Principaux systèmes centrés dans l’approximation de Gauss

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Principaux systèmes centrés dans l’approximation de Gauss

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

Vendredi 10 octobre 2019

sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 1/1

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Miroir sphérique Lentilles minces Applications et limites Approche documentaire: caractéristiques d’un appareil photographique

I on va étudier les éléments de base : miroir sphérique et lentille mince (tout surface courbe est modélisable par une portion de sphère dans les conditions de Gauss)

I chacun peut être caractérisé parun seul nombre, ladistance focale I elle définit des points remarquables permettant deconstruire

graphiquementles images formées par une lentille, un miroir I rappel : stigmatisme approché, aplanétisme et existence du

grandissement transversal admis dans les conditions de Gauss

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I chacun peut être caractérisé parun seul nombre, ladistance focale

I elle définit des points remarquables permettant deconstruire graphiquementles images formées par une lentille, un miroir I rappel : stigmatisme approché, aplanétisme et existence du

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graphiquementles images formées par une lentille, un miroir

I rappel : stigmatisme approché, aplanétisme et existence du grandissement transversal admis dans les conditions de Gauss

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graphiquementles images formées par une lentille, un miroir I rappel : stigmatisme approché, aplanétisme et existence du

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Caractérisation et représentation Foyer et généralisation

1. Miroir sphérique

2. Lentilles minces 3. Applications et limites

4. Approche documentaire : caractéristiques d’un appareil photographique

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1.1 Caractérisation et représentation 1.2 Foyer et généralisation

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Définition (Miroir sphérique)

Unmiroir sphériqueest une portion d’hémisphère dont une face est réflechissante. Il réalise un système optique centré dont l’axe, noté∆est son axe de symétrie de révolution. Il est caractérisé par :

I sonrayon, notéR, égal au rayon de l’hémisphère dont il est issu, I soncentre, notéC, centre de l’hémisphère dont il est issu,

I sonsommet, notéS, intersection de l’hémisphère avec l’axe optique

∆.

Il est dit :

concave si la face réfléchissante utilisée est celle située du côté du centre,

convexe si la face réfléchissante utilisée est celle opposée au centre.

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1.1 Caractérisation et représentation 1.2 Foyer et généralisation

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Focalisation

Casserole métallique remplie partiellement de lait.

C

S F

Rayons d’un faisceau collimaté réfléchis par un demi-cercle de centreC et de rayonR.

Les rayons proches de l’axe et peu inclinés passent à proximité d’un même point.

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Focalisation

Casserole métallique remplie partiellement de lait.

C

S F

Rayons d’un faisceau collimaté réfléchis par un demi-cercle de centreC et de rayonR.

Les rayons proches de l’axe et peu inclinés passent à proximité d’un même point.

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On donne des définitions générales, valable pour tout système centré :

Définition (Foyer image)

On nommefoyer image, notéF⁰, d’un système optique centré quelconque le point de convergenced’un faisceau collimaté incidentparallèle à l’axe optique∆. C’est l’image d’un objet réel situé à l’infinisur l’axe optique. Le plan focal imageest le plan perpendiculaire à∆passant parF⁰.

Définition (Foyer objet)

On nommefoyer objet, notéF, le point dont est issuun faisceau collimaté émergeant parallèlement à l’axe optique∆. Son image est situéeà l’infini sur l’axe optique. Leplan focal objetest le plan perpendiculaire à∆ passant parF.

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On donne des définitions générales, valable pour tout système centré : Définition (Foyer image)

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On donne des définitions générales, valable pour tout système centré : Définition (Foyer image)

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I les foyers peuvent êtreréels ou virtuels.

I les plans focaux sont les lieux des images/objets de points à l’infini situéshors de∆,ie« vus sous un angleα» (une étoile par exemple).

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Définition (Vergence)

On définit ladistance focale imagef⁰=SF⁰, ladistance focale objetf =SF et la vergenceV=_f¹0.

I f en m, d’autant pluspetitque le miroir estconvergent/divergent I V en dioptriesδ:1δ=1 m⁻¹, d’autant plusgrandeque le système

centré estconvergent/divergent

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I f en m, d’autant pluspetitque le miroir estconvergent/divergent

I V en dioptriesδ:1δ=1 m⁻¹, d’autant plusgrandeque le système centré estconvergent/divergent

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I f en m, d’autant pluspetitque le miroir estconvergent/divergent I V en dioptriesδ:1δ=1 m⁻¹, d’autant plusgrandeque le système

centré estconvergent/divergent

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Cas d’un miroir

Foyers et vergence d’un miroir sphérique

Les foyers objet et image d’un miroir sphérique sontconfondusau milieu du segment[SC].

miroir concave : convergent, foyers réels miroir convexe : divergent, foyers virtuels

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Cas d’un miroir

miroir concave : convergent, foyers réels

miroir convexe : divergent, foyers virtuels

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Cas d’un miroir

miroir concave : convergent, foyers réels miroir convexe : divergent, foyers virtuels

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Foyers secondaires

Pour un faisceau collimatéinclinépar rapport à∆: Définition (Foyers secondaires et plan focal.)

Soitαun angle orienté. On nommefoyer image (resp. objet) secondaire, notéF⁰_α(resp. notéFα), associé à l’incidenceαle point du plan focal image (resp. objet) où se focalise un faisceau collimatéincliné de l’angleαsur l’axe optique (resp. le point d’où est issu un faisceau émergent collimaté et incliné de l’angleαsur l’axe optique).

ils correspondent à des points « à l’infini vus sous un angleα», une étoile par exemple

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Foyers secondaires

Pour un faisceau collimatéinclinépar rapport à∆: Définition (Foyers secondaires et plan focal.)

Soitαun angle orienté. On nommefoyer image (resp. objet) secondaire, notéF⁰_α(resp. notéFα), associé à l’incidenceαle point du plan focal image (resp. objet) où se focalise un faisceau collimatéincliné de l’angleαsur l’axe optique (resp. le point d’où est issu un faisceau émergent collimaté et incliné de l’angleαsur l’axe optique).

ils correspondent à des points « à l’infini vus sous un angleα», une étoile par exemple

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L’aplanétisme d’un système centré assure que ses foyers secondaires sont dans les plans focaux.

Positions des foyers secondaires d’un miroir sphérique

Pour un miroir sphérique, la distance à l’axe optique du foyer secondaire associé à l’incidenceαà son foyer est donnée, à l’approximation de Gauss, parF⁰F⁰α=|αf⁰|.

à retenir en valeur absolue, faire le schéma pour déterminer le signe

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Constitution Distance focale

Constructions géométriques: rayons particuliers Relations de conjugaison

1. Miroir sphérique 2. Lentilles minces

3. Applications et limites

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1. Miroir sphérique 2. Lentilles minces 2.1 Constitution 2.2 Distance focale

2.3 Constructions géométriques : rayons particuliers 2.4 Relations de conjugaison

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Dioptre sphérique

I air →verre convexe : convergent

I verre →air concave : convergent Lentillebiconvexeconvergente

I air →verre concave : divergent I verre →air convexe : divergent

Lentillebiconcavedivergente

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Dioptre sphérique

I air →verre convexe : convergent I verre →air concave : convergent

Lentillebiconvexeconvergente

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Dioptre sphérique

I air →verre convexe : convergent I verre →air concave : convergent

Lentillebiconvexeconvergente

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Dioptre sphérique

I air →verre convexe : convergent I verre →air concave : convergent Lentillebiconvexeconvergente

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Dioptre sphérique

I air →verre concave : divergent

I verre →air convexe : divergent Lentillebiconcavedivergente

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Dioptre sphérique

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Dioptre sphérique

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Dioptre sphérique

I air →verre concave : divergent I verre →air convexe : divergent Lentillebiconcavedivergente

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Reconnaissance

I Les lentillesà bords minces(biconvexe, plan convexe, ménisque convergent) sont convergentes quand elles sont placées dans un milieumoins réfringent.

I Les lentillesà bords épais(biconcave, plan concave et ménisque divergent) sont divergentes quand elles sont placées dans un milieu moins réfringent.

I c’est l’inverse quand elles sont placées dans un milieu plus réfringent. I elles sont d’autant plus convergentes/divergentes que leur courbure

est importanteieleur rayon de courbure est faible.

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Reconnaissance

I Les lentillesà bords minces(biconvexe, plan convexe, ménisque convergent) sont convergentes quand elles sont placées dans un milieumoins réfringent.

I Les lentillesà bords épais(biconcave, plan concave et ménisque divergent) sont divergentes quand elles sont placées dans un milieu moins réfringent.

I c’est l’inverse quand elles sont placées dans un milieu plus réfringent.

I elles sont d’autant plus convergentes/divergentes que leur courbure est importanteieleur rayon de courbure est faible.

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Lentilles minces

Définition (lentille mince)

Une lentille est ditemincesi son épaisseur est faible. Les dioptres la constituant sont alors considérés accolés et un rayon la traversant subit seulement un changement de directionsans que sa position ne change.

I faible devant les deux rayons de courbe et devant la différence de leurs valeurs algébriques

I le schéma traduit le caractère mince : pas d’épaisseur

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Lentilles minces

Définition (lentille mince)

Une lentille est ditemincesi son épaisseur est faible. Les dioptres la constituant sont alors considérés accolés et un rayon la traversant subit seulement un changement de directionsans que sa position ne change.

I faible devant les deux rayons de courbe et devant la différence de leurs valeurs algébriques

I le schéma traduit le caractère mince : pas d’épaisseur

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Foyers distincts

beaucoup de similitudes avec le miroir mais une différence fondamentale : F6=F⁰

Définition (Centre optique et distance focale)

Lecentre optique, notéO, d’une lentille mince est l’intersection du plan de la lentille avec son axe optique.

La distance focale image, notéef⁰(resp. objet, notéef), d’une lentille mince de foyer imageF⁰(resp. de foyer objetF) est la mesure algébrique OF⁰(resp.OF).

I le centre est ici l’intersection avec∆, rien à voir avec les centres des dioptres sphériques.

I f⁰>0pour convergente,f⁰<0pour divergente

I signesdifférents du cas du miroir(changement de direction de propagation à la réflexion)

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Foyers distincts

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Foyers distincts

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Foyers distincts

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Foyers distincts

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Une seule distance focale

On constate¹que la distance focale image est la même quand on retourne la lentille,

le principe duretour inverseassure alors quef =−f⁰: Foyers et vergence d’une lentille mince

Les foyers objet et image d’une lentille mince sont symétriques par rapport à son centre optique. Ils sontréels(resp. virtuels) pour une lentille

convergente(resp. divergente). La vergenceV, définie parV= _f¹0 est alors positive (resp. négative).

1. On le montrerait avec les relations de conjugaison du dioptre sphérique.

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Une seule distance focale

On constate¹que la distance focale image est la même quand on retourne la lentille,

le principe duretour inverseassure alors quef =−f⁰: Foyers et vergence d’une lentille mince

Les foyers objet et image d’une lentille mince sont symétriques par rapport à son centre optique. Ils sontréels(resp. virtuels) pour une lentille

convergente(resp. divergente). La vergenceV, définie parV= _f¹0 est alors positive (resp. négative).

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La connaissance desfoyerssuffit pour déterminer l’image d’un pointB hors de l’axepar une lentille mince (dans Gauss).

Objet à distance finie

PourAsur∆, on introduitBhors de l’axe, dans le même plan orthogonal à

∆queA. On sait tracer la marche de 3rayons particuliers passant parB: I le rayon parallèle à∆:

I le rayon passant parF: I le rayon passant parO: n Centre optique

Un rayon passant par le centre optique d’une lentille mince n’est pas dévié. le tracé du troisième rayon est une conséquence géométrique des deux premiers

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∆queA. On sait tracer la marche de 3rayons particuliers passant parB: I le rayon parallèle à∆:

I le rayon passant parF: I le rayon passant parO: n

Centre optique

Un rayon passant par le centre optique d’une lentille mince n’est pas dévié. le tracé du troisième rayon est une conséquence géométrique des deux premiers

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∆queA. On sait tracer la marche de 3rayons particuliers passant parB: I le rayon parallèle à∆:émerge en passant parF⁰

I le rayon passant parF: I le rayon passant parO: n Centre optique

Un rayon passant par le centre optique d’une lentille mince n’est pas dévié.

le tracé du troisième rayon est une conséquence géométrique des deux premiers

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I le rayon passant parF:émerge parallèle à∆ I le rayon passant parO: n

Centre optique

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I le rayon passant parF:émerge parallèle à∆ I le rayon passant parO:émerge en passant parOn Centre optique

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Objet à l’infini hors de l’axe, vu sousα1

On sait tracer la marche de2rayons parallèlesparticuliers d’un faisceau collimaté incliné deα.

I le rayon passant parF: I le rayon passant parO:

Positions des foyers secondaires d’une lentille mince

La distance à l’axe optique du foyer secondaire d’une lentille mince associé à l’incidenceαà son foyer est donnée, à l’approximation de Gauss, par F⁰F⁰_α=|αf⁰|.

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I le rayon passant parF: émerge parallèle à∆ I le rayon passant parO:

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I le rayon passant parF: émerge parallèle à∆ I le rayon passant parO: n’est pas dévié

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Marche d’un rayon quelconque

On détermine la marche :

I d’un rayon quelconquetombantsur le miroir avec l’incidenceαnon nulle en le faisant passer par lefoyer image secondaireassocié à l’incidenceα,

I d’un rayon quelconqueémergeantavec l’incidenceαnon nulle en le faisant provenir dufoyer objet secondaireassocié à l’incidenceα.

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Marche d’un rayon quelconque

On détermine la marche :

I d’un rayon quelconquetombantsur le miroir avec l’incidenceαnon nulle en le faisant passer par lefoyer image secondaireassocié à l’incidenceα,

I d’un rayon quelconqueémergeantavec l’incidenceαnon nulle en le faisant provenir dufoyer objet secondaireassocié à l’incidenceα.

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Relations de Newton

²

(origine aux foyers)

formules deconjugaison: donnent la position de l’image en fonction de celle de l’objet

Relations de Newton

SoientAun point de l’axe∆etA⁰son image sur∆:

I leurs positions sont reliées par larelation de conjugaisonde Newton : FA·F⁰A⁰=−f⁰².

I le grandissement transversalγ_tentre les plansP_AetP_A⁰0s’exprime selon :

γ_t=− f FA = f⁰

FA =−F⁰A⁰ f⁰ .

Démonstration géométrique, ne faisant appel qu’aux caractéristiques des foyers.

2. Sir I. Newton, physicien anglais (1643-1727).

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Relations de Newton

²

(origine aux foyers)

Relations de Newton

I leurs positions sont reliées par larelation de conjugaisonde Newton : FA·F⁰A⁰ =−f⁰².

FA =−F⁰A⁰ f⁰ .

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Relations de Newton

²

(origine aux foyers)

Relations de Newton

FA =−F⁰A⁰ f⁰ .

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Relations de Newton

²

(origine aux foyers)

Relations de Newton

FA =−F⁰A⁰ f⁰ .

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Relations de Newton

²

(origine aux foyers)

Relations de Newton

FA =−F⁰A⁰ f⁰ .

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Relations de Descartes (origine au centre)

Relationséquivalentesmais repérant les positions par rapport àS (physiquement localisable)

Relations de Descartes³

SoientAun point de l’axe optique∆etA⁰son image sur∆.

I Leurs positions sont reliées par larelation de conjugaisonde Descartes :

1 OA⁰ − 1

OA = 1 f⁰.

I Le grandissement transversalγ_tentre les plansP_AetP_A⁰0s’exprime selon :

γ_t= OA⁰ OA.

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Relations de Descartes (origine au centre)

1 OA⁰ − 1

OA = 1 f⁰.

γ_t= OA⁰ OA.

3. R. Descartes (1596-1650) mathématicien, physicien et philosophe français.

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Relations de Descartes (origine au centre)

1 OA⁰ − 1

OA = 1 f⁰.

γ_t= OA⁰ OA.

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Relations de Descartes (origine au centre)

1 OA⁰ − 1

OA = 1 f⁰.

γ_t= OA⁰ OA.

3. R. Descartes (1596-1650) mathématicien, physicien et philosophe français.

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Comparaison miroir/lentille

les constructions géométriques du miroir s’obtiennent par

« retournement » de celles de la lentille

il existe des relations de conjugaison pour le miroirà ne surtout pas apprendre

miroirf =+f⁰ lentillef =−f⁰ Newton FA·F⁰A⁰=f.f⁰=f⁰² FA·F⁰A⁰=f.f⁰=−f⁰²

γt=−^f

FA(=−^f⁰

FA) =−^F⁰_f^A0⁰ γt=− ^f

FA(= ^f⁰

FA) =−^F⁰_f^A0⁰

Descartes ^SA¹⁰ +_SA¹ =_f¹0 1

OA⁰ −_OA¹ = _f¹0

γt=−^SA⁰

SA γt=^OA⁰

OA

Atoujours refaire un schémapour vérifier la cohérence des résultats, comprendre le dispositif

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Comparaison miroir/lentille

les constructions géométriques du miroir s’obtiennent par

« retournement » de celles de la lentille

il existe des relations de conjugaison pour le miroirà ne surtout pas apprendre

miroirf =+f⁰ lentillef =−f⁰ Newton FA·F⁰A⁰=f.f⁰=f⁰² FA·F⁰A⁰=f.f⁰=−f⁰²

γt=−^f

FA(=−^f⁰

FA) =−^F⁰_f^A0⁰ γt=− ^f

FA(= ^f⁰

FA) =−^F⁰_f^A0⁰

Descartes ^SA¹⁰ +_SA¹ =_f¹0 1

OA⁰ −_OA¹ = _f¹0

γt=−^SA⁰

SA γt=^OA⁰

OA

Atoujours refaire un schémapour vérifier la cohérence des résultats, comprendre le dispositif