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Licence génie civil.
L3-S6 2016/2017
Contrôle de mathématiques de l’ingénieur du 31 mars 2017
Calculatrice et document interdit à l’exception d’une feuille manuscrite A4 recto au choix de l’étudiant.
Barème indicatif : 2+3+3+5+7 Vous rendrez le sujet avec vos feuilles
Exercice 1 : (cours) Soit a, b, cdes fonctions réelles, et (E)l’équation différentielle y00(x) +a(x)y0(x) +b(x)y(x) +c(x) = 0
déterminer si elle existe(E0) l’équation sans second membre associée à(E). Soit y0(x) une solution de (E), à quelle condition surz(x),y0(x) +z(x) est-elle solution de(E)? On démontrera soigneusement le résultat.
Exercice 2 : Soient ϕ un champ scalaire etΨ un champ vectoriel de R2, démontrer la formule suivante, en explicitant bien de quel opérateur différentiel il s’agit :
∇ ·(ϕΨ) =∇ϕ·Ψ +ϕ∇·Ψ
Exercice 3 : Soient T le triangle de sommetO = (0; 0),A= (2; 1), etB = (1; 2).
1. ReprésenterT, puis déterminer l’aire deT. 2. CalculerI =RR
T x dxdy.
Exercice 4 : Soit Γ = Im(F) la courbe paramétrée par ∀t ∈ [0; 1], F(t) = t−t4, t −t2
, représentée ci-dessous.
0 0.5
0 0.5
1. En comparant F0(0)etF0(1)et en étudiant la représentation graphique, déterminer le sens de parcours de γ (sens trigonométrique ou sens des aiguilles d’une montre).
2. Déterminer une équation de la tangente à Γen F(12). La représenter sur la courbe ci-dessus.
3. Déterminer les coordonnées du point de la courbe, ayant une abscisse maximale.
4. Calculer la circulation du champΦ(x, y) = (0, x) le long deΓ+.
5. Énoncer le théorème (ou la formule) de Green Riemann. Écrire l’aire d’un domaine D à l’aide d’une intégrale double.
6. En déduire l’aire intérieure à la boucle représentée sur le graphique.
Exercice 5 : Résoudre les équations différentielles et l’EDP suivantes
(E1) y0(t)−2y(t) = 2t (E3) y00(t) + 2y0(t) + 5y(t) = 13te2t (E2) y0(t) + 2
t2−1y(t) =t+ 1 (E4) 3∂ϕ∂x +∂ϕ∂y = 2ϕ(x, y) + 2y
