Discrépance des suites de Farey

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

F

RANÇOIS

D

RESS

Discrépance des suites de Farey

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

11, n

o

_{2 (1999),}

p. 345-367

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1999__11_2_345_0>

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Discrépance

des suites de

_Farey

par

FRANÇOIS

DRESS

RÉSUMÉ. On étudie la

_discrépance

absolue de la suite de

_Farey

d’ordre n et on _montre, en utilisant notamment une

_majoration

d’une

_intégrale

_portant sur la fonction sommatoire de la fonction de

_{Môbius, qu’elle}

est

_égale

_exactement, ce

_qui

est la valeur

locale au _point d’abscisse

ABSTRACT. We

_study

the absolute

_discrepancy

of the

_Farey

se-quence of order n and we

_{establish, by using}

in

_particular

an

upper bound of an

integral

related to the summatory function of the Môbius

_function,

that it is

_equal

_exactly,

which is the local value at the

_point

of abscissa

A - Présentation d’ensemble

1. INTRODUCTION

Soit n un entier

positif.

On

désigne

_par

0n

la suite de

Farey

d’ordre _n,

ensemble des

_{rationnels ri}

_{= q ,}

avec

_{q n,1 p q,}

(p, q)

_{= 1,}

ordonnés

de

_façon

croissante. Si on _pose N =

N(n)

= _{on a} l’estimation

classique

Pour a e

_{]0, 1],}

on

désigne

_par

AN(a)

le nombre de termes de

3in qui

appartiennent

à l’intervalle

_{]0, a],}

et on définit la

_discrépance

locale

Franel

_[F]

avait établi

_{l’équivalence}

entre

_{l’hypothèse}

de Riemann et une

certaine

_majoration

de la

Ensuite,

Niederreiter

_[Ni

a étudié la

discrépance

absolue

et montré que son ordre de

grandeur

était exactement

1 . Depuis,

aucun

autre résultat sur la

discrépance

n’a été donné.

2. MÉTHODE ET RÉSULTAT

Si l’on note la

_partie

fractionnaire de _x, x&#x3E; la différence

et si l’on

_désigne

_par M la fonction sommatoire de la fonction de

_Môbius,

on démontre sans difficulté

(cf [N])

la formule suivante :

Fig.

1. -

_Comportement

de

_DN(a)

_pour = 25

(N

=

200),

a variant de 0 à 1.

Le

_comportement

de la fonction

_RN(a)

_peut

être

_{approximativement}

décrit à

_partir

de deux _remarques. D’une

_part

des variations fortes

_(dues

au

fait _que Na varie avec a

cependant

_que

AN(a)

reste

_constant)

se

produisent

sur les

"grands"

intervalles

qui séparent

deux termes consécutifs de

3in ,

i.e. ceux

_qui

encadrent des rationnels de

_petit

dénominateur

(les

plus grands

de ces intervalles étant

_{~0, n~}

et

_{[1 -}

_~1])-

D’autre

_part

une

heuristique

élémentaire utilisant la formule

₍₁₎

ainsi que l’étude

numérique

directe pour les

_"petites"

valeurs de n

_permettent

de

_conjecturer

_que

_RN(a)

est très

proche

de 0

_lorsque

a est un rationnel de

petit

dénominateur.

Si ri

= 1!. est

q un tel

_rationnel,

les termes de

_{Fn qui}

sont dans son

_voisinage

immédiat ont

pour dénominateurs les éléments d’une

progression arithmétique

de raison

q. Si l’on s’écarte un _peu

plus,

on constate _que

RN(a)

varie localement "en

dents de

_scie",

ces dents de scie dessinant des festons sur

_chaque

intervalle

- nl, - ,

ces festons

_présentant

eux-mêmes une tendance

_générale

q q q 9

à + croit

_(avec

en _ri une discontinuité en

O( n )

donc

négligeable)

jusqu’à

une valeur

proche

de 1 ;

_{puis ensuite,}

RN (a)

_présente

symétriquement

un

_comportement

en dents de scie et

_festons,

de tendance

générale

décroissante.

Fig.

2. -

_Comportement

en festons de

DN (a)

_{pour n} = 280

(N

=

23860),

a variant de 0 à 0.1.

Le

_comportement

_global

de

_RN(a)

_apparait

ainsi comme étant du

_type

arcs

_{majeurs-arc mineur,}

le

_comportement

local sur un arc

_majeur

centré

sur §

étant

_{approximativement}

_{l’homothétique,}

dans un

rapport -

du

com-portement

local sur l’arc centré sur 0. Et c’est naturellement sur cet arc

majeur

principal

que doit se trouver le maximum de

_RN(a).

Si ce maximum est effectivement atteint pour a = _{rl -} 0

n

0,

il est

alors

_{égal à}

_N,

et _par

_conséquent

RN - 1 ,,

°

n n _wIN-

*

Nous nous

_limiterons,

dans toute la suite de cet

_article,

aux valeurs de a

comprises

entre 0

_{et .1 .}

On a en effet

DN ( 1-

a)

= 1-

DN (a),

sauf

pour les valeurs de a

_égales

à un terme de

~n

(discontinuités

de

_{DN (a) ),}

où l’on a

exactement

_{DN ( 1- a) -}

_{-DN (a) .}

La définition de

_DN

est standard

_et,

en

tout état de _cause, le

_signe

de la valeur

_critique

rend

_{l’inégalité}

démontrée pour a

_compris

entre 0

_{et 2}

a

_fortiori

vraie pour a

compris

entre 1

et 1.

Posons maintenant

Dès _que l’on

_dispose

d’une

_majoration

effective du

_type

_{c 0}

1090 x

avec

_Q

&#x3E;

_1,

on

_peut

montrer que cette

intégrale

est

_convergente

et en

calculer en

_principe

une valeur

approchée

aussi

précise qu’on

le désire. La somme de la formule

(1)

_peut

être

majorée

très

simplement

au _moyen de

cette

_intégrale,

et l’on

_peut

en

_déduire,

de

façon

effective _pour tout e &#x3E;

_0,

la

_majoration

On constate alors deux difficultés. La

_première

tient à ce _que l’effectivité

des

_majorations

de I n’est _que

_théorique.

Dans l’état actuel

_(cf

para-graphe

4)

des

_majorations

effectives connues de

IM(x)l,

il faudrait _par

exemple

calculer

_{numériquement}

_{l’intégrale jusqu’à}

environ

10115o

pour

avoir une

_majoration

du reste inférieure à 0.1. La seconde difficulté tient

à la valeur même de I. Le calcul

_numérique

de

_{l’intégrale}

_tronquée

à

101° suggère,

moyennant

une

heuristique simple

_{pour estimer} le

_reste,

_que

I = 1.01427.... Cette valeur conduirait à une

_majoration

de

_DN(a)

équivalente

à 0.507 ... _{n, et} donc à une

_majoration

de

_{RN équivalente}

à 0.50...7, o.so7...2 1.668...

alors _que l’on souhaite établir

!-.

Contraire-3n

n ,

alors _que l’on souhaite établir

_n

Contraire-ment à la

_première,

cette deuxième difficulté

_peut

être contournée. Il de-vient

_envisageable

d’obtenir mieux

_{que 1}

en utilisant des

_majorations

des

sommes 1 ¿ ka &#x3E; 1

meilleures que

2 (v -

)+0(1).

Mais ces

_ma

jo-ukv

rations ne seront valides que dans un domaine excluant des

_voisinages

de 0 et des rationnels de

_"petit"

_{dénominateur,}

et on devra donc effectuer au

préalable

une

_majoration

directe de

DN(a),

dans un

_premier

_temps

_pour

les deux arcs

_majeurs

centrés sur 0

_{et 1,}

et dans un deuxième

_temps

_pour

sept

arcs

_majeurs,

centrés sur les rationnels de dénominateur inférieur ou

égal

à 6.

Enfin,

la manière la

_plus

efficace de concrétiser les

_majorations

conduira

à faire intervenir

au lieu de

_{l’intégrale complète}

I. Il _y aura bien entendu _pour

_h

et

12

_(comme

il _y aurait eu _pour

I)

un écart

_important

entre la valeur

_conjecturale

et la

majoration

qu’il

sera

possible

d’établir.

Théorème. Pour

_{tout n,}

on a

l’égalité

On commencera _par

_utiliser,

avec seulement deux arcs

_majeurs,

la

mé-thode

_qui

vient d’être

_décrite,

et on constatera que,

compte

tenu de la

majoration

de

_Il

dont on

_dispose

(et

_pour

laquelle

il

_n’y

a aucun

_espoir

d’amélioration notable à court

_terme),

on

_peut

seulement démontrer le

théorème

_{pour n}

10419.

On devra

_alors,

dans un deuxième

_temps,

considérer un nombre

plus

élevé

d’arcs

_majeurs

et

_apporter

divers raffinements _pour

_compléter

la démonstra-tion

_(on

_profitera

de la restriction à n &#x3E;

1041s

_pour se libérer de tout

pro-blème d’évaluation du reste dans les

_majorations

des

_{sommes E}

_ka&#x3E;).

ukv

B -

Démonstration

_{pour n}

10419

3. MAJORATION GÉNÉRALE DE

DN(a)

3.1.

_Majoration

sur les arcs

majeurs.

On

rappelle

_que l’on s’est limité aux valeurs de a

comprises

entre 0

et 2.

On définit alors les arcs

_majeurs

et l’arc mineur _{par :}

Proposition

1. pour a E

_{I (n~,}

on a la

majoration

...

Lorsque

a est inférieur ou

égal

à 1,

on constate _que les nombres de

_F’n

compris

entre 0 et a sont exactement les

_{rationnels 1}

avec n

_&#x3E;

_{k &#x3E;}

_~.

On en déduit

l’expression

de

AN (a)

_puis

celle de

DN (a)

= Na -

AN (a) :

, L L

([ ]

notation de la

_partie

_{entière par}

_{excès) .}

La

_{première expression}

varie de 0 à

_~,

la seconde

_représente

un "feston"

composé

d’une suite de "dents de

_scie",

morceaux localement croissants.

Le

_premier

morceau varie à

_{n 1 -1}

_(pour

a

de £

avec un maximum

_{approximativement}

_égal

à~+-~20131~

(on

_peut

se

poser la

question

des

_"petites"

valeurs de n : on _{pourra par}

exemple

vérifier

très facilement _que

_{-~y 2013 1 ~}

dès

_{que n &#x3E;}

_3).

Les morceaux suivants

décroissent

_{globalement jusqu’à}

a voisin de

20132013

, avec des valeurs

équivalentes

à ’N + n - n N ( 2" - "2 ) N -

0.3377 ... N et ensuite les

nB1"3 r V3 3 n °°

°

morceaux croissent

_{globalement jusqu’au}

dernier

_qui

_prend

des valeurs très voisines de

_{2N - n ,}

_{(2 -}

"-2 ) N = 0.3550 ...

_.

n 2 6 n

° ° ° °

n °

Enfin

_{DN ( n ) = 2n}

_{+ 2 - n -}

_d,

avec J =1 ou 2 selon _{que n est}

_pair

ou

_impair.

Sur

_[0,

_~],

on a donc bien la

majoration

souhaitée

DN(a)

~.

Lorsque

a est

_supérieur

_{à 2 - n,}

on _{constate que} les nombres de

.~n

compris

entre a

et !

sont exactement les

avec Z

2k + 1 n. TI faut

prendre

en

_compte

la

_parité

de _{n, et poser n} = 2m -1 _{ou n} =

_{2m ;}

les

nombres de

_,~n

concernés sont alors les k m -1. On

en déduit

_{l’expression}

de

_AN(a)

_puis

celle de

_DN(a)

= Na -

AN(a) :

Les deux

_expressions

_prennent

des valeurs

_négatives

sur les intervalles

considérés. La

_{première représente}

un feston en dents de

scie,

formant une

suite décroissante de morceaux localement croissants.

Le

_premier

morceau

prend

des valeurs très voisines

+ 1 =

N

_n

_{’2 -1 ,}

₁₂ @ le dernier

prend

des valeurs très voisines _2n deuxième

expression

varie

_{de - n}

environ

_jusqu’à

1.

Sur

_{~2 - n, 2~,}

on a donc bien la

majoration

souhaitée

n .

3.2.

_Majoration

sur l’arc mineur. La démonstration de la

majoration

pour l’intervalle

]~- 2013 ~[

nécessite des

majorations

des sommes

1

E

ka &#x3E;

₁

_que nous allons énoncer maintenant. Pour

cela,

nous ukv

devons introduire les fonctions

La fonction

_gm(a)

est

_{continue, présente}

des

_"pics"

aux

_points

d’abscisse

rationnelle et _converge

_{(non uniformément),}

_lorsque

m tend vers

_{l’’ ’,}

1

vers la fonction

_g(a)

_égale

à §

si a est rationnel d’écriture

irréductible 1!.,

q q

et

_égale

à 0 si a est irrationnel. Les fonctions

Tm,

et gm sont

_symétriques

par

rapport

à a

= 2

et les résultats

_généraux

seront formulés seulement pour a

_compris

entre 0

_et

-Lemme 1. On _{pose, pour} m &#x3E;

_4,

Si a E

_CJ3(m),

on a la

_majoration:

Remarque.

La

_{présentation adoptée}

_préfigure

l’extension de ce résultat

(ainsi

que

l’indice,

qui

renvoie à des

majorations

générales

dont le terme

principal

sera

~ ,

cf lemme

5).

On

_{pourrait ajouter}

_{pour être}

_{complet -}

mais ces résultats ne seront

pas utilisés ici - que la valeur exacte de au

_voisinage

du

_pic

en 0

est -

₂ et _{que la valeur} exacte au

_voisinage

du

_pic

en 1

est

2 2

m+r _

m(m3+2r)

_{1 -}

a ,

avec r = 0 _ou 1 selon la

_parité

de _m.

4 2

(2 )

1

La démonstration de ce lemme n’est _pas donnée ici. Elle est un _peu

longue

et

_minutieuse,

mais entièrement élémentaire. Il faut étudier le

comporte-ment de

Tm

dans le

_voisinage

des

_{rationnels P-}

de

_"petit"

dénominateur : dans un intervalle de _rayon

2013

où se manifeste l’effet de

_pic,

et

éventuelle-ment dans un

_voisinage

un _peu

plus

large.

Les raccordements se font ensuite en utilisant une formule de

réciprocité

généralisant

celle

qui

relie les sommes

Proposition

2. pour a E

_CI(n)

et n &#x3E;

_25,

on a la

_{majoration :}

(1)

où

_H(t)

est une

_majorations

monotone décroissante

_(quelconque)

de

+

₁

_[

_(cf

_paragraphe

_,~).

La restriction à n &#x3E;

_{25, posée}

_pour

_simplifier

l’écriture des

_intégrales

de

l’énoncé,

n’est _que

_technique.

On _suppose donc _{maintenant que} a est

_compris

expression qui

améliore le recours à une

intégrale

du

_type

On

_décompose

alors la

_majoration

de la

_façon

suivante :

avec

Pour la

_première

_somme, l’intervalle de sommation est de

_longueur

_{rra = 2}

et,

comme a E

_CI(n)

C

_GJ3(j),

on

_peut

appliquer

la

_majoration

du

lemme 1 :

Pour la deuxième somme, l’intervalle de sommation est de

_longueur

m

_{= 3}

et,

comme a e

_CI(n)

C on

_peut

de même

appliquer

la

_majoration

du lemme 1 :

et par

conséquent

Pour les deux _{autres sommes,} on

simplifiera

les notations en

_posant

IM(t)

+

₁₁

=

Pour

_{S’ 3 ,}

on _{remarque que} l’on

_peut

écrire

avec

On considère maintenant les intervalles

_{[Ï, k n 1 ) .}

Comme k varie de

à

_{5 ~,}

la réunion de ces intervalles est incluse dans l’intervalle

_[5,.¡ri

+

_2].

Ces

_intervalles,

à

_{l’exception}

de 3 d’entre _eux, ne contiennent pas

d’entier ;

comme

h(t)

=

h([t]),

les

correspondants

_sont donc

nuls ;

pour

les intervalles

_qui

contiennent un

_entier,

on constate immédiatement

que

nlrkl

]

1. Par

conséquent

et donc

La dernière somme

S"3

est

majorée

en introduisant une fonction

H(t)

monotone décroissante

_(quelconque)

_{qui majore}

_IM(t)

_{+ 1~.}

On

_peut

alors écrire

ce

_qui

donne

et termine la démonstration de la

_proposition

2.

4. MAJORATION DE L’INTÉGRALE

Il

Pour obtenir la meilleure

_majoration

possible

de

_{l’intégrale}

_h,

on

cal-cule

_{l’intégrale jusqu’à}

_101°,

_puis

on

_majore

le

_reste,

de

101°

à

_l’infini,

1

[D,

C-D-EM,

EMI,

dont l’ensemble

_permet

d’écrire

_IM(t)

_{+ 1~}

_H(t),

avec

Le _passage des

_majorations

de

_IM(t)1

aux

majorations

utilisées _pour

H(t)

ne mérite aucun

commentaire,

sauf en ce

_qui

concerne les deux

_premières.

D’une

_part

la

_majoration

0.570 591

_(t)

donnée dans

_[DI

_pour 33 t

1012

peut être

_remplacée

_par 0.516178

_(t)

si l’on se restreint à

101"

t

1012,

majoration qui implique

+

_{1) [}

0.516188,/t-.

D’autre

_part

la

_majoration

donnée dans

_[C-D-EM]

_{pour t &#x3E;}

2160 535 est

_complétée

par des

majorations

"intermédiaires" non

publiées

mais dont

_quelques

unes ont été

_reportées

dans le théorème 1 de

[D-EM].

On utilisera ici une

majoration

intermédiaire convenablement

choisie,

d’où un

_gain

d’environ 0.000 6

(on

pourrait

_gagner

juqu’à

0.000 9 en utilisant 3 ou 4

_majorations

_{supplémentaires).}

Lemme 2. On

_définit

On a les

majorations

suivantes,

_pour

l’intégrale complète

et pour

l’intégrale

tronquée :

La démonstration s’effectue donc en

décomposant

La

_majoration

de

_{l’intégrale}

_tronquée

se vérifie en

_tronquant

ce tableau

à

e965.i9 ~, 104i9.2

.

5. FIN DE LA DÉMONTRATION DU THÉORÈME POUR n

10419

Les

_majorations

de

_RN(a)

_proviendront

de

_majorations

de

_DN(a),

"con-verties" _par

_{RN (a) -}

_1IDN(a)I.

Pour obtenir une conversion

effective,

il n’est _pas

_possible

d’utiliser

_{l’expression asymptotique}

de N

_{= ~}

_p(k)

kn

rappelée

au début du

_paragraphe

_1,

il faut donner des formules avec des

coefficients

_numériques

_explicites.

On commence _par montrer avec des

produits

de convolution entièrement

élémentaires la

_majoration

La

_{première majoration}

est alors fournie _par l’utilisation de cette

majora-tion

_complétée

_par un calcul

numérique

(elle

est donc

optimale),

la deuxième

majoration

du lemme résulte de

_{l’application simple}

de la

_majoration

fonc-tion de n.

Proposition

3. Pour a e

_{CI(n) _}

[£ , § - 2n~,

on a les résultdts suivants :

Pour le résultat

_a),

la vérification directe est sans difficulté

(les

constantes

ne sont _pas les meilleures

_possibles,

mais il

_n’y

a aucun

_enjeu).

Pour le résultat

_b),

on constate tout d’abord _que

(on

ne

_peut

_pas

"recopier"

simplement

la

partie

concernée du tableau du

paragraphe

4 parce que

vn

est inférieure à

1010

(néanmoins,

les différences sont extrêmement

_faibles)).

_{L’application}

de la formule

(2)

fournit alors le résultat

sur

_DN,

et celui sur

_RN

résulte de

_{l’application}

de la

_{première majoration}

du lemme 3.

Pour le résultat

_{c ) ,}

on

applique

la formule

(2)

avec la valeur de

_h

( 1 O419.2 )

et la deuxième

_majoration

du lemme 3.

Ceci achève la démonstration du théorème

_nRN

= 1

pour n

10419.2.

C -

Démonstration

_pour n &#x3E;

10400

A

_partir

de maintenant les

_résultats,

aussi bien _pour la

_discrépance

sur

les arcs

majeurs,

_{que pour} les fonctions

Tm ( a)

et

gm(a)

et la

discrépance

sur les arcs

_mineurs,

seront _{énoncés pour n} &#x3E;

10400 .

On _{gagnera à} la fois en efficacité et en clarté en travaillant sur des

développements limités

(généralisés)

tronqués,

dont on omettra

à

10-100.

Cette circonstance

_(qui

concernera aussi bien les variables et

paramètres

que les valeurs

prises)

sera

_signalée

_par l’utilisation

d’appella-tions telles

_{que "}

wvaleur " et de

_signes

relationnels

_précédés

d’un

_oméga

en

exposant :

" w =

_",

" "

ou " ".

Quoique

tout cela soit

_{parfaitement standard, l’esprit}

est néanmoins très

proche

de

_l’analyse

non-standard.

6. EXTENSION DE LA MAJORATION DE SUR LES ARCS MAJEURS Avant d’étendre la

_{proposition 1,}

il est nécessaire de donner une

estima-tion de la valeur de la

_discrépance

aux

points

a = 3 , 4 , 5 , 5 et 1

(seules

les

discrépances

aux

_points

0

et !

sont

_triviales).

L emme 4. Si n &#x3E;

10400 ,

al ors :

(En fait la _majoration obtenue pour est _{légèrement meilleure,} mais il sera

plus commode pour la suite de la démonstration de prendre la même

_majoration.)

Pour a

= ~,

on

_part

de la formule

(1) :

_qui

"

kn

donne

_{l’expression}

-où ak est le reste de la division de

kp

par q,

expression

que l’on

peut

réécrire

après

soustraction de =

k _2q «

avec les coefficients

bk = 2ak - q

+ 1 de somme nulle sur tout intervalle de _q entiers consécutifs

_(ils

_peuvent

même être

_groupés

deux _par deux de valeurs absolues

_égales

et de

_signes

_{opposés, propriété qui}

_permet

de

_majorer

simplement

le

_reste).

On coupe alors la somme en une

_partie

principale

jusqu’à

k =

qh,

On _coupe alors la somme en une

_partie

principale jusqu’à

k -

qh,

qu’on majore

au _moyen de la

majoration

IM(x)1

4 345

(valable

_pour

x &#x3E;

_{2160 535)}

de

_~C-D-EM~,

_appliquée

à l’estimation

_{u log qh}

-~- u +

_{O( 1 /h)}

de la

_{somme E}

un _reste,

_majoré

en

ca/qh.

Le résultat est une

kqh

majoration

dépendant

de h,

qu’il

est immédiat

_{d’optimiser.}

Le détail des calculs est

_présenté

ci-dessous.

C’est l’extension annoncée de la

_proposition

1

_(les

notations

_{I (n)}

et

_CI(n)

désignent

de nouveaux arcs - ceux définis aux

_propositions

1 et 2 n’ont

_plus

d’intérêt

_maintenant).

On

paramètre

le

_voisinage

du

_{rationnel P-}

de en

_posant

a

= p t ,

q q qn )

et on commence _par écrire :

- - - -

-Ensuite,

pour

chaque

l!. ,

on considère les intervalles successifs

_{pour t :}

]0,1[,[1,2[, ...

et on estime la "valeur de en

présen-q qn q

tant les rationnels de

_Fn

dans l’intervalle considéré. La

_{majoration qui}

en

découle

_mélange

des termes en n et des termes

en N ;

les

_premiers

sont

convertis _par la relation n

’2 N :

₃

_{l’expression}

obtenue est de la forme

n

(t

+ t -

(pour

reprendre

la

_terminologie

des

_explications

données au q t n

paragraphe

2,

l’utilisation des ’valeurs efface les dents de scie

_locales,

et

l’on ne "voit"

_plus

_que les

_festons).

Il suffit alors de vérifier

_{numériquement}

IDN(a)1

1

N/n

pour démontrer la

partie

de la

proposition

4 relative à l’intervalle en t considéré. On constatera que les

majorations

sont,

ou

mono-tones,

ou avec un minimum

_unique,

de sorte _que ce sont les

_majorations

aux

extrémités des intervalles

_qui

déterminent la validité

_globale.

. rationnel a =

0,

intervalles à droite =

0)

intervalle I =

]0, ~[,

soit t _e

]0,1[

aucun rationnel dans I donc

AN (0)

= 0

(ici

et pour toute cette vérification

_détaillée,

"

rationnel dans I"

signifie "

rationnel de

_3in

dans

_{I ")}

majoration

(en

fait valeur

_{exacte) IDN(a)1 = tN/n}

strictement croissante

on

_peut

ainsi réaliser un tableau de valeurs

(t,D(t)),

signifiant

_que

D (t) n ,

en alternant extrémités

(i.e.

valeurs entières

de t )

et "abscisses des minimums

_(les

valeurs

_numériques

seront données

avec une

_précision

absolue de

10-3) :

on _{notera que, pour} les valeurs de k

_qui

nous

_{intéressent,}

_chaque

feston

_{possède toujours}

un minimum dans l’intervalle considéré

(ce

qui équivaut

à constater

_{que £}

est

_{toujours compris}

entre

-!ïk2

ak

et +

1)~ ;

mais cette

_propriété

n’est pas

générale

(les

premières

"sorties" de l’intervalle

_~k,

k +

_1]

sont t = 819.9818

pour k

=

820,

_et

t = 1064.0001 _pour k =

1063 ) .

. _{rationnel a}

= ) ,

intervalle à

_gauche

_{0.000 540n)}

ùltervalle I =

J 6 -

14n 6

soit t

e]0,

[

[

cf l’intervalle

_symétrique

à

_droite,

la démonstration est

_{"symétrique"}

et la

_{majoration identique}

cf les intervalles

_symétriques

à

_droite,

la démonstration est

La démonstration de la

_proposition

4 est ainsi

_complète.

7. EXTENSION DE LA MAJORATION DE SUR LES ARCS MINEURS.

C’est l’extension du lemme 1. La démonstration

_s’appuie

sur le

com-portement

de au

voisinage

immédiat d’un

rationnel § :

- si

IJI

₁

et si _q

m3/8

on a +

_d)

_{’= 2 -}

m21JI

q , q Q 2 ,

et sur une formule de

_{réciprocité}

dont la "version est :

m

- soit ,S’

= L:

ka + b &#x3E;, on _pose = ma et on définit S’ =

k=1

, formule

qui

se réduit

à IS

+ [ " = 0

La

_première

formule

_précise

le

_pic

au

_voisinage

d’un

rationnel §

de

’’pe-tit"

_{dénominateur,}

déterminant les

_Jk(m)

comme réunions d’intervalles

~~_~ ~-~-k-~-.~po~q~-1.

Comme

_{précédemment,}

le détail de la

_{démonstration,}

élémentaire mais

longue

et

_minutieuse,

ne sera _pas donné ici.

Chaque

_majoration

nécessite un

découpage

en intervalles ad hoc et

l’utilisation, adaptée

à chacun de ces

intervalles,

des

_{majorations précédentes.}

Un

_exemple

en fera

comprendre

le

principe :

si la

ma joration

~’ 4

a été démontrée _pour

_{[2~’ !],}

elle est bien évidemment valable _pour

o~e [§,3 2013 2~ J,

et

_{l’application}

de la "formule de

_{réciprocité}

_permet

alors d’en déduire la

_majoration

_{"~’°‘ "z}

_{1 _}

_{~, §].}

Proposition

5. Si n &#x3E;

10400

et si a cuE

(l’arc

mineur

_ayant

été

_défini

à la

_proposition

_4),

on a la

tAtnajoration

, ,

où

_H(t)

est une

_majoration

monotone d écroissante de

+1~.

C’est l’extension de la

_proposition

2. On écrit

pour améliorer encore le recours à une

intégrale

du

_type

J’°°

Les

majorations

des

_{sommes 2:}

ka&#x3E;

_dépendent

de la

_longueur

de l’intervalle de sommation :

La somme de ces

majorations

est 0.085 714 29 ... n.

La

_majoration

du dernier terme

_E

_~M(n/k)

+

₂₎

ka&#x3E; est similaire kn

à celle effectuée dans la démonstration de la

_{proposition 2,}

à deux dif-férences

_{près :}

d’une

_part

_{l’intégrale}

de référence n’est

_{plus J500}

mais

_{f °°}

et d’autre

_part

la considération des "valeurs a fait dis-’10 t2

paraître

des termes

_{négligeables.}

La fin de la démonstration

_reprend

les calculs du

_paragraphe

4. Lemme 6. On a la

rraajoration

de

l’intégrale :

La démonstration s’effectue comme _pour

h

en

décomposant

__’ln --’1’"

et l’ensemble des calculs est

_récapitulé

dans le tableau

_abrégé

ci-dessous.

On

_peut

alors conclure.

BIBLIOGRAPHIE

[C-D-EM] H. Cohen, F. Dress et M. El Marraki, Ezplicit estimates for summatory functions

linked to the Môbius m-function. Preprint A2X n° 96-7 (1996), soumis à Math. _Comp.

[D] F. Dress, Fonction sommatoire de la _fonction de _Möbius, 1. _Majorations

expérimen-tales. Expérimental Mathematics 2 _(1993), 89-98.

[D-EM] F. Dress et M. El Marraki, Fonction sommatoire de la _fonction de _Möbius, 2.

Majo-rations asymptotiques élémentaires. _{Expérimental} Mathematics 2 _(1993), 99-112.

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[F] J. Franel, Les suites de Farey et le _problème des nombres _{premiers. Gôttingen} Nachrichten _(1924), 198-201.

[N] H. Niederreiter, The distribution of Farey points. Math. Ann. 201 _(1973), 341-345.

François DRESS

Arithmétique Algorithmique expérimentale (A2X),

UPRESA CNRS 5465,

Université Bordeaux 1,

F-33405 TALENCE cedex