Matrices stochastiques et racines de l'unité
Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS Algèbre 2, page 75 Théorème :
SoitA= (aij)∈ Mn(R)une matrice stochastique, c'est-à-dire telle que :
∀i, j= 1. . . n, aij≥0 et ∀i= 1. . . n, Xn j=1
aij= 1
Alors :
1. 1est valeur propre deA et toute valeur propre complexeλdeAvérie|λ| ≤1.
2. Soitλune valeur propre deAde module1, alorsλest une racined-ième de l'unité avecd≤n.
3. Si∀i= 1. . . n, aii6= 0, alors la seule valeur propre deAde module1est 1.
Preuve :
1. SoitU =
1...
1
∈Rn. Alors, la deuxième condition qui dénit la matriceAéquivaut àAU =A. Donc1 est bien valeur propre deA, etU est un vecteur propre associé.
Soit λ ∈ Sp(A) et soit X =
x1
...
xn
un vecteur propre associé. Soit i ∈ {1, . . . , n} tel que
|xi|= max
1≤k≤n|xk|. CommeAX=λX, en regardant la i-ième coordonnée, on obtient : pi1x1+. . .+pinxn=λxi
En passant au module, on obtient donc :
|λxi|=|λ||xi|=|pi1x1+. . .+pinxn| ≤(pi1+. . .+pin)|xi|=|xi| On conclut donc que|λ| ≤1.
2. Soitλune valeur propre deAde module1et soitX =
x1
...
xn
un vecteur propre associé.
On suppose queλ6= 1(sinon la question est triviale). Lai-ième ligne de l'égalitéAX=λX conduit à
λ−aii=X
j6=i
aijxj
xi On en déduit que
1−aii=|λ| −aii≤ |λ−aii| ≤X
j6=i
aij
¯¯
¯¯xj
xi
¯¯
¯¯≤X
j6=i
aij = 1−aii
Les inégalités sont donc toutes des égalités. On en déduit donc plusieurs choses :
• L'égalité1−aii=|λ−aii|montrer queλest sur le cercle de centreaii et de rayon1−aii. Si aii >0 ce cercle est tangent intérieurement au cercle unité deCen1. On aurait alors λ= 1, ce qui est exclu. On a donc nécessairementaii = 0. Il en résulte notamment que l'ensemble I={j6=i, aij 6= 0} n'est pas vide.
• D'après le cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire, les complexesaijxj
xi pour j6=isont tous sur une même demi-droite d'origine0. Cela est intéressant uniquement siaij 6= 0, c'est-à-dire sij∈I.
1
• Pourj∈I, on aaij
¯¯
¯¯xj
xi
¯¯
¯¯=aij, c'est-à-dire,|xj|=|xi|.
En combinant ces deux derniers points, on obtient l'existence d'un réelθ tel que, pour toutj∈I, xj =eiθxi. En remplaçant dans la relation de départ, on obtient
λ=eiθX
j∈I
aij =eiθ Xn j=1
aij =eiθ
Ainsi,eiθ =λetxj=λxipour tout indicej∈I.
On en déduit donc en particulier que sixi est une composante de X de module maximal, λxi est encore une composante deX de module maximal.
De là, soitm≥1 le nombre de coordonnées deX de module maximal. Parmi lesm+ 1complexes xi, λxi, λ2xi, . . . , λmxi, qui sont tous des composantes de X de module maximal, il y en a nécessairement deux qui sont égaux. Il existe doncr < stels queλrxi =λxxi et commexi6= 0, on aλk= 1 aveck∈ {1, . . . , n}en posant k=s−r.
3. On a montré la contraposée dans le 2).
2
