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Etude de la fonction

f (x) = (3 − x) 3 2x2_{− 1} • x ∈ domf ⇔ 2x2_{− 1 6= 0 ⇔ 2x}2_{6= 1 ⇔ x}2₆₌1 2 ⇔ x 6= √ 2 2 et x 6= − √ 2 2 domf = R\n−√22; √ 2 2 o • lim x→−∞ (3 − x)3 2x2_{− 1} = lim_x→−∞ µ −x3 2x2 ¶ = lim x→−∞ µ −x 2 ¶ = +∞ lim x→+∞ (3 − x)3 2x2_{− 1} = −∞

Donc: Gf n’admet pas d’A.H.

• ∀x ∈ domf : f(x) = − 1 2x + 9 2 | {z } + − 55 2x + 63 2 2x2_{− 1} | {z } → 0( si x → ±∞) Donc: Gf admet une A.O.: y = −1₂x +9₂.

• lim x→− √ 2 2 − (3 − x)3 2x2_{− 1} = ”¡63 2 + 55 4 √ 2¢” > 0 0+ = +∞ lim x→− √ 2 2 + (3 − x)3 2x2_{− 1} = −∞

Donc: Gf admet une A.V. : x = − √ 2 2 . • lim x→ √ 2 2 − (3 − x)3 (2x2_{− 1)} = ”¡63 2 − 55 4 √ 2¢” > 0 0− = −∞ 1

lim x→√2 2 + (3 − x)3 (2x2_{− 1)} = +∞

Donc: Gf admet une A.V. : x = √

2 2 .

• f est dérivable sur domf : domf0 = domf ∀x ∈ domf0_{: f 0(x) =} 3 (3 − x) 2 · (−1) ·¡2x2_{− 1}¢_{− (3 − x)}3 · 4x (2x2_{− 1)}2 = − (3 − x)2¡2x2_{+ 12x − 3}¢ (2x2_{− 1)}2 f 0(x) = 0 ⇔ (3 − x)2¡2x2_{+ 12x − 3}¢_{= 0} ⇔ x = 3 ou x = −3 +12 √ 42 ' 0. 24 ou x = −3 −12 √ 42 ' −6. 24 • x _{−∞ −3 −}√42 2 − √ 2 2 −3 + √ 42 2 √ 2 2 3 +∞ − (3 − x)2 − − − − − 0 ₋ 2x2_{+ 12x − 3 + 0 − − 0 + + +} ¡ 2x2_{− 1}¢2 _{+ + k + + k + +} f 0(x) − 0 + _k + 0 _{− k − −} f (x) _{−∞ &} −54+21√42 8 ≈ 10.262 min local % +∞ k −∞ % −54−21√42 8 ≈ −23. 762 max local

& −∞ k +∞ & 0 _{& +∞}

• f0 est dérivable sur domf0 : domf” = domf0 ∀x ∈ domf00_{: f}00_{(x) =} 2 (3 − x) ¡ 110x2_{− 48x + 21}¢ (2x2_{− 1)}3 f ”(x) = 0 ⇔ (3 − x) (110x2− 48x + 21) = 0 ⇔ x = 3 • x _{−∞ −}√₂2 √₂2 3 _+∞ 3 − x + + 0 ₋ ¡ 2x2_{− 1}¢3 _{+ k − k + +} f ”(x) + _{k k} + 0 ₋ Gf k k point d0 inflexion : 0

Rédaction du corrigé, saisie et mise en pages: Alain KLEIN, IIe C 2 LCD, 2007/08