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Submitted on 1 Jan 1983
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Interprétation semi-microscopique de la diffusion élastique et inélastique de nucléons par 208Pb
Ch. Lagrange, J.C. Brient
To cite this version:
Ch. Lagrange, J.C. Brient. Interprétation semi-microscopique de la diffusion élastique et inélastique de nucléons par 208Pb. Journal de Physique, 1983, 44 (1), pp.27-32. �10.1051/jphys:0198300440102700�.
�jpa-00209569�
Interprétation semi-microscopique de la diffusion élastique
et inélastique de nucléons par 208Pb
Ch. Lagrange et J. C. Brient
Service de Physique Neutronique et Nucléaire, Centre d’Etudes de Bruyères-le-Châtel,
B.P. n° 561, 92542 Montrouge Cedex, France
(Reçu le 30 juin 1982, révisé le 2 août, accepté le 27 septembre 1982)
Résumé.
2014Partant du potentiel optique microscopique calculé dans la matière nucléaire par Jeukenne, Lejeune
et Mahaux, nous interprétons la diffusion élastique et inélastique de nucléons par 208Pb dans le domaine d’énergie 8,5 MeV-61 MeV. Nous insistons en particulier sur la dépendance en énergie de la probabilité d’excitation du
premier état excité.
Abstract.
2014Starting from the calculations by Jeukenne, Lejeune and Mahaux of the optical potential in nuclear
matter, a microscopic calculation for elastic and inelastic nucleon scattering from 208Pb in the energy range 8.5- 61 MeV is presented. A special consideration is given to the energy dependence of the nucleon excitation strength
for the first inelastic channel.
Classification
Physics Abstracts
25.40C - 25.40D - 25.40E - 25.40F
1. Introduction.
-De leurs calculs Brueckner- Hartree-Fock du potentiel optique dans la mati6re
nucl6aire, Jeukenne, Lejeune et Mahaux [1] ont deduit
une interaction effective nucl6on-nucl6on qui depend
de 1’energie, de la densite nucl6aire, et est locale et complexe. Dans un article recent, Jeukenne et Mahaux [2] ont 6tudi6 l’origine de la d6pendance en densite
de la partie r6elle de cette interaction. Ils ont montre que cette d6pendance venait en partie de l’inclusion
implicite des termes d’6change du type Fock.
Les analyses microscopiques de la diffusion in6-
lastique nucl6on-noyau sont g6n6ralement faites [3, 4]
en utilisant une interaction effective complexe ne dependant pas de la densite nucl6aire, mais incluant
explicitement les termes d’6change. La partie ima- ginaire de cette interaction est d’autre part calcul6e par une procedure ph6nom6nologique proche de celle
utilis6e dans le modele hybride de Satchler [3]. Les
calculs de diffusion sont alors entrepris dans le for- malisme de 1’approximation de Bom en ondes distor-
dues (D.W.B.A.). Le potentiel correspondant a l’inter-
action nucleon-noyau cible est calcule de la manière suivante : les termes diagonaux sont remptaces par
un potentiel optique ph6nom6nologique et les termes
non diagonaux sont calcul6s connaissant l’interaction effective nucleon-nucleon et les fonctions d’onde des 6tats concern6s de la cible.
L’analyse semi-microscopique de la diffusion 61as-
tique et in6lastique des nucl6ons par 2°8Pb, que nous
pr6sentons, est faite dans le domaine d’6nergie 8,5-
61 MeV. Pour eviter le problème pose par la validite du formalisme D.W.B.A. a basse 6nergie, nous employons dans tout le domaine d’6nergie le forma-
lisme des voies coupl6es. Les diff6rents termes du
potentiel d’interaction sont calcul6s en utilisant la force effective nucl6on-nucl6on obtenue en reference [1] ]
avec une forme am6lior6e de 1’approximation de
densit6 locale. Les termes diagonaux sont obtenus
par une convolution de la densite nucl6aire dans 1’etat fondamental avec la force effective complexe, les
termes non diagonaux par une convolution similaire utilisant des densit6s nucl6aires de transition. Les differentes densit6s nucl6aires n6cessaires ont 6t6 calcul6es par Decharge [5] en employant la m6thode Hartree-Fock-Bogolyubov d’une part et 1’approxi-
mation des phases au hasard (R.P.A.) d’autre part.
Cette procedure nous permet d’obtenir une bonne coherence dans le calcul des potentiels diagonaux et
non diagonaux. Une 6tude similaire a la notre pour la construction du potentiel d’interaction a ete ant6rieu- rement presentee par Brieva et al. [6]. Dans leurs analyses des diffusions 61astique et in4lastique de
protons par 4°Ca, ces auteurs ont utilise une force effective [7] complexe, locale, dependant de 1’energie
et de la densite, et diff6rente de celle ici utilisee.
L’6tude presentee dans cet article concerne les
resultats obtenus aux energies de 8,5, 26 et 61 MeV, energies pour lesquelles nous disposons de donn6es
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0198300440102700
28
experimentales pour les diffusions 61astique et in6- lastique. Nous nous limitons ici a l’interpr6tation de la
diffusion in6lastique de nucleons par le premier 6tat
excite du 2°8Pb. L’analyse des donnees [8] concernant
la diffusion in6lastique de neutrons par les autres 6tats
d’6nergie d’excitation inf6rieure a 5 MeV fera l’objet
d’une publication ulterieure.
2. Presentation du modèle.
-Nous rappelons ici
les principales formules du mod6le. Nous utilisons pour 1’approximation de la densite locale la forme amelioree donn6e par 1’6quation (A .1) de la r6f6-
rence [1]. Le potentiel d’interaction neutron-noyau
a ses parties reelle et imaginaire ecrites respectivement
sous la forme suivante :
Les portees tR, t et les normalisations NR, N j sont des parametres phenomenologiques. Le potentiel diagonal
s’obtient en adoptant pour px(r’) les densit6s de nucleon calculees pour 1’6tat fondamental, et le potentiel non diagonal en adoptant pour px(r’) les densit6s de transition. La force effective complexe a pour expres- sions de ses parties reelle V e(r) et complexe Weer)
dans le cas d’un neutron incident :
ou ‘ a (P. - P,)/(P. + Pp) = (P. - Pp ) P -1 1 est le
coefficient d’asymetrie qui peut etre calcule connais- sant les densit6s neutron (Pn) et proton (pp) dans
1’etat fondamental. Cette force effective depend de 1’energie incidente du projectile (E) et les expressions analytiques utilisees pour les fonctions V o, V J, W o
et W, sont celles des references [1] et [9] pour des
energies du projectile respectivement superieures et
inf6rieures a 13 MeV. Pour le potentiel spin-orbite
nous avons adopt6 1’expression suivante :
ofi V. est un parametre ph6nom6nologique.
Le potentiel d’interaction proton-noyau s’obtient
en permutant les indices n et p dans le coefficient a
ainsi que dans l’écriture du potentiel spin-orbite.
11 faut aussi ajouter dans ce cas le potentiel d’inter-
action coulombien proton-noyau cible V,,(r) et, de plus, remplacer 1’energie E par (E - Vc(r)).
Le modele pr6sente donc 5 parametres. Nous
supposons que seules les normalisations NR et N1 peu-
vent varier avec 1’energie. Le domaine d’6nergie
considere s’6tend de 7 MeV a 26 MeV pour les neutrons et de 47 MeV a 61 MeV pour les protons. Ce dernier domaine d’6nergie a ete choisi afin d’6viter les pro- blemes lies aux calculs des termes suivants :
i) le terme de correction coulombienne
tel qu’il apparait dans le formalisme utilise en r6f6-
rence[l];
ii) le terme d’excitation coulombienne pour la diffusion inelastique de protons.
Nous avons vérifié que le premier terme (i) devenait negligeable au-dessus d’une energie de l’ordre de 45 MeV. De plus, il faut noter que d’apr6s Frick et
Satchler [10], 1’excitation coulombienne n’affecterait que légèrement les sections efficaces inelastiques vers
1’avant pour une energie sup6rieure a 40 MeV. Nous
n’avons donc pas introduit ce second terme dans notre 6tude.
3. Param6trisation du modèle.
-Les param6tres
du modele ont ete en premier lieu determines a partir
d’un ajustement par moindres carr6s sur les sections efficaces de diffusion 61astique de neutron en utilisant
un mod6le optique simple. Les donnees experimentales
utilis6es a cet effet ont ete obtenues par Perey et al. [11]
a 7 MeV et 8,5 MeV, celles obtenues par Bainum
et al. [12] all MeV et 26 MeV, ainsi que celles obtenues par Haouat et al. [8] a 7,5, 9,5, 11,5 et 13,5 MeV.
A la suite de cet ajustement nous avons obtenu les valeurs suivantes : tR = 1,2 fm, t, = 1,3 fm et Vs
=50 MeV. Les r6sultats sont presentes pour les
energies de 8,5 et 26 MeV sur la figure la (courbes en points-tirets). Les valeurs de NR, NI et des X2 IN sont reportees sur le tableau I. L’analyse de la diffusion
in6lastique de neutron a ete entreprise, dans une premiere 6tape, en utilisant les parametres ci-dessus
obtenus et en couplant au fondamental les 6tats 3- (Ex = 2,615 MeV), 2+ (4,07 MeV) et 5- (3,19 MeV).
L’effet de couplage des voies inelastiques a la voie elastique n’est pas n6gligeable comme il est montre
sur la figure 1 (courbes en tirets). Un meilleur accord
a ete de nouveau obtenu en r6duisant de 10 % 1’absorp-
tion et en renormalisant les densit6s de transition par
un facteur 0,85 comme il est aussi montre sur la figure 1 (courbes en trait plein).
La valeur du coefficient de normalisation des
densit6s de transition a ete d6termin6e de mani6re à
Fig. 1.
-Comparaison theorie-experience pour la diffusion elastique (la) et inelastique (lb) de neutrons par 208Pb. Donnees experimentales : Refs. [11] (8,5 MeV) et [12] (26 MeV). Voir texte pour 1’explication des courbes.
[Neutron elastic (1a) and inelastic (lb) scattering from 2 08Pb.]
Tableau I.
-Résultats de l’ ajustement en moindres
carrés sur les données expérimentales de diffusion élastique.
[Parameters of the nucleon optical model potential for
use in one-channel calculations. Also listed are the X2
per point for cross section data.]
obtenir un bon accord simultanement avec les donnees de diffusion 61astique et inelastique.
Les analyses de la diffusion elastique de protons
ont ete entreprises aux energies de 47,3 [13] et 61,4 MeV [14] en vue de determiner la variation en energie des
coefficients de renormalisation des diff6rents poten- tiels. L’ajustement obtenu est presente figure 2.
Comme on peut le constater une difference importante
entre les distributions angulaires mesur6es et calcul6es apparait a 47,3 MeV pour les angles sup6rieurs à
120 degr6s. 11 s’agit IA sans doute du probleme de la
diffusion anormale aux angles arri6re. Comme cela
a ete montre en reference [15] ce probleme peut etre resolu en ajoutant phenomenologiquement a l’hamil-
tonien d’interaction un terme suppl6mentaire d6pen-
dant du moment orbital 1. Nous n’avons pas introduit
un tel terme, nous limitant a la recherche des para- metres adapt6s aux angles inferieurs 4 120 degres.
Les differentes valeurs de NR, N, et x2/N ainsi obtenues
sont presentees dans le tableau I.
La coherence du modele ainsi utilise pour la diffu- sion 61astique de neutron et proton a ete testee par la
comparaison de nos calculs microscopiques aux distri-
butions angulaires exp6rimentales de la reaction (p, n)
conduisant a 1’etat isobarique analogue du fondamen- tal. Ces calculs ont ete effectu6s pour une energie cin6tique du proton de 45 MeV [16] en employant
le formalisme de voies coupl6es tel que propose par Lane [17]. En choisissant cette energie nous evitons
le probl6me pose par la determination des potentiels
optiques pour chaque voie de reaction. En effet, on
peut adopter d’une part le potentiel determine pour
des protons de 47 MeV, et d’autre part, compte tenu
du bilan 6nerg6tique de la réaction (Q -- - 18,8 MeV),
30
Fig. 2.
-Comparaisons theorie-experience pour la diffusion
elastique de protons par 208Pb. Donnees experimentales :
Refs. [13] (47,3 MeV) et [14] (61,4 MeV).
[Coupled channel calculations of proton elastic scattering
from 2°8Pb, in ratio to the Rutherford cross sections.]
celui determine pour des neutrons de 26 MeV. Les
predictions du modele sont comparees aux valeurs exp6rimentales sur la figure 3. On peut consid6rer le resultat obtenu comme 6tant tres satisfaisant et en
conclure que 1’analyse faite de la diffusion 61astique
de nuci6ons est coh6rente.
Nous pr6sentons figure 4 les resultats des calculs
en voies coupl6es pour la diffusion in6lastique de protons de 61,4 MeV par les premiers 6tats excites 3 - et 2 +. Les valeurs experimentales reportees sur
cette figure sont celles de Scott et al. [18] pour une
energie de protons de 61,25 MeV. Les courbes en trait plein representent les resultats obtenus en normalisant les densit6s de transition par un facteur 0,85, celles en tirets correspondent a un facteur de normalisation
6gal a un.
4. Discussion et conclusion.
-La param6trisation
que nous avons obtenue est proche de celle r6cem- ment d6termin6e [19] dans 1’analyse de la diffusion 61astique de nucl6ons par 93Nb. Les facteurs de renor-
malisation des differents potentiels sont aussi proches
de ceux ant6rieurement deduits par Lejeune et Hodgson [20] de leurs analyses de la diffusion 61astique
de nucl6ons par un ensemble de noyaux (A =12 - 209)
a diverses energies. Leurs valeurs ont ete discut6es
dans ces deux dernieres references.
Fig. 3.
-Comparaison theorie-experience pour la reaction 208Pb (p, n) a 45 MeV. Donnees experimentales : Ref. [16].
[Calculation of (p, n) cross section to the 2°8Bi ground state
in comparison with data.]
Fig. 4.
-Comparaisons theorie-experience pour la diffusion
inelastique de protons par les premiers 6tats 3 - et 2 + du 208Pb. Donnees experimentales a 61,25 MeV : R6f. [18].
[Coupled channel calculations of proton inelastic scattering
from 208Pb.]
Les calculs de diffusion in6lastique pr6sent6s sur les figures lb et 4 am6nent les remarques suivantes :
(i) Aux energies de 26 et 61 MeV les distributions
angulaires de diffusion in6lastique calcul6es pr6sentent
des structures moins prononc6es que celles observees
experimentalement. Nous n’avons pu mettre en 6vi- dence la raison de ce defaut.
(ii) L’introduction d’un terme d’6change dans le potentiel d’interaction nucleon noyau-cible ne nous apparait pas comme n6cessaire. Ceci peut s’expliquer
d’une part par le fait que nous avons normalise la force effective a partir d’un ajustement sur les donn6es de diffusion 61astique, et d’autre part en rappelant, comme
il a ete montre en reference [2], que cette force d6pen-
dant de la densite inclut en moyenne les termes d’6-
change du type Fock.
La renormalisation des densit6s de transition que
nous avons ete amenes a introduire peut sans doute
s’expliquer par la d6pendance en densite de la force effective utilis6e. En effet Mackintosh [21] a sugg6r6
que les moments multipolaires d’un potentiel d6form6 construit a partir d’une force d6pendante de densite
et d’une densite de transition nucl6aire seraient plus grands que ceux obtenus a partir de cette densite de
transition.
11 sera int6ressant de comparer nos resultats a ceux
deduits d’une autre analyse microscopique [22] de la
diffusion in6lastique de protons par le 2°8Pb utilisant les memes densit6s de transition mais une force effec- tive d6pendante de densite differente.
11 nous a paru enfin utile de comparer les resultats obtenus ici a ceux deduits d’analyses phenomeno- logiques. Cette comparaison a 6t6 faite en utilisant
l’image tr6s simple de la sphere de densite uniforme et
de rayon 1,2 A 1/3. La valeur du paramètre de defor-
mation pour la partie r6elle de notre potentiel micro- scopique (#’) a ete ainsi d6duite du calcul de la valeur moyenne des op6rateurs r- et r-’ Y$(0). Nous avons
ensuite calcule la probabilite de transition reduite Gf,
definite comme 6tant le rapport de la probabilite de
transition calcul6e, a la probabilite de simple particule.
Les valeurs de G’ et iR calcul6es pour 1’6tat 3 - aux
differentes energies sont reportees dans le tableau II.
Nous avons v6rifi6 que cette transition était purement isoscalaire : les valeurs reportees dans le tableau II calcul6es en utilisant le «potentiel neutron » ne
different que de 1 % de celles obtenues en utilisant le
« potentiel proton ». On constate que la valeur du
parametre de deformation depend de l’énergie du projectile. 11 nous faut cependant souligner ici que les
valeurs de fl§ reportees tableau II ont 6t6 obtenues
en consid6rant seulement la partie r6elle du potentiel d’interaction, alors que nos calculs de diffusion in6-
lastique ont ete entrepris en utilisant un potentiel
d’interaction complexe. Pour essayer de renormaliser
en consequence les valeurs de 6’ ., nous avons utilise la methode suivante bas6e sur le calcul des sections efficaces inelastiques int6gr6es (a), qui sont des
AA
Tableau II.
-Valeur du paramètre de déformation et probabilités de transition pour le premier état 3- du 208Pb.
[Energy dependence of the deformation parameter and transition rate (G;) for the first excited 3- state of 208Pb. The values of the transition rate were deduced from the real potential (Gf) and complex potential (GM
(*) L’unitc de probabilite de transition est :
observables caract6risant l’intensite d’excitation du niveau consid6r6. Nous avons recherche les quantit6s X
et Y definies par les rapports suivants :
ou les lettres C(R) indiquent que les sections efficaces ont 6t6 calcul6es avec des couplages complexes (reels)
et ou N, et N2 representent les coefficients de norma-
lisation des densit6s de transition. On peut alors en d6duire une probabilite de transition reduite quand
les termes de couplage sont complexes en utilisant la formule suivante : Gf = G R X2/Y qui r6sulte du fait que les G;. varient comme le carr6 du coefficient de normalisation des densit6s de transition. Les valeurs de Gf, X et Y ainsi calcul6es aux diff6rentes energies
sont reportees tableau II. Compte tenu des ambiguites
propres au mod6le utilise pour decrire la diffusion et
en particulier celles li6es a la definition du potentiel imaginaire dans les voies de sortie, la faible variation de Gf (5 %) observ6e dans tout le domaine d’6nergie
ne nous parait pas sujette a une interpretation phy- sique. On peut au contraire en d6duire que la proba-
bilit6 de transition (Gf) est ind6pendante de 1’energie
du projectile, comme on devait le pr6voir. Nous rappelons que le param6tre de deformation du poten- tiel reel deduit de 1’analyse ph6nom6nologique de la
diffusion in6lastique de nucl6ons par 208 Pb semble d6croitre en fonction de 1’energie du projectile, par
exemple : 133 = o,13 pour En =11 MeV [23], P3 = o,12
pour Ep 3 5 MeV [24] et 133 = o,108 po ar Ep = 54 MeV [25]. Ces diff6rentes valeurs de 133 ont ete normalis6es pour un rayon du potentiel d’interaction de 1,2 A 1/3.
Nous retrouvons ici (cf. Tableau II) cette tendance.
32
Cependant les conclusions des deux analyses different.
La probabilite de transition deduite des analyses ph6- nomenologiques et calculee a partir du parametre de
deformation du potentiel reel sans tenir compte des
termes de couplage complexes, decroit suivant 1’energie
du projectile comme le montrent les valeurs calcul6es :
Nous avons, par contre, obtenu une probabilite de
transition constante car nous avons renormalise la
probabilite de transition d6duite du potentiel micro- scopique reel pour tenir compte des termes de cou- plage complexes.
Pour montrer l’importance de ce facteur de renor- malisation a plus haute energie nous avons calcule la valeur de X, en utilisant les parametres phenome- nologiques (ensemble 1 de la reference [26]), deter-
mines par Djalali et al. [26] pour la diffusion de protons de 201 MeV par le 2°8 Pb. Nous avons obtenu X = 1,77,
Y
=2 car les calculs sont effectues a l’approximation
D.W.B.A.
Remerciements. -Les auteurs remercient J. Dechar- ge et D. Gogny pour des discussions fructueuses concernant le calcul du facteur de forme in6lastique
a partir des densites de transition microscopiques.
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