F-58
Exercice d’algèbre
• utilise la notation fonctionnelle pour évaluer les fonctions
Exemple 1Si trouve :
a) f(4) b)
g(–2)c) d)
h(3)e)
g(h(27))f)
g(f(0))
Solutions2
2
2
a) (4) 4 2 18 b) ( 2) 1
2
c) 1 (2) 2 2 6
2
d) (3) 3(3) 3
e) ( (27)) ( 3(27)) (9) 1 9 f) ( (0)) (0 2) (2) 1
2 f
g
f g f
h
g h g g
g f g g
= + =
− = −
= = + =
= =
= = =
= + = =
1 f g 2
2
1
( ) 2, ( ) , ( ) 3 ,
f x x g x h x x
= + = x =
Annexe F-1
• décomposer en facteurs des trinômes qui sont des carrés parfaits
ExempleDécompose complètement en facteurs :
Solution
• compléter le carré
ExemplePour quelles valeurs de k le trinôme est-il un carré parfait?
Solution
a) 25 b) 36 c) 9
4
2 2 2
a) 10 b) 12 c) 3
x x k
x x k
x x k
− +
+ +
+ +
2 2
2
a) ( 1) b) ( 3) c) ( 2)
x x x
− +
−
2 2 2
a) 2 1
b) 6 9
c) 2 2 2
− + + +
− +
x x
x x
x x
F-60
Organigramme Coniques
Équation générale Ax2 + Cy2 + Dx+ Ey+ F = 0Cercle Équation générale Ax2 + Dx+ Ey+F = 0 By2 + Dx+ Ey+ F = 0 Équation générale Ax2 + Cy2 + Dx+ Ey+ F = 0 Si A≠C
Équation générale Ax2 – Cy2 + Dx+ Ey+ F = 0 (h, k) sont les coordonnées du centre rest le rayon
(h, k) sont les coordonnées du sommet(h, k) sont les coordonnées du centre « a » unités dans la direction x « b» unités dans la direction y
(h, k) sont les coordonnées du centre sommets — dans le sens du terme positif pente à l’asymptote =
Équation canonique (x – h)2 + (y – k)2 = r2Équation canonique (y – k)2 = 4p(x – h) (x – h)2 = 4p(y – k)
Équation canoniqueÉquation canonique
EllipseHyperboleParabole 22 22 22 22
1 ()() 1
xy ab xhyk ab+= −− +=
2222 2222 22 22 22 22
1ou1 ()() 1ou ()() 1
−=−= −− −= −− −=
xyyx abba xhyk ab ykxh ba b a± − h k (0, 0) (r, 0)
(0, r) (0, −r)
(− r, 0) (h, k) S(0, −b)
S (0, b)3 S (a, 0)4S ( − a, 0)2ll
Annexe F-2
Similarités et différences
Similarités entre _________________ et ______________________
Øce sont des sections coniques Ø ce ne sont pas des fonctions Ø elles ont un centre
Ø elles ont des sommets
Diagramme
l’Hyberbole l’Ellipse
hyperbole ellipse
Différences entre ___________________ et ________________________
Ø elle a des asymptotes Ø elle n’a pas d’asymptotes
Ø c> a Ø c< a
Ø soustraction de termes Ø addition de termes
Diagramme
Énonce les similarités et les différences entre les deux termes, les concepts ou les événements.
Bien que l’hyperbole et l’ellipse soient toutes deux des sections coniques, l’hyperbole a des asymptotes alors que l’ellipse n’en a pas.
Autres applications de ce cadre : Permutations par rapport à combinaisons
Fonction inverse par rapport à fonction réciproque
Étirement horizontal par rapport à compression horizontal
l’Hyberbole l’Ellipse
x y
x y
S I M I L A R I T É S
D I F F É R E N C E S
Similarités et différences (Compare and Contrast Frame) :Utilisés avec l’autorisation de
Annexe F-3
F-62
Développement du concept selon Frayer
Caractéristiques Caractéristiques
essentielles Toujours
Caractéristiques non essentielles
Parfois
Caractéristiques non pertinentes
Jamais
Exemples Exemples non
pertinents
Trace un graphique ou un diagramme
Définition
Sujet - Concept
• termes x2et y2positifs
• coefficients toujours différents
Trace le graphique de :
25x2+ 9y2– 200x+ 18y+ 184 = 0
Trace le graphique de : x2+ y2+ 6x– 4y= 12
Une ellipse est l’ensemble de tous les points d’un plan tel que la sommedes distances à 2 points fixes, soit F et F’, est une constante (2a).
• (x – h)2et (y – k)2 • termes x2et y2négatifs
• jamais les mêmes coefficients
Ellipse
2 2
2 2 2
6 9 4 4 12 9 4 0
( 3) ( 2) 5 ( 3, 2) 5
x x y y
x y
c r + + + + + − − − =
+ + − =
= −
=
l
2 2
2 2
2 2
2 2
3 2
25 200 ___ 9 18 ___ 184 0 25( 8 16) 9( 2 1) 184 400 9 0
25( 4) 9( 1) 225 ( 4) ( 1) 1
3 5
(4, 1)
x x y y
x x y y
x y
x y
c
− + + + + + =
− + + + + + − − =
− + + =
− + + =
= −
l
l
Développement du concept Frayer (Frayer Plus Concept Builder) :Frayer, Dorothy, Wayne C.
Fredrick et Herbert J. Klausmeier. A Schema for Testing the Level of Cognitive Mastery. Working Paper No.
16.Madison, WI: Wisconsin Center for Education Research, 1969. Utilisé avec autorisation.
Annexe F-4
