Sur une suite de fonctions liées à un procédé itératif - II

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

-P

IERRE

B

OREL

Sur une suite de fonctions liées à un procédé itératif - II

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

5, n

o

_{2 (1993),}

p. 235-261

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1993__5_2_235_0>

© Université Bordeaux 1, 1993, tous droits réservés.

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Sur

une

suite de fonctions

liées

à

un

procédé

itératif -

II

par JEAN-PIERRE BOREL

Dans l’étude de la

_discrépance

de suites auto-similaires

_apparaît

une

famille

_{particulière}

de

_fonctions,

dont la connaissance des valeurs extrêmes

joue

un

grand

rôle. Le but de ce travail est de décrire avec

précision

cet-taines des ces

fonctions,

_par un

procédé

lié aux substitutions. Cela

_permet

d’estimer,

pour ces

_fonctions,

les valeurs

_extrêmes,

ainsi que les

_points

où

elles sont atteintes. On en déduit une estimation de la

discrépance

de la

suite en

question.

L’outil

_principal

utilisé est une méthode de

représentation

symbolique

de

certaines fonctions afhnes _{par morceaux,} de _pente constante. On

_représente

ces fonctions à l’aide de mots sur un

_alphabet

_fini,

chacune des lettres

représentant

une

_partie

de la

représentation

graphique

de la fonction. Cette

méthode n’est

_présentée

_{ici que pour} des fonctions

_{particulières,}

sa

générali-sation fera

_l’objet

d’une

_publication

ultérieure.

1. Présentation du

_problème

1.1

Dans tout ce

_{qui suit,}

a = 2 - ~ et ~ = 1 - a = ~ - 1.

Dans

[Borel],

section

_1,

_{chapitre III, j’a,i}

introduit les fonctions

_fo

et

_fl,

définies de

_{(2013/?, a)}

dans lui même. Les valeurs extrêmes de l’intervalle ne

_jouant

aucun

rôle,

je

ne

préciserai

_pas s’il est ouvert ou fermé. En

fait,

il est commode dans tout

ce travail de considérer une fonction à travers sa

représentation

graphique

et en _y

ajoutant

des

_segments

verticaux

correspondant

aux sauts en

chaque

point

de discontinuité. Le saut aux bornes - entre

f (rx - 0)

et

f (-,C3

+

0)

-est,

par

convention,

mis à la fin de l’intervalle.

Manuscrit reçu le 30 octobre 1991.

Les résultats contenus dans cet article ont été _exposés au _{colloque "Thémate",} (CIRM, Luminy, Mai _1991).

1.2

Soit ,A un

alphabet

(c’est-à-dire

un

ensemble)

fini et ,A* l’ensemble des

suites

_finies,

ou

_mots,

_{a1 a2 ... aj} avec _ai E .A. On notera

_alors,

notation

reprise

par la suite :

Si A =

10, 1},

à

chaque

mot fini a

_(les

mots seront

_toujours

écrit en _gras par la

suite)

on associe la fonction de

(-~3, a)

dans lui-même :

1.3

On note e le mot vide de

_.A*,

et si a est un mot

_fini,

on lui associe deux

de ses

_préfixes

_(un

_préfixe

est un début _{par :}

ce

_qui

_signifie

_{que :}

ao

est le

_préfixe

de

_{longueur j -}

1 de a

_(on

enlève la dernière lettre à

droite) ;

ai

est le

_préfixe

obtenu

_après

les deux

_opérations

suivantes :

on enlève tous les 1 à droite de a

puis

on enlève les deux dernières lettres à droite de ce

qui

reste.

ao

et ai sont donc des

_préfixes

stricts de _a, et donc la relation suivante

permet de définir récursivement sur la

longueur

de a la famille de fonctions

Fa :

avec

_jalo

:=

~

_1,

nombre de fois où la lettre 0

_apparaît

dans le mot a.

a

Si a =

1~

(mot

de

_{longueur k}

_n’ayant

_que des

₁₎

ou a =

01~,

a’

n’est _pas

défini et

_Fai

doit être

_remplacé

_par 0.

1.4

Soit

Ma

la borne

_supérieure

des décrivant

_{(-~3, a).}

Les

suite auto-similaire U. Plus

_{précisément}

_{(voir [Borl]}

_p.

_{84, proposition}

_10),

quel

que soit n &#x3E; 1 :

où

_DÑ(U)

_désigne

la

_discrépance

à

_l’origine

de cette suite

_U,

ln est une

quantité

qui

se calcule assez

facilement,

et le maximum des

_Ma,

a

décrivant une famille finie de mots.

1.5

Des

_{renseignements}

sur les fonctions sont fournis _par le théorème

_5.6,

p.

82,

de

[Borel] .

I1 est facile de

_calculer,

à l’aide des relations

_{(1) (2)}

et

_(4),

les fonctions

_Fa

sur

ordinateur,

et donc d’évaluer une valeur

approchée

de

Ma

pour pour un mot a de

longueur raisonnable,

ainsi _que de les tracer.

Par

_{exemple :}

Figure

1

Le but de ce travail est de

_comprendre

la structure de ces

fonctions,

très

irrégulières

comme le montre la

_{représentation graphique ci-dessus,}

mais

représentant

cependant

une certaine structure

_générale

_{(répétition}

de blocs

2. Les fonctions

_Fk

2.1

Des raisons

_heuristiques

_que

_je

ne détaillerai _pas ici conduisent à _penser que ce sont les mots ne

_comprenant

_que des 0

qui

sont déterminants dans la

_majoration

_(5),

_plus

_{précisément}

à la

_{conjecture :}

où

_bk

=

0~

est le mot de

longueur

k

n’ayant

_que des 0. 2.2

Dans ce

qui suit,

et pour

simplifier

les

notations, je poserai fk

:= =

¡Jk)

(itéré

k fois de

_fo),

_Fk

:=

_Fbk

et

Mk

:=

De

₍₃₎

on déduit _que =

bk-l

et

b)

=

bk-2,

et donc

(4)

devient :

2.3

La fonction

_Fk

est donc affine par morceaux,

chaque

morceau

_ayant

la

même

_pente

_Pk,

la suite

_(Pk)

étant déterminée _{par :}

2.4

On dira donc

_{que F}

est affine par morceau de

_"pente

constante" . Une

méthode de

_description

de ce

_type

de fonctions conduit alors au résultat

sui vant :

et il

_peut

être

_précisé

en

_quels

_points

ces extrema sont

_approchés

_(voir

[Bor2]).

Ce théorème montre

_que

l’estimation

₍₂₄₎

_p. 88 de

_[Borl]

est

optimale, puisqu’avec

les notations utilisées

_alors,

on a

(a+ -

a- )b =

2

3. Une méthode de

_description

de fonctions affines _par morceaux

3.1

Il est clair _{que pour} caractériser une fonction F affine _{par morceaux,}

définie _par

_exemple

sur

_{(-~3, c~),}

il suffit de se donner _par

_exemple

_F(-~3),

puis

la

_longueur

de chacun des _morceaux, leur

_pente,

et

_{l’amplitude}

des

sauts. n suffit en fait _que la

longueur

de chacun des morceaux soit connue

à un facteur

_{multiplicatif près,}

_puisque

la somme de ces

longueurs

vaut 1.

Si F est affine _par morceaux de

_pente

constante

_P,

il suffit donc de connaî tre :

F(-~3) (sinon

F est connu à une translation

près),

la

_longueur

des _morceaux, à un facteur

près,

l’amplitude

des sauts.

3.2

Considérons les trois

symboles

suivants _{u, w, w :}

Figure

2

où l’échelle horizontale n’est _pas

_précisée.

Soit ~3 =

~u, w, w~

_{et p un mot} de B*.

D’après

_3.1,

il existe _une

P,

et

_{représentée}

_par le _{mot p}

_(unique

à une translation

près).

On écrira

alors F =

[p, P].

Par

exemple :

Figure

3

(une

méthode

_analogue

de

_{représentation symbolique}

des fonctions

_fa

est

exposée

dans

_[Borl].

Cette méthode est

_plus

_générale,

voir

_[Bor3]).

3.3

Soit _p la substitution définie sur l’ensemble des mots finis B* _{par :}

et Pk le mot

pk( u).

On a donc :

etc...

Démonst ration. Fk

est affine _{par morceaux,} de

_pente

constante

Pk.

D’après

le théorème 5.6 _p. 82 de

_{[Borel] ,}

les sauts de

_Fk

sont

_parmi

ceux des

fô~~, j Ç

k. Or l’écriture

_symbolique

de obtenue dans

_[Borel],

p.

79-80,

qui

ne tient _pas

_compte

des

_sauts,

est obtenue _par itération k fois de la substitution :

_

---

___-Il reste donc à

_préciser

les sa,uts

_éventuels,

et leur

_amplitude

_(-1,

0 ou 1

d’après

le théorème 5.6 de

_[Borl]).

On a clairement :

/]LB

et les sauts de

Fk

se déduisent de ceux de

Fk_2,

et

_d’après

_(7).

D’où l’étude des deux

_tableaux,

_qui

traduisent des

_découpages

successifs d’intervalles :

et

Tableau 2

Un nouveau

découpage

dans l’écriture de

Fk

correspond

à un saut de 1

qui

est donc

_{d’amplitude}

-1.

_Fk-2

et

_n’ayant

_pas alors de

_saut,

F~

a

Premier

_{cas, ’il :}

LEMME 1. On _{a, pour} 0 :

et en

particulier

Pk

a le

signe

de

(20131)".

Démonstration.

_D’après

le théorème 5.6 de

_{[Borel] ,}

_p.

_82,

la

_pente

_Pk

de la fonction

_Fk

=

Fb,

_peut

s’obtenir aussi à l’aide de la récurrence double :

On a

_alors,

_par un

_argument

_{classique :}

La matrice M est

_{diagonalisable,}

de valeurs

_{propres -(3}

_{-~- ,0),}

1 et

_(-a).

L’écriture de

Pk

provient

donc de l’écriture du vecteur

Il est à noter _que la formule donnant

_{Pk peut}

se vérifier directement à l’aide

de

_(8),

avec un calcul laborieux...

Le

_signe

de

_Pk

s’obtient

_alors,

ou découle du lemme 7 _p. 82 de

_[Bor].

D

Donc tout morceau u dans

_Fk

est suivi d’un saut

_{d’amplitude}

1 en valeur

absolue et contraire à la

_pente,

tous les «g sont donc des u.

Deuxième _cas, w

_provenant

de u :

c’est la situation des a des tableaux 1 et 2. En ces

_{points :}

a un saut

_{d’amplitude -(3}

_{(signification}

de w et u _pour

_fo,

voir

a un saut

_{d’amplitude}

_(-1)k

_d’après

le

_premier

cas,

Fk-2

n’a _pas de saut.

Le saut de

Fk

vaut donc

_{,8.( -l)k}

-~ a.0 -f-

(-1)k.(-~û)

=

0,

_ce

qui

signifie

qu’il n’y

a _pas de saut. zv est donc un w.

Troisième _cas, iv

_provenant

de iu :

c’est la situation des b des tableaux 1 et 2. il

_s’agit

donc de connaître la

nature du w

_qui

le

_précède

dans le tableau

_1,

ou des deux w

_qui

le

_précèdent

dans le tableau 2.

Pour

_bl,

on a :

a un saut

_{d’amplitude -,8.}

Fk-l

n’a _pas de saut

_d’après

le deuxième cas.

Fk-2 a

un saut

_{d’amplitude}

_d’après

le

_premier

cas.

Donc

Fk

a un saut de

_{/3.0+~(-1)~+(-1)~(-/?) = (-1)~+~}

saut contraire

à la

_pente.

Le w est donc un w.

Pour

_b2,

il faut discuter en fonction de la nature du w

_qui

_précède

_(rang

k - 1).

Tableau 3

avec s E

_{{-l, 0, 1},}

cf.

_[Bor1]

_{p. 82.}

Comme ce dernier saut est

_entier,

on a donc s - 0 si on a un _{w, s} =

( -1 )k+1

si on a un _w, et donc :

si au _rang

k - 1,

on a un w alors

Fk

n’a _pas de

_saut,

on a au _rang

_

si au _{rang k -}

_1,

on a _{un Zv} alors

Fk

a un saut

_{d’amplitude}

on a un zv au _{rang k.}

Tableau 4

ce

_qui

traduit exactement la substitution _p. D’où le théorème. 0

Il est

_possible

de donner une

représentation symbolique

analogue

à celle

du théorème 2 pour les fonctions

_Fa

en

_général.

Je ne sais

cependant

pas le faire avec un

alphabet

de moins de 22 lettres

(11

lettres

qu’il

faut

dédoubler).

Ce dernier travail est en cours de rédaction.

4. Un

_système

de numérotation lié aux fonctions

_Fk

4.1

Les notations utilisées ici sont celles de

_Renyi,

_[Ren],

_qui

a introduit ce

type de

_système

de numérotation. Soit

_{f l’application}

de

_{(0, 3}

+

_/3)

dans

(0,1)

définie _par

La numérotation associée est définie de la

_façon

suivante : un nombre réel x aura _pour

développement

la suite infinie d’entiers _{~1~2 " ’ on - - -} si :

(un

tel

_{développement}

existe et est

_unique

sauf _pour un ensemble

dénom-brable de

_points,

comme dans le cas des

développements

classiques :

rem-placer

3 +

(3

par 3 donne le

développement

classique

en base

3).

On notera

alors x =

" ’]

et -lE2 ...

= D(x).

4.2

Il est facile de voir _que si

appartient

à

_l’alphabet

C =

{0,1,2,3},

mais que

tous les mots infinis de C°° ne sont _pas

_{possibles :}

_par

_exemple,

3 +

_{f (3) =}

3 +

_3+~

&#x3E;

_1,

et donc _{~2 -} 3 est

_impossible

_(voir

_par

_exemple

_Parry,

[Par]

et

_{Bertrand-Mathis,}

_[Ber],

_pour des travaux de ce

type).

PROPOSITION 1. Soit d = 3111 ... = 31W. L’ensemble des

développements

est l’ensemble des mots x E C°° tels _que b

_(pour

l’ordre

lexi-cographique)

pour tout n &#x3E;

0,

où S

_désigne

le

_shift

sur C °° .

Démonstration. C’est

_{immédiat, puisque}

de

₍₃

=

v’2 -

1,

on déduit

/(1 + /?)

=

(3.

Donc d’ = lw

représente

le nombre réel

,Q,

et 31c.v

représente

le nombre réel 1. D

L’ensemble des

_{développements}

_peut

aussi être

_{représenté,}

suivant un

ar-gument

classique

(Hofbauer, [Hofl, Hof2])

par l’ensemble des

étiquettes

des

chemins infinis de l’automate suivant :

Figure

5

Ce

_système

est lié à la substitution 1 - U w utilisée au

paragraphe

3. On associe en effet à 11 et iu des intervalles de

_longueur

₃₁

et

_~

_{respectivement.}

La substitution

_correspond

alors à la

_{multiplication}

par 3

+,3

(voir

figure

4,

partie

en

grisé).

4.3

Au

_système

de numération défini en

_4.1,

il est

classique

d’associer la

transformation T de

_(o,1)

dans

_lui-même,

définie _{par :}

c’est-à-dire ici :

Pas

_plus

_que

_{prédédemment, je}

ne

m’occuperai

de

préciser

la valeur de

cette fonction là où il _y a un saut. Les itérées

T~

ont une

représentation

symbolique analogue

à celles des

_Fk.

PROPOSITION 2.

Tk

est la

_fonction

sur

_(0,1)

caractérisée _par

où

_{p~ =}

_{p’k ( u’ ),}

avec

p’ : u’

H

u’w’,

et 2c’ e t w’ l es

symboles :

Démonstration.

Il est clair que

Tk

est affine _{par morceaux,} de _pente constante

₍₃

₊

D’autre

_part,

T est liée à

_fo

_par la relation

_fo(x)

+

_/3

= _-t-

{3),

_et donc

fo

et T ont même

_{description symbolique}

sur leurs intervalles de définition

respectifs,

et donc leurs itérées aussi. Le résultat

_(presque

immédiat à voir

directement)

peut

donc aussi se déduire de

[Borel] ,

_p. 78-79. D

4.4

Soit la suite de fonctions définie sur

_(0,1)

_{par :}

Il est alors immédiat _que

_Gk(X)

= X -

Gk-I(Tx),

et _que les maximum et

minimum de

Gk

sont atteints

_{respectivement}

en

xk

et

_x;,

donnés _{par :}

Une version faible du théorème 1 s’obtient alors

_facilement,

en

et

_{Fk (o) -}

0. On montre _que la suite de fonctions

_{(Fk -}

est

uni-formément bornée sur l’intervalle

(o,1),

d’où l’on déduit l’estimation :

Une _preuve détaillée de ces résultats se trouve dans

_(Bor2~.

5. Localisation des extrema des fonctions

Fk

5.1

DÉFINITION. La

_fonctions

_{f :}

I -&#x3E; R _est dite

_7r-p0intUe

(7r

_&#x3E;

0)

s’il

exis-te dans l’adhérence du

_gmphe

de

_f,

c’est-à-dire l’adhérence de l’ensemble

{(a?,/(a?)), rc

deux

points

(x-, ~n_)

et

_{(x+, m+)}

tels _{que :}

Cela

_signifie

que la

représentation graphique

de

f

est contenue dans le

polygone

dont les côtés inclinés sont de

_pente

±7r

_{(figure 7).}

Il est en

particulier

clair _{que :}

ces extrema n’étant

_approchés

_{qu’au voisinage}

de ces

_points.

5.2

Soit x E R. On notera alors :

S et A sont donc à valeurs dans

_{(-e, a)}

et Z

_{respectivement.}

Soit

_f

définie sur

(-0, a), A

et _J.L deux

_paramètres

réels. On définit

sur l’intervalle

(-~3, a)

la fonction comme étant la restriction de la

fonction :

définie sur l’intervalle

(-{3,

3 ~ )

image réciproque

de

t- 1, 0, 1,

2}

_par

A,

et

_qui

contient l’intervalle

_{(-{3, a)}

strictement.

LEMME 2. Soit

_À,

_fc &#x3E; 0. Six’ :=

(3 + (3)Jl- À

est strictement

positif,

f

7r-poÍlntue

entraîne

_R)..,J1.f

avec 7r" :=

min{(3-f-),(3+)r-}.

On a alors :

Démonstration.

_(Un

résultat

_analogue

_peut être obtenu

_lorsque

les

_signes

de À

_{et y}

sont

_{quelconques).}

Sur l’intervalle

_{(’+’ 3 ~ ),}

on a

A(x)

=

_2,

_et

donc sur cet intervalle :

Comme

_{quand x s’approche}

_(du

bon

_côté)

de

_x+,

_s’approche

de

x-et donc tend vers

m+,

on a bien une

inégalité du

_type

cherché.

Pour les autres

_intervalles,

il suffit de _{remarquer que} le

_graphe

de

est invariant par translation de vecteur

( 1 , M),

de

pente

(3

+

_(3).t.

3+,C

La démonstration est

_analogue

_pour

_zi

et

_m’!...

D

PROPOSITION 3.

_{Soit p}

&#x3E; 0 donné. On suppose que

f définie

sur

( -,C3, cx )

vérifie :

Pour tout

_couple

_(À,

_p)

tel _{que p}

₍₃

_{+ (3)J.L}

_{et p}

₍₃

+

_{(3)p -}

À,

la

_fonction

vérifie

aussi

_(12).

Démonstration. est

_{p-pointue d’après}

le

_{lemme, puisqu’il}

est clair

que p

x" et

_ir-pointue

entraînent

_p-pointue.

_D’après

le lemme

_2,

on a de

plus :

Les extrema de

_Rx,mf

sont donc à l’intérieur de l’intervalle

_{(-~3, a).-}

Ce

sont donc ceux de

_qui

est donc

_p-pointue.

0

5.3

La notion de

_p-pointue

et les transformations

_Rx,,,

_peuvent

être utilisées

pour l’étude des extrema des fonctions

_Fk.

LEMME 3.

Démonstration. Sur l’intervalle

_(3~’

_{3+ ),}

_{Fk+1 a la}

même

représenta-tion

_symbolique

_que

_Fk

sur

_{(2013/3~) :}

cela

_provient

du théorème 2 et de la substitution _p

_permettant

de _passer de _pk à _{pk+1 .}

Si x est dans cet intervalle et

_Nk

=

Nk(x)

est le nombre de sauts de

la variable allant de 0

_{à x,}

on a alors :

ce

qui

donne en éliminant

Nk :

en utilisant

l’expression

de

Pk

obtenue au lemme 1. Cette dernière

égalité

n’est _{autre que}

₍₁₁₎

sur cet

_intervalle,

où

_{S(x) _}

₍₃

+

_/3)x

et

_A(x)

= 0.

Il reste à démontrer _que l’on a

_{Fk+1 (x +}

3+a )

= _{pour tout}

x entre

_-/3

et a -

1

Comme

où qk

est un

"préfixe"

de _pk, il est clair

_qu’une

telle constante _pk existe et

correspond

à la variation de sur un intervalle semi-ouvert de

longueur

1

3+Q °

La

_pente

de est et il _y a une contribution des sauts

Pk

sur

un tel intervalle : cette contribution est

_l’opposée

de celle des sauts de

_Fk

sur ] -

{3,

a],

qui

vaut

_-Pk.

On a donc :

On

_peut

noter _que

_Àk

= où les _yk sont ceux utilisés dans

[Bor2],

proposition

3.

Démonstration. Le résultat est clair _pour

_Fo,

_qui

est

_1-pointue

avec

xo,_ - -~C3

et _{xo~+ -} a. On

_procède

alors _par récurrence sur k. On obtient

immédiatement

_{pour k &#x3E;}

_0,

Donc : -.

et _p

_{min{(3 -~ ~3)p -}

_ak,

₍₃

+

Donc Fk

p-pointue

entraîne

p-pointue.

Les

_hypothèses

faites sur x- et _x+

_permettent

aussi d’utiliser le

corollaire,

et donc a bien les

propriétés

demandées. 0

Pour tout k &#x3E;

_0,

on a donc :

avec

xo~_ - -,~3,

_{xo,+ =} a. On en déduit en

particulier

_{que :}

D’autre

_part,

comme les sauts de

Fk

sont

_{d’amplitude}

_{( -1 ) k+1,}

_d’après

la

_{représentation}

_symbolique

du théorème

_2,

on a :

6. Démonstration du théorème 1

6.1

Considérons les

_symboles

_{u, w, w} définis au

paragraphe

_3,

ainsi que les

Figure

8

(!QI

et

_~2v

sont donc des

_copies

de _w, et s

_peut

être considéré comme la fin

d’un

_u),

et la substitution d définie sur

_l’alphabet

_{par :}

THÉORÈME 3. Le

_trajet

_symbolique

relie

_{les points}

_{(Xk,-, Mk,-)}

et

_{(0, 0) si}

on

prend

comme unité horizontale

(3

+

~)-~,

pour tout k &#x3E; 1.

Démonstration. Ce

trajet

est nécessairement une

_partie

de la

représenta-tion totale de

_Fk.

Cela

_justifie

l’échelle horizontale

₍₃

+

(3)-k.

Il

_s’agit

de

préciser

le début et la fin de cette

_partie.

La fin de ce

_trajet

est la

_plus

aisée à déterminer : 0 se trouve à l’intérieur d’un

_{symbole u}

_(c’est

le cas _pour

Fo),

dont on ne doit

garder

_que le

début,

noté

_wl.

_{Le passage} de k à k + 1 transforme ce u en _uuuw, et le

_partie

_w~

en

uwl (voir

en

4.2).

Le début est

_{plus délicat,}

_puisque

_{Xk,- varie} avec k. On utilise alors

(13)

et les

_{développements}

données au

paragraphe

4.4, qui

entraînent :

On vérifie tout d’abord _que le

_{trajet symbolique}

reliant

_{(xl ~_, m1,_ )}

à

(0, 0)

est

_swl,

ce

_qui.

est immédiat.

Si le

_trajet

reliant

_{(xZp+1~_, rra2~+1,_)}

à

_{(o, 0)}

commence _{par sw,} ou

swl

ce

_qui

est

_{identique :}

- il est

précédé

dans le _{mot Pk}

_{représentant}

_Fk

_{par un u ;}

-

on a

alors,

au _rang

_{suivant, w -}

~cw et u - uuuw :

Figure

9

et _{x2p+2,_ - x2p+1~_ -}

~3+~~ +1,

il _y a donc exactement la

_longueur

d’un

w entre _X2p+2,- et _~2p+i,-.

_D’après

_(14),

_{~2p+2,- =}

_{F2p+2(x2p+2~_ - 0),}

et donc il ne faut _pas

_rajouter

de saut. Donc : sw devient

_Iwuw,

_que l’on

peut

décomposer

en s -

Iw

et w - u w.

Si le

_trajet

reliant

_(X2p,-,

_m2p,-)

à

_{(o, 0)}

commence _par

- il est

précédé

par une lettre u dans le mot _{pk ;} -

au _{rang suivant}

lw

est transformé en uw

_{(car ~w}

est

_identique

à

_w),

et :

Figure

10

(puisque

X2p+l - = X2p,- +

~3+~~ p ,

il y a exactement la

_longueur

d’un

u entre les

_deux).

Dans le

_trajet

_concerné,

on démarre donc

après

le u.

D’après

_(14),

il faut inclure un saut

_puisque

_{m2~~ _ -}

_{F2 p (x2 p~ _ ) -}

1. Ce

saut

_correspond

à la lettre s

_{qui apparaît}

effectivement comme la fin d’un

u.

_{Donc lw}

a

_généré

en fait sw.

Ceci rend la récurrence

_complète,

et donne le résultat annoncé

_compte

6.2

On déduit de ce résultat des estimations

_{asymptotiques}

de mk,- et _{mk,+ ~}

COROLLAIRE 1.

Démonstration. La substitution a a _pour matrice :

et si on note

_{kl, k2, k3,}

_k4,

_k5,

k6

_{respectivement}

le nombre de lettres _u,

w, w,

wii

s, ~

lw

dans le mot on a

Dans la base

Les coordonnées de

_V~1

dans cette base sont :

Celles de

Vk

sont donc dans cette même base :

D’où les valeurs des

_{ki, le}

tableau devant être lu :

Tableau 5

On retrouve le fait évident _que k4 vaut

_{toujours 1,}

k5 = 1

(k impair)

ou

k5 = 0

(k

pair)

et le contraire pour k6.

Fk

est de _pente

_Pk,

et les

_symboles

_{u, w, w, s,}

_Iw

_{correspondent}

à

un

_couple

_(saut,

distance

_horizontale)

de

_{(l,1), (0, ~3), (1, #),}

_{(0,/?), (1, 0),}

(0,,3)

respectivement.

Il faut normaliser les _{sauts par}

_(-1)k+1

et la distance horizontale _par

₍₃

+

(3)-k.

On a donc :

Dans le

_{développement}

_{de Mk,-,} tous les termes en

o(l)

sont donc en

0 «2 -

~2)~).

D’où : Tableau 6 et donc : COROLLAIRE 2. Démonstration.

Le

_trajet

_symbolique

entre et

₀₎₎

est

exactement le même que celui entre

(Xk,-,mk,-)

et

(0,0).

En

effet,

on

passe de xk,- à en

_ajoutant

un 3 devant le

développement

en base 3 +

{3,

et de même _{pour passer} de 0 à a. Il faut normaliser maintenant

les sauts _par

(-1)k+2

et la distance horizontale _par

₍₃

+

(3)-(k+I).

D’où

l’analogue

de la formule obtenue

_plus

haut _{pour mk,- :}

D’autre

_part,

on déduit aisément de

(7)

que bk

:=

Fk(a - 0)

vérifie la

relation de récurrence

_ôk+2

=

(1 -

+

abk,

avec

bo

= 0 et

61

= _a

(en

D’où les calculs :

Tableau 7

et donc :

On _peut donner une démonstration directe du corollaire

_2,

analogue

à

celle du corollaire 1 et mettant en oeuvre une autre substitution sur un

autre

_alphabet

de six lettres.

On voit sur la

_figure

11 les

_trajets

_swuuuwuwl

=

u2(s1Ql)

et

IWU1Q1 =

qui

relient

_{respectivement}

_(x3,-,m3,-)

à

_{(0, 0)}

et

_{(~3 +, m3,+)}

à

(a,F3(a - 0)).

Les

_{points e}

_séparent

les lettres des mots décrivant ces

7. Une

_hypothèse

7.1

Les calculs

_numériques

_pour les

_prernières

valeurs conduisent à valider la

_conjecture

_(6),

et même à

_envisager

_{l’égalité :}

ce

_qui

conduit, d’après

le théorème

_1,

à :

Cette valeur est à

_rapprocher

des

_quantité

_L(V)

et

_L(W),

où V est la suite

classique

de van der

_Corput

et W la suite des

_{(~n~}), e}

=

1 2 5 .

* Ce sont

en effet des suites auto-similaires

correspondant

à

l’alphabet

voir

(on

peut

remarquer que la suite avec 0 =

.j2,

_{a une} constante L

plus faible,

mais elle est auto-similaire avec un

alphabet

à trois lettres au

lieu de

_deux).

7.2

Les résultats obtenus conduisent aux valeurs

_numériques

suivantes :

Pour vérifier

_{numériquement}

_que

_L(U)

_L(V),

il "suffit" donc d’aller

jusqu’à k

=

7,

c’est à dire au mot 0000000.

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Jean-Pierre Borel URA CNRS 1586

Université de _Limoges Faculté des Sciences

123 avenue Albert Thomas