II Applications

1S1:Correction test 4 Dérivation _2014-2015

I Cours

Tableaux complétés :

Fonction Dérivée Ens. dérivation

x7−→k,k∈R x7−→0 R

x7−→x x7−→1 R

x7−→x² x7−→2x R

x7−→x³ x7−→3x² R

x7−→xⁿ,n∈N^∗ x7−→nxⁿ⁻¹ R x7−→ 1

x x7−→ − 1

x² ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ x7−→ 1

xⁿ ,n∈N^∗ x7−→ − n

xⁿ⁺¹ ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ x7−→√

x x7−→ 1

2√

x ]0; +∞[

x7−→sinx x7−→cosx R x7−→cosx x7−→ −sinx R

Opération Fonction Dérivée

Addition u+v u^′+v^′

Multiplication uv u^′v+uv^′ Multiplication par un scalaire ku ku^′

Quotient u

v

u^′v−uv^′ v²

Inverse 1

u −u^′

u²

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1.◮

1 2 3 4

−1

−2

1 2 3 4 5

−1

bA

b

b

+

+

∆y= 5

∆x= 4

Ci-contre est représentée une partie de la courbeC^f avec f :R−

4 3

−→R x 7−→ 2x−1

3x−4 (a) f^′(2) =−∆y

∆x= −5 4 . (b) Pour toutx6= 4

3,f^′(x) = 2(3x−4)−3(2x−1)

(3x−4)² = − 5

(3x−4)² .

f =u

v doncf^′= u^′v−uv^′ v²

(c) f^′(2) =− 5

(3×2−4)² =−5

4, on retrouve la valeur lue graphiquement.

(d) SoitT2 l’équation de la tangente àC^f au point d’abscisse 2.

T2 : y=f^′(2)(x−2) +f(2)⇔ T2 : y =−5 4x+ 4 2.◮ Soit

h: [0; +∞[−→R x 7−→(x−1)√

x

(a) f est un produit de deux fonctions dérivables sur ]0; +∞[ donc f est dérivable sur ]0; +∞[ et f =uv =⇒f^′ = u^′v+uv^′. (u:x7→x−1 etv :x7→√xde fonctions dérivéesu^′ :x7→1 etv^′ :x7→ 1

2√ x).

Pour toutx >0, h^′(x) = 1×√x+ (x−1) 1 2√

x=√x+x−1 2√

x =√x×2√x 2√

x+x−1 2√

x = 3x−1 2√

x (b) h^′(x) est du signe de 3x−1 car 2√

x >0 pour toutx >0.

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(c) Tableau de variations :

x Signe deh^′(x)

Variations de h

0 ¹3 +∞

− 0 +

00

− r4

− 27 r4

27

ts ts

3.◮ Soit

k:R−→R

x 7−→ −10x⁴+ 2x³+ 2x²+ 1 kest une fonction polynôme donc dérivable surRet pour toutx∈R,

k^′(x) =−10×4x³+ 2×3x²+ 2×2x= 2x(−20x²+ 3x+ 2) k^′(x) = 0⇔2x(−20x²+ 3x+ 2) = 0⇔2x= 0 ou −20x²+ 3x+ 2 = 0⇔x= 0 oux=−1

4 oux= 2 5.

En utilisant la règle du signe deapour le signe d’un trinôme du second degré, on peut remplir le tableau suivant : x

Signe de 2x Signe de−20x² + 3x+ 2

Signe dek^′(x)

Variations dek

−∞ −¹4 0 ²5 +∞

− − 0 + +

− 0 + + 0 −

+ 0 − 0 + 0 −

ts ts

135 128 135 128

11

149 125 149 125

ts ts

À la lecture du tableau et compte-tenu que 149 125 >135

128, on peut dire que

∀x∈R, k(x)6 149 125 kadmet donc un maximum global surRqui vaut 149

125 et il est atteint (obtenu) pour x= 2 5.

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