sens

res-treint du _corps

_K[(]

est

_nulle,

si c.~

désigne

le caractère

cyclotomique

de Gal

_(K(~~/K).

Démonstration.

_Commençons

_par

_rappeler

les formules de

Safarevic

_(cf.

[S])

donnant les nombres minimaux

_d(f)

=

dilnrp

(Hl (GK,

IFp))

de

généra-teurs et

_r(GK)

=

IFp))

de relations du pro-p-groupe

9K :

Cela

_étant,

il suit :

(i) ~ (ii),

car

GFf

ne

_peut

être libre _que sur _{clf + 1}

_{générateurs,}

_auquels

cas

QÎt

est évidemment un

Zi-module

libre de dimension _cjc + 1.

(ii)

~

_(iii),

_puisque

la

_conjecture

de

_Leopoldt

affirme

_précisement

_que

K

_possède

exactement

_(crf

+

₁₎

_{Zp-extensions}

indépendantes.

(iii)

~

_(iv),

en vertu

_{précisément}

de l’indentité sur les _rangs, sous la

conjecture

de

_{Leopoldt :}

(iv) ~ (i),

d’après

les formules de

Safarevic

énoncées

_plus

haut.

Enfin, l’équivalence

entre

_(iv)

et

_(v)

résulte de la théorie de Kummer : si

~~ contient

_(,

_{l’égalité}

1

_signifie

_{que IÉ}

_possède

exactement une

place

au-dessus de _{p ;} et le _groupe

_VKIKXP

s’identifie au radical de la

_p-extension

abélienne élémentaire maximale de K

_qui

est non

ramifiée aux

places

_(finies)

_étrangères

à _p, et

_{complètement décomposée}

à celles au-dessus de _p, c’est à dire

_{précisémment}

au "dual" de Kummer du

groupe

Cl’ :

Si ~1’ ne contient

pas (,

la même

description

vaut _pour le _corps =

1C[(].

Le groupe

V¡( /1(XP

correspond

à la _composante unité du _groupe

cil ,

puisque

le caractère

_cyclotomique

ce est le reflet du caractère unité dans l’involution du miroir.

_Enfin,

l’identité = = 0

signifie

ici _que les

_places

de li au-dessus de _p ne se

décomposent

_pas

complétement

dans l’extension

_cyclotomique

ce

_qui

achève la dé-monstration.

COROLLAIRE 1.3.

_Exemples

de _corps

_p-réguliers

ou

p-rationnels.

(i)

Le

_{corps Q}

des rationnels est

_p-réguliers

et

_p-rationnel

_pour tout

nombre

_premier

_p.

(ii)

Pour tout

_{premier p,}

le corps

cyclotomique

K

]

engendré

par

une racine

_primitive

_{pn -ième}

de l’unité est

_p-régulier

_{(et p-rationnel)}

si et

seulement si le nombre

_premiers

_{p est}

_régulier

_(au

sens

_habituel).

(iii, a)

Les _corps

_quadratiques

_imaginaires

_qui

sont

_2-réguliers

_(et

2-rationnels)

sont

_,

_Q[J=2],

et les _corps avec 1 - 3

_(mod

8),

-21~,

et avec ll’ - 3

(mod 8),

_pour 1 et 1~

_{premiers impairs.}

(iii,

b)

Sont

_3-réguliers

_{(et 3-rationnels)}

le _corps et les _corps

Q[B/2013d]

pour

lesquels

d 0

3

(mod 9)

et 3 ne divise _pas le nombre de

3-classes du _corps

_quadratique

réel

(iii, c)

Enfin,

pour p &#x3E;

5,

les corps

quadratiques

imaginaires qui

ont un

p-groupe des classes trivial sont

_{p-rationnels.}

Démonstration.

(i)

Le cas du _corps des rationnels se traite en deux

_{temps :}

D’un

côté,

un calcul direct

_(cf.

[T])

montre _que le _noyau

_régulier

_R2(Q)

est

_nul,

de

sorte

_{que Q}

est

_p-rationnel

_pour tout _{p ;} ce

qui justifie

la

terminologie.

D’un autre

_côté,

la théorie élémentaire du _corps de classes assure _que la

p-extension

abélienne

_{p-ramifiée oo-décomposée}

maximale

_{de Q}

est bien la

Zp-extension

cyclotomique

de Q ;

ce

_qui

établit la

régularité.

(ii)

Pour les _corps

_{cyclotomiques}

la

_proposition

1 assure

l’équiva-lence entre

_{p-régularité}

et

_{p-rationalité.}

Maintenant la condition

_{(v, a)}

du théorème 2 montre _que celle-ci se lit sur le nombre de classes

(en

l’occurrence au-sens

ordinaire)

du _corps

Q[(pn].

(iii)

Pour les corps

quadratiques

imaginaires

Q[B/2013d],

il convient de

dis-tinguer

suivant les valeurs de _p. Pour _p = 2 _ou 3 les notions de

p-régularité

et de

_{p-rationalité}

_coïncident,

en vertu de la

proposition

1 ;

_{pour p} &#x3E;

5,

en

revanche,

le théorème 2 ne

_permet

d’atteindre _que la

p-rationalité.

- Si

p vaut

2,

la condition

(v, a)

exige

que le corps n’admette

nombre de 2-classes d’idéaux soit

_impair

ce

_{qui impose,}

_d’après

la

for-mule des classes

_ambiges

de

_Chevalley

_(cf.

_[J2]),

_{qu’il n’y}

ait

_{qu’une place}

ramifiée

_(auquel

cas K =

~(~~,

_ou

Q[B/~7],

avec 1

_premier

- 3

_{[mod 8]}

ou bien deux

(ce

qui

donne l( =

avec 1

- 1

[mod 4],

Q[B/~2/],

ou avec Il’ - 3

[mod 8]).

- Si

p vaut

3,

une fois écarté le cas

cyclotomique

K =

déjà traité,

la condition

_(v,b)

_exige

_Q3[A]

_{(i.e. d ~}

3

_[mod

_9]),

_{et que} 3

ne divise _pas le nombre de 3-classes du _corps

quadratique

réel

(qui

est le reflet de

_Q[B/2013d]

dans l’involution du

_miroir).

-

Enfin,

pour

p &#x3E;

5,

la théorie du _corps de classes montre directement

que la

p-extension

abélienne

p-ramifiée

maximale de K = _est

exactement la

_composée

des

_{ZI-extensions}

de K sous la condition suffisante

que la

p-partie

du groupe des classes d’idéaux de Ii soit triviale.

COROLLAIRE 1.4. Généralisation d’un critère de Kummer. Soient p un

nombre

_{premiers impair, K}

un _corps

p-rationnel,

et u une unité de K. Si u

vérifie la

congruence

c’est la

_puissance

_p-ième

d’une unité v de K.

Démonstration. Soient _v~ la valuation et _{e~ l’indice de ramification absolu}

d’une

_{place p}

de K au-dessus de _p. Par

_hypothèse

nous avons :

, indice

d’hyperprimarité,

donc u E pour tout p divisant p, E

V¡(.

Le _corps étant

sup-posé p-rationnel,

ceci entraîne u E par la condition

(iv)

du théorème :

d’où le résultat.

Ce critère sera sensiblement amélioré dans la section 4

plus

loin

(cf.

corollaire

_4.3).

COROLLAIRE 1.5. Toute

_p-extension

_{p-ramifiée oo-décomposée}

d’un corps

p-rationnel

est encore un _corps

_p-rationnel.

Démonstration.

_{Rappelons qu’une}

_p-extension

_est,

_par

_définition,

une

extension

_galoisienne

_{dont le groupe de Galois} est un _p-groupe

(fini).

Cela

étant,

si est

_p-ramifiée

et

_{oo- décomposée,}

alors

_LIK

est une

sous-extension de de sorte _{que M} est encore la

_{pro-p-extension}

p-ramifiée

d’indice fini de

_{ÇI =}

Gal Par

_suite,

si

gic

est

_pro-p-libre,

_GL

l’est

aussi ;

autrement dit si ~ est

_p-rationnel,

il en est de même de L.

Tout le

_problème

de la section 3 consistera à étendre cette

_propriété

de montée de la

_{p-rationalité}

à certaines

_p-extensions

_qui

admet-tent de la ramification en dehors de _{p. Pour} cela nous aurons besoin de

quelques

résultats sur

l’arithmétique

des

_p-extensions

abélienne des _corps

p-rationnels,

que nous allons maintenant établir.

2.

_p-extensions

abéliennes des _corps

_{p-rationnels.}

Commençons

par

rappeler

le formalisme

p-adique

de la théorie du corps

de classes

_développé

dans

_[J2].

Le _corps de base K étant

_{supposé fixé,}

écrivons :

-

J

=

p-adifié

du

groupe des

idèles,

c’est à dire le

produit

restreint des

_{complétés profinis}

KX =

liml((x

Il((xpn

des

groupes

multipli

-catifs des

_complétés

non

complexes

1((

de

_7K,

muni de sa

topologie

naturelle de limite

_{inductive ;}

- ?~l ₌

rlur

= le sous-groupe _compact formé des idèles

_{unités ;}

le

_{groupe Ut}

étant _{le groupe} des unités

_principales

de

_1(,~

lorsque

1 divise _p et son _{p-sous-groupe} de torsion

sinon,

sauf

lorsque

L est

réelle,

auquel

cas

/Cr =

_Mr est _{le groupe}

_Zp/2Zp

et

_Ut

le _sous-groupe

_{trivial ;}

- Tz = _©z le groupe des idèles

principaux,

défini comme le

ten-sorisé

_p-adique

_{du groupe}

_{multiplicatif}

de

_K,

et

_regardé

comme

plongé

dans J ;

de sorte _que le

_quotient

C =

J/7Z

s’identifie,

dans

l’isomorphisme

p-adique

du _corps de

_classes,

au _groupe de Galois de la

pro-p-extension

abélienne maximale

_{de K ;}

- D ₌

7/U

le _groupe des diviseurs de

_J(,

et 7~ =

1?1A lU

le sous-groupe des diviseurs

_{principaux, image}

_canonique

de TZ

_{dans J ;}

_puis

Cl =

D/P

le _{groupe des} classes de

_diviseurs,

_qui

s’identifie

_{canoniquement}

au

p-sous-groupe de

Sylow

du groupe des classes d’idéaux de l(

prises

au sens

res-treint ;

-

noo,

enfin,

le _sous-groupe infinitésimal de

_R,

i.e. le _noyau de la

sur-jection canonique

sp : R -~ = induite

par le

prolongement

diagonal

de ~~ dans le

_produit

de ses

complétés

au

_places

divisant _p.

Avec ces

_notations,

la

_conjecture

de

_Leopoldt

affirme

_qu’un

idèle

de l’unité dans

_7Z,

ce _que nous écrivons :

En

_particulier,

_puisque

les _{groupes pour 1}

_réelle,

et

_ur,

_pour [ finie

étrangère

à _p, se réduisent à _y[, les unités

(au

sens

ordinaire)

de

7~,

i.e. les

éléments du tensorisé E =

_7lp0zE,

_qui

sont

_{infinitésimales,}

sont les racines de l’unité dans R

_d’image

triviale dans

_KI,

donc

_égales

à

_{1 ;}

ce

_qui

s’écrit :

Cela

_posé,

nous avons :

PROPOSITION 2.1. Soient J( un _corps

p-rationnel

et S un ensemble

_fini

de

_places

modérées de I(

_(i.e.

de

_{places finies}

_étrangères

à

_p).

_Alors,

dans la

_{correspondance}

du _corps de

_classes,

le _sous-groupe de torsion

_Ts

= Gal de la

_{pro-p-extension}

abélienne

_{S-modérément-ramifiée}

oo-décomposée

maximale

_{MSa bde K}

_(i.e.

de la

_composée

des

_p-extensions

abéliennes de l(

_qui

sont non

ramifiées

en dehors de S et de _{p, et}

compléte-ment

_{décomposées}

aux

places

à

l’infini)

est donné _par

_{l’isomorphisme :}

C’est donc le

_produit

direct des sous-groupes d’inertie attachés aux

places

de S dans

_9Sb

= Gal

(MSb / le).

Démonstration. Le _corps Iî étant

_supposé

_p-rationnel,

la

_composée

Z des

Zp-extensions

de E est exactement la

_{pro-p-extension}

abélienne

_p-ramifiée

oo-décomposée

maximale

Mab

de K. TI vient donc :

cela

_étant,

comme nous avons _par ailleurs :

puisque

les idèles

_{principaux qui}

interviennent au dénominateur sont des

unités infinitésimales.

Pour obtenir maintenant une

décomposition analogue

du groupe

ysb

tout

entier,

faisant intervenir cette fois _{les groupes} de

_{décomposition}

attachés aux

_places

de

_S,

nous allons

_imposer

aux éléments de S des conditions de

primitivité :

PROPOSITION ôL DÉFINITION 2.2.

Etant

donné un _corps de nombres K et un ensemble S de s

places

modérées de K

(i.e.

de s

places finies étrangères

à

_{p), les}

conditions suivantes sont

_{équivalentes :}

(i)

les

_symboles

d’Artin

_{(p, ZIK)}

des

_places

de

_S,

_pris

dans la

_composée

Z des

_{7lp-extensions}

de

_{K, engendrent}

un sous-module _pur de Gal

(ZIK),

de dimension s.

(ii)

les mêmes

_symboles

_(p,

_pris

dans la sous-extension

élémen-taire de

_{Z, engendrent}

un

_{sous-IFp-espace}

vectoriel de Gal de

di-mension s.

(iii)

l’intersection des _sous-corps de

_{décomposition}

dans

Zil

des

places

de S est d’indice

_pS

dans

Lorsqu’elles

sont

_vérifiées,

nous disons _que S est

_primitif.

La notion d’ensemble

_primitif

de

_places

modérées a été introduite _par G. Gras

_(cf.

_[G2]),

sous une forme

_différente,

_pour étudier la

_propagation

de la

_{p-régularité,}

sous la

_conjecture

de

Leopoldt.

La condition

(iii)

a été utilisée tout à fait

_{indépendamment}

_par H. Miki _pour

_produire

_précisement

une condition suffisante de

_propagation

de cette

_conjecture

_(cf.

_[M]).

La

forme

_(i)

_permet de construire directement des ensembles

_primitifs

de

_places

modérées en utilisant le

_logarithme

divisoriel

_(cf.

[GJ]) ;

la forme

_(ii)

_permet

de faire de même à l’aide des

_symboles

modérés d’ordre _p

_(cf.

_[MN]).

Bien

entendu, l’équivalence

de

_{(i), (ii),}

et

_(iii)

est immédiate.

Remarques.

(i)

Le théorème de densité de

_{Cebotarev garantit}

l’existence d’une infinité d’ensembles

_primitifs

ne rencontrant _pas un ensemble fini de

places

données.

(ii)

Si l’ensemble S est

_primitif,

son cardinal s est

majoré

_par le nombre

de

_{Zp-extensions}

linéairement

_{indépendantes}

sur donc en

particulier

_par

1 + c ₊

b,

où c est le nombre de

_{places complexes}

de ~f.

(iii)

Sous la

conjecture

de

_Leopoldt,

les ensembles

_primitifs

maximaux

EXEMPLES D’ENSEMBLES PRIMITIFS DE PLACES MODÉRÉES.

(i)

Soit l( un _corps totalement réel satisfaisant la

conjecture

de

Leopoldt

(pour

le nombre

_premier

_p).

Dans ce cas les ensembles

primitifs

de

places

modérées de K sont exactement les

_singletons

S =

~C~,

où [ est une

place

de I( totalement inerte dans la

_Zp-extension

_cyclotomique

_{Z/I( (autrement}

dit une

place finie,

étrangère

à p,

satisfaisant la condition _{y[ =}

y).

(ii)

Soit K le _corps

_cyclotomique

_~~~p~

_engendré

_par une racine

primitive

p-ième

de l’unité.

Pour _p =

_3,

l’ensemble S

= ~ C7,

[19},

où _[7

(respJI9)

_{est une}

place

de .~ au-dessus de 7

_(resp.

de

_19),

est

_3-primitif.

De

_même,

pour p =

5,

l’ensemble S où

_{(Il, [il et C11}

sont trois des

_quatre

_places

au-dessus de

11,

est

_5-primitif.

Nous sommes désormais en mesure de

préciser

la

proposition

1 :

THÉORÈME 2.3. Soient Ii’ un _corps

p-rationnel

et S un ensemble

_p-primitif

maximal de

_places

modérées de

_Alors,

dans la

_{correspondance}

_{du corps}

de

_classes,

le _groupe de Galois

_gsb

de la

_{pro-p-extension}

abélienne

S-modérémeàt

_{mmifiée co-décomposée}

de I

_(1.e.

de la

com-modérément

_{ramifiée oo-décomposée}

maximale

_s

de l(

_(i.e.

de la

com-posée

des

_p-extensions

abéliennes de l(

_qui

sont non

_ramifiées

en dehors

de S et

_{de p,}

et

_{complètement décomposées}

aux

places

à

l’infini)

est donné

par

l’isomorphisme :

C’est donc le

_produit

direct des _{sous-groupes de}

_{décomposition}

des c + 1

places

de S.

Réciproquement,

si pour un ensemble S de c + 1

_places

modérées d’un

corps de nombres

K, le

groupe

çSb

= Gal admet une

décomposi-tion du

_type

_précédent,

le

_{corps K}

est

_p-rationnel,

et l’ensemble S est

p-primitifs

maxirnal.

Démonstration.

_Supposons

K

_p-rationnel

et ,~’

_p-primitif

maximal. Dans

ce _cas, le _{groupe de Galois Gal}

_composée

des

_{Zp-extensions}

de J( est un

Zp-module

libre de dimension c + 1

_qui

est

_produit

direct des c _{+ 1 sous-groupes} de

décomposition

D(ZI J() =

Kx lKx

n

_(R

attachés aux

places

de ,S. Cela

étant,

des

il résulte donc les

_{égalités :}

ce

_qui,

_compte

tenu du résultat Gal

_Ilteslit

_{déjà obtenu,}

conduit à la

_{décomposition}

annoncée. La

_réciproque

est immédiate.

COROLLAIRE 2.4. Soient K

_p-rationnel

et S

_p-primitif,

de cardinal s 1 + c.

Alors,

le _groupe de Galois

gab

s’écrit comme

_produit

direct

des _groupes de

_{décomposition}

des

_places

de

_S,

et d’un

_Zp-module

libre

1-(,ab

de dimension 1 + c - s.

COROLLAIRE 2.5. Pour tout

_{ensemble p-primitif S de places}

modérées d’un

corps p-rationnel l(,

il existe

_{une p-extension}

abélienne

_(en

_général

non

unique)

S-ramifiée

et

oo-décomposée,

maximalement

ramifiée

en toute

place

[ de 5’

_(en

ce sens _que le _groupe d’inertie

correspondant

a l’ordre de

~c,c~~,

dont le _groupe Galois est le

produit

direct des _sous-groupes

d’inertie attachés

_{aux places}

de

_S,

ce

qui

s’écrit ici :

Démonstration. Cela résulte immédiatement du corollaire

_précédent,

le

sous-groupe de torsion = étant un facteur direct du

produit

TIrEs Kt : il

suffit de

_prendre

_pour le _corps des

_points

fixes dans

_M’Sb

d’un

_{supplémentaire}

de _tcs.

THÉORÈME 2.6. Soient 1( un

corps p-rationnel

et S un ensemble

_p-primitif

maximal de

_places

modérées de 7~.

_{L’injection diagonale}

7~~ 2013~

du _groupe

_{rnultiplicatif}

de l( dans le

_produit

de ceux de ses

com-plétés

aux

places

divisant _p induit un

isomorphisme

du tensorisé

p-adique

=

Zp

0

ES

du _groupe de

Sp-unités

(i.e.

des unités au sens ordinairre en dehors de ,S’ et de

_p)

sur le

produit

_~Cp

=

Réciproquement,

si _pour un ensemble S de c + 1

places

d’un _corps de

sur alors le

_{corps l(}

est

_p-rationnel,

et l’ensemble S

maxi-mal,

dès lors _que le _p-groupe

_Cls

des

_Sp-classes

d’idéaux est trivial.

Démonstration.

_D’après

la théorie du _corps de

_classes,

_{le groupe de Galois}

gsb

de la

_{pro-p-extension}

abélienne S-modérément ramifiée

_{oo-décomposée}

maximale

_M’Sb

de l( est donné _par

_{l’isomorphisme :}

sous réserve de trivialité du _p-groupe

CI’

_pj des

Sp-classes d’idéaux de K.

Si K est

_p-rationnel

et S

p-primitif maximal,

cette condition est

évidem-ment

_remplie

_(la

_p-extension

abélienne non ramifiée

p6’oo-décomposée

de

l( étant alors

_{triviale) ;}

et

_{l’isomorphisme}

_Kb

donné _par le théorème

3 affirme que le

groupe CIS

s’envoie

surjectivement

sur le facteur ce

_qui,

compte

tenu de

_{l’égalité}

des _rangs,

_signifie

_que

_{l’application}

_{s p :}

_{~ 2013~}

_{K x}

est un

_{isomorphisme.}

La

_réciproque

est immédiate.

En

_présence

des racines

_p-ièmes

de

_l’unité,

nous donnerons

plus

loin un résultat dual de ce

théorème,

basé cette fois sur la théorie de Kummer.

3.

_{p-extensions galoisienne}

des _corps

_{p-rationnels.}

L’objet

de cette section est de relever le théorème

_{2.3, qui}

décrit l’abélia-nisé

_gsb

du _groupe de Galois

gs

= Gal _{en un} théorème de

struc-ture pour le _pro-p-groupe

_~s.

Introduisons _pour cela

_quelques

notations

_{supplémentaires.}

Désignons

par * le

produit

libre dans la

catégorie

des pro-p-groupes,

puis,

pour

chaque place

1 de

le,

faisons choix de l’une £ des

places

de

Ms

au-dessus

_{de C,}

et notons

_{(par abus)}

_Dr

_{le groupe de}

_{décomposition}

de £ dans

_{Ms /I(}

_(qui

n’est donc défini

_{qu’à conjugaison}

_près).

Notons maintenant

_9L

le _groupe de Galois de la

_{pro-p-extension}

maximale de

_Kc,

et

_1/J(

le

_{morphisme de r}

dans

_S

induit _par la

_{surjection canonique}

de

Çj

sur

_Vi.

Par la

_propriété

universelle du

_{produit libre,}

nous définissons

ainsi un

_morphisme

_os

du

_produit

*gr.

Nous allons voir _que, sous les

(ES

hypothèses

du théorème

_{2.3, l’application}

obtenue est un

isomorphisme.

Nous aurons besoin _pour cela du résultat

_technique

suivant :

LEMME 3.1. Soient 1£

-~ ~

un

morphisme

de _{pro-p-groupes,} et

(iab l’abélianisé

de _rp. Sous la condition

_{H2(Çj,Qp/7lp) =}

_1,

il est

Démonstration. n est bien clair _que est un

isomorphisme

dès _{que y?} en

est un.

_{Réciproquement,}

_{supposons que} est un

isomorphisme,

et notons

pour

abréger

Hi(~)

au lieu de La suite exacte

d’inflation-restriction construite à

_partir

de la suite exacte courte

Maintenant étant

_{surjective, l’application}

induite

_{H1 (~) ~}

Hl

_(?-C)

est

surjective,

ce

_qui

entraîne

H’(Coker

_{p) -}

_1,

i.e.

_{Coker w}

=

1,

et _p est bien

_surjective.

Cela

_étant,

la suite exacte d’inflation-restriction construite à

_partir

de

la suite courte

"" , "" , ,,-, , ", , ·

et le terme de droite est nul _par

_hypothèse.

Il vient donc

_{H1 (Ker w)°}

=

1,

i.e.

_{H (Ker}

_~p)

= 1

(puisque 9

_{est un}

pro-p-groupe

opérant

sur le p-groupe

discret

_{H1 (Ker}

_)),

c’est-à-dire finalement

_{Ker w}

=

1,

comme attendu. THÉORÈME 3.2. Soient Il un _corps

p-rationnel,

et S un ensemble

p-primi-t2,f

maximal de

_places

modérées du _corps ~1’.

_{L’application es définie}

sur le

produit

libre des _groupes de Galois

_respectifs

_gr

des

_{pro-p-extensions}

maximales des

_complétés

_1-adiques

de .Fl’ aux

places

de S

(par

le choix d’une

place

R de

MS

au-dessus de 1 pour tout 1 de

_S),

à valeurs dans le _groupe de Galois

_gs

de la

_{pro-p-extension}

S-modérément

_ramifiée

_{oo-décomposée}

maximale

_Ms

de

_K,

est un

isomorphisme :

Inversement,

si pour un ensemble S de c ₊ 1

places

modérées d’un _corps de nombres

_K,

le _groupe

_gs

admet une

décomposition

du

_type

précédent,

le _corps l( est

_p-rationnel,

et l’ensemble S

_p-primitif

maximal.

Ce théorème résout

_{complétement}

le

_problème

de la

_{description explicite}

du _groupe

_gs

_(sous

les

_hypothèses

de rationalité et de

_{primitivité),}

_puisque

la structure des _groupes

_{locaux gt}

est

_parfaitement

connue _pour les

_places

SCOLIE 3.3. Le groupe de Galois

Gr =

Gal de la

_{pro-p-extension}

maximale de la

_complétion

d’un _corps de nombres en une

_{place finie}

étran-gère

à

_{p est :}

- soit le

pro-p-groupe libre

engendré

par le

Frobenius, lorsque

le

p-sous-groupe de

Sylow

Mr de

kC

est trivial

(i. e.

lorsqu’on

a

_{NI 0}

1 mod

_{p~ ;}

- soit le

groupe de Demuskin

i

= 1 _&#x3E; construit _sur

un relèvement

quelconque

_o~r du Frobenius de la sous-extension non

ramifiée

maximale de

_Mr,

et un

progénérateur quelconque

_7-r du _sous-groupe d’inertie

de

_Mr/l(r,

dans le cas contraire.

Démonstration du théoréme. _{Le corps} 1( étant

_p-rationnel

_par

_hypothèse,

il satisfait en

particulier

la

_conjecture

de

Leopoldt,

et nous avons donc

H2(gs,Qp/71p) =

1,

ce

_qui

est la traduction

_{cohomologique}

de cette

con-jecture.

Cela

_étant,

le théorème 2.3 affirmant que l’abélianisée

’0 ab

est un

isomorphisme

lorsque

l’ensemble ,~ est

_{p-primitif maximal,}

le lemme 1 nous

dit

_qu’il

en est de même de

_os.

La

_réciproque

est immédiate.

Nota. Le théorème de structure

_précédent

_peut

être

_regardé

comme un

analogue

en théorie des nombres du théorème d’existence de

_Riemann,

les

corps

p-rationnels

venant

_remplacer

ceux de _genre nul. On sait en

effet,

par la théorie des

revêtements,

que si k est un _corps

algébriquement

clos de

caractéristique nulle,

et S un ensemble fini de

places

du _corps des fractions rationnelles 1( =

k(x),

autrement dit un ensemble fini de

points

de le _groupe de Galois

g 5

de l’extension

_algébrique

,5’-ramifiée maximale de

_E,

_qui

s’identifie au _groupe fondamental

_algébrique

7r’

(JIDI

_{(1~) ~}

S),

est le

_produit

libre

_profini

A

des _groupes d’inertie

_(isomorphes

à

_Z)

des

_places

de

_{S, après}

l’élimination arbitraire de l’une d’elles.

COROLLAIRE 3.4. Soient K

_p-rationnel

et S

_p-primitif

de cardinal s

c ₊ 1. Alors le _groupe de Galois

95

de la

_{pro-p-extension}

S-modérément

rarnifiée

oo-décomposée

maximale de K s’écrit comme

_produit

libre

des _groupes de Galois locaux attachés aux

_places

de

_S,

et d’un _pro-p-groupe libre sur 1 + c - s

générateurs.

Démonstration. Il suffit de

_compléter

,5’ en un ensemble

primitif

maximal

Si,

puis

d’appliquer

le

_théorème,

en _{remarquant que}

gs

est le

_quotient

de

gs,

par le sous-groupe

engendré

par les sous-groupes d’inertie

des

_places

excédentaires.

Nous _pouvons désormais

_procéder

à la montée. Convenons de dire

qu’une p-extension

oo-décomposée

est

_{primitivement}

ramifiée

_lorsque

l’ensemble des

_places

modérément ramifiées dans

_LIE

est

_p-primitif

dans Cela

_posé,

nous avons :

THÉORÈME 3.5.

Étant

donné une

_p-extension

_(finie)

de _corps de

_nombres,

les deux conditions suivantes sont

_{équivalentes :}

(i)

le _corps L est

_p-rationnel.

(ii)

le _corps ~~’ est

_p-rationnel,

et l’extension

_LIK

est

_{primitivement}

ramifiée.

Démonstration. Nous allons

_procéder

différemment _pour la descente et la montée.

(i )

-

_(ii)

Pour la

_descente,

_remarquons

_simplement

_que si L est

p-rationnel,

il satisfait en

_particulier

à la

_conjecture

de

_Leopoldt

ainsi _que

tous ses _sous-corps, de _{sorte que tout} revient à établir _que le _sous-groupe de torsion

₄₍

est

_nul,

_{et que} l’extension est

_{primitivement}

ramifiée dès lors _que

_TL

est nul. Or cela résulte immédiatement de la formule de

points

fixes de G. Gras

_(cf.

_[Gl]),

où G

_désigne

le groupe Gal et

D’ le _groupe des

_{p-diviseurs :}

, ’ 1J "’ 1 1 i

(ii)

==&#x3E;

_(i)

Pour la

_montée,

la formule

_précédente

n’est _pas utilisable

directement,

puisque

le _corps L ne vérifie _pas a

priori

la

conjecture

de

Leopoldt. Complétons

donc l’ensemble des

_places

modérément

rami-fiées dans

_LIE

en un ensemble

_p-primitif

maximal du _corps

_p-rationnel

K,

et introduisons la

_{pro-p-extension}

S-modérément ramifiée

oo-décompo-sée maximale

MS

de Il. Le _corps

_Ms

contient L _par

_{construction ;}

c’est donc aussi la

_{pro-p-extension}

S-modérément ramifiée

_{oo-décomposée}

maximale de L. En

_particulier,

le _pro-p-groupe Gal

_(Ms/L)

est donc un _sous-groupe ouvert du pro-p-groupe

~S(~1’) -

GaI

Maintenant,

par le théorème

3.2,

le groupe

gs(K)

s’identifie au

produit

et le théorème de Binz-Neukirch-Wenzel

_{(cf. [BNW])}

nous assure _que le

sous-groupe

gs(L)

s’identifie par

conséquent

au

produit

libre :

où £

_parcourt

les

_places

de L au dessus de

_{S 1(,}

et Ji

_désigne

un

pro-p-groupe libre de rang n

= E ([Z~ : J(c] -

1) -

([L : K) -

1).

Prenant

GESL

l’abélianisé et

_appliquant

le corollaire

_2.4,

nous concluons _que L est

_p-rationnel,

comme

_attendu,

_{et que} l’ensemble

SL

est

_p-primitif

dans

L. Ainsi :

COROLLAIRE 3.6. Dans une

_{p-extension primitivement}

rarrcifiée

LIE

d’un

corps

p-rationnel,

l’ensemble S des

places

modérément

ramifiées

est encore

p-primitif

dans L.

Remarques.

(i)

L’implication

de montée a été obtenue _par Miki à

partir

de la

ca-ractérisation

_(iv)

du théorème 1.2. Sa démonstration très

_technique

est

malheureusement assez _peu éclairante

(cf.

[Mi]).

(ii)

Ultérieurement,

Miki et Sato

_(cf.

_[MS])

ont donné une autre

démons-tration du théorème de

_montée,

en décrivant la structure du _groupe de Galois Gal

_(ZLIL)

de la

_composée

des

_{7Gp-extensions}

de L comme module sur

l’algèbre

Zp[Gal

dans le cas

particulier

où l’extension

LIE

est

cyclique

d’ordre _p. Pour _passer ensuite au cas

général,

il est nécessaire de vérifier _que si

_L/li

est

_{primitivement ramifiée,}

l’ensemble des

_places

modérément ramifiées dans

_L/K

est encore

primitif

dans L

(i.e.

le corollaire

3.6

_ci-dessus),

ce _que la méthode ne donne _pas.

(iii)

Dans

_[GJ],

_{l’implication}

de montée est ramenée au cas abélien à l’aide de la théorie des _{genres ;} elle est alors démontrée _par la théorie

p-adique

du _corps de

_classes,

via la caractérisation

_(v)

du théorème 1.2.

COROLLAIRE 3.7. Toute

_p-extension

_{primitivement}

_ramifiée

L d’un corps

p-rationnel

est un _corps

p-rationnel

_qui

_{vérifie la}

_conjecturé

de

Leopoldt

(Pour

le nombre

_premier

_p).

Si L contient les racines

_p-ièmes

de

_l’unité,

il

vérifie

en outre la

_conjecture

de Gross.

En

_effet,

tout _corps

_p-rationnel

vérifie la

_conjecture

de

_{Leopoldt ;}

tout

corps

p-régulier,

celle de

Gross,

dès lors

_qu’il

contient

_(p.

En

_fait,

comme

expliqué

dans

_(J1~,

la nullité de le

_p-partie

du noyau hilbertien

H2(L)

suffit

4. Lois de

_{réciprocité primitives.}

Nous _supposons désormais _que K est un _corps

_p-rationnel

contenant les

racines

_p-ièmes

de

_l’unité,

et S un ensemble

_p-primitif

maximal de

_places

modérées de

Comme

_expliqué

au début de cet article

_(cf.

_proposition

_1.1)

K est alors

un _corps

p-régulier,

ce

qui

signifie

_que tout

_symbole

sur

~1’,

à valeurs dans un _p-groupe,

s’exprime

comme

produit

_{(éventuellement}

_infini)

des

symboles

réguliers

attachés aux

places

non

complexes

de K. Par

exemple,

puisque

l(

_possède

une

unique place

_{p au-dessus de p}

(cf.

condition

(v,

(a))

du

théorème

_1.2),

le

_p-symbole

de Hilbert attaché

_{à p}

_(à

valeurs dans le

p-groupe des racines de l’unité dans

IC:)

est donné par la formule du

produit

où

_P"

_désigne

l’ordre du _p-groupe local _{Mi, et}

_p’n

celui du _p-groupe

_global,

l’égalité

m =

mp résultant des

hypothèses faites,

puisque

l’extension

cyclo-tomique

ne

_peut

se

_décomposer

en _p

_(toujours

d’après

la

con-dition

_(v,

_(a))

du théorème

_1.2).

Nous nous _{proposons ici de} déterminer une loi de

_{réciprocité explicite}

pour le

symbole

sauvage

(20132013)

ne mettant en

_jeu

qu’un

nombre fini de P

symboles

modérés. Le cas _{p =} 2 faisant intervenir les

symboles

réguliers

attachés aux

places

réelles,

nous aurons besoin _pour cela d’un résultat

légèrement plus général

que le théorème

2.3,

et que nous allons

_maintenant

ét abli r :

THÉORÈME 4.1. un

corps p-rationnel

et S un ensemble

p-primitif

rnaximal de

_places

modérées de K.

_Alors,

dans la

_{correspondance}

du _corps de

_classes,

le _groupe de

_galois

de

_{pro-p-extension}

abélienne S-modé-rément

_ramifiée

maximale

_Ms~

de l(

_{(i. e.}

de la

_composée

des

_p-extensions

abéliennes de I(

_qui

sont non

lamifiées

(aux

places

finies)

en dehors de S

et de

_p~

est donné par

l’isomorphisme :

C’est donc le

_produit

direct des sous-groupes de

décomposition

des r

_places

réelles et des c + 1

places

de S.

Démonstration.

_{La p-extension}

abélienne

_{p-ramifiée Soo-décomposée}

maxi-male de K étant triviale _par

_hypothèse,

un calcul direct donne :

et tout le

_problème

consiste à vérifier que le dénominateur est nul. Or

cela résulte _par

_exemple

du théorème

_2.3,

_puisque

les idèles

_principaux

qui

interviennent sont des S-unités infinitésimales

_(i.e.

des éléments du tensorisé

_Zp

_~~

_Es

_d’image

1 dans le facteur

_K§

=

COROLLAIRE 4.2.

Épimorphisme

de dualité. Conservons les

hypothèses

du

_théorème,

et _supposons en outre _que le _corps ~1 contienne les racines

p-ièrnes

de l’unité. Alors

_{l’application}

_canonique

du tensorisé

_p-adique

_{&#x26;~ =}

_~p

®~

_ES

du _groupe des

_{,S’p-unités}

_(au

sens

ordinaire)

de ~~ dans le

_produit

des

_{complétés profinis}

_pour C E

Soo,

induite _par le

_{prolongement diagonal}

du _groupe

_{multiplicatif}

de l( dans le

produit

de ceux de ses

complétés

aux

places

réelles ou contenues dans S est

un

_{épimorphisme.}

Démonstration.

_Lorsque

le _{corps ~1’ contient} les racines

_p-ièmes

de

l’uni-té, l’isomorphisme galoisien

du théorème

_1,

_transporté

_par la théorie de

Kummer,

montre que le radical de

_{la p-extension}

abélienne élémentaire S-modérément-ramifiée maximale du _corps l( s’identifie au pro-duit des radicaux locaux _pour 1 c

S’oo ;

ce

_qui

s’écrit :

. D’après

le lemme de

_Nakayama,

cela suffit à établir _que

_{l’application}

na-turelle

est un

_{épimorphisme.}

Bien

_entendu,

ce n’est _pas

(en général)

un

isomor-phisme,

la source et l’arrivée n’étant pas des

Zp-module

de même rang.

x

Il est alors commode de réunir le théorème 2.3 et le corollaire 2 ci-dessus dans un même énoncé sous la forme :

COROLLAIRE 4.3. Lemme

_{d’approximation}

simultanée _par les S-unités. ,S’ous les

_{hypothèses précédentes,}

les

_injections

_diagonales

_{Es ’--7}

et

E’s ’--7

~~~"

induisent les

_{isomorphismes canoniques}

où

_p’n

est l’ordre du _{p-groupe Il} des racines de l’unité dans

Cela

_étant,

nous _pouvons énoncer :

’THÉORÉME 4.4

_(Loi

de

_{réciprocité}

_{primitive) .}

un _corps

p-régu-lier contenant les racines

_p-ièmes

de l’unité

_{et p}

_{l’unique place}

de K au-dessus de _p.

_Alors,

_pour tout ensemble

_p-primitif

maximal S de

_places

modérées de

_K,

les

_quotients

où

_p’n

est l’ordre du _{p-groupe li} des racines de l’unité dans

_I(,

sont na-turellement

_{anti-isométriques}

_pour la structure

_{(symplectique}

_pour

_{p 54}

_2,~

donnée _par les

_symboles

de Hilbert.

Démonstration. Il

_s’agit

d’établir

_qu’il

existe un

isomorphisme

canoni-que ~ps du

quotient

I(pX

sur le

quotient

tel

qu’on

ait l’identité entre les

_symboles

de Hilbert à valeurs

_{dans y :}

Or cela résulte immédiatement du lemme

_{d’approximation}

simultanée par les

_S-unités,

et de la formule du

_{produit rappelée plus haut,}

compte

tenu

de l’identité _{m, pour 1 E} S.

Remarques.

(i)

Lorsque pm

est différent de

_2,

le _corps K n’admet _pas de

_plongement

réel,

et le

_quotient

est alors un

Z/p’Z-module

libre de dimension

_{2( c}

+

_1).

- Si

p est

impair,

les

symboles

de Hilbert à valeurs dans p en font un module

_symplectique

non

_{dégénéré,}

et il est facile de voir _que le

_quotient

maximal

_(de

dimension c ₊

_1).

On obtient alors un

supplémentaire

totale-ment

_isotrope

en faisant choix _pour

chaque

1 de S d’une uniformisante locale

~rr que l’on

regarde

dans

ES

et en formant le sous-module

_engendré

_par les

1r(. Via la théorie de

Kummer,

cela revient à

prendre

le radical attaché à la

sous-extension

_d’exposant

_p’n

de l’extension abélienne donnée _par le corollaire 2.5.

- Si

p vaut

2,

le

quotient

n’est

plus

un module

symplectique :

le _sous-groupe

_engendré

_par les racines locales de l’unité est

toujours

un sous-module totalement

_{isotrope maximal ;}

mais il n’admet

plus

de

_{supplémentaire}

_{isotrope, puisque,}

_pour toute uniformisante _1r(, on

a

_{= -1,}

_par un calcul immédiat.

(ii)

Enfin, lorsque

p’n

vaut

_2,

le

_quotient

est un

_IF2-espace

quadra-tique

de dimension

_{r + 2(c + 1),}

où r est le nombre de

_places

réelles de

_le,

_qui

admet comme _sous-espace totalement

isotrope

maximal le

quotient

E+/E+

de dimension c ₊

_1,

_engendré

_par les

_p-unités

totalement

_positives.

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J.-F. Jaulent

Centre de Recherche en _{Mathématiques} de Bordeaux

Université Bordeaux 1 351, cours de la Libération F-33405 TALENCE Cedex T. _{Nguyen Quang} Do Laboratoire de Mathématiques Université de Franche-Conte Route de _{Gray -} La Bouloie F-25030 _BESANÇON Cedex