Partie de mécanique

Chapitre 1 : Gravitation universelle

Chapitre 2 : Exemples d’actions mécaniques Chapitre 3 : Le mouvement

Chapitre 4 : Principe d’inertie

Chapitre 5 : Equilibre d’un corps solide soumis à deux forces : applications

Chapitre 6 : Equilibre d’un corps solide soumis à trois forces non parallèles

Chapitre 7 : Equilibre d’un corps solide en rotation autour d’un axe fixe

Partie de mécanique

Plan de cours de TCS option français

Le mouvement ةكرحلا

* Chapitre 3

PHYSIQUE

T C S

Une personne B se trouve avec sa valise dans un ascenseur en mouvement, L’autre personne A est en attente.

la valise est-elle en mouvement ou immobile?

I – Relativité de mouvement

1. Notion de mouvement

Objets A B La valise Cabine de

ascenseur

A ---

B ---

La valise ---

Cabine de

ascenseur ---

en mouvement en mouvement en mouvement

en mouvement

en mouvement en mouvement

immobile immobile

immobile immobile immobile immobile

B A

a- Activité

b- Résumé:

Pour décrire le mouvement d'un corps, il faut choisir un corps de référence (référentiel). L'état de mouvement ou de repos d'un corps dépend du référentiel choisis.

On dit que le mouvement d'un système est relatif au référentiel choisis.

c- Définition:

Le référentiel (ou corps de référence) est un corps solide indéformable par rapport auquel on étudie le mouvement d’un corps.

Le mouvement est le changement de position (ou déplacement) d’un corps par rapport à un référentiel

 L’étude du mouvement d’un corps nécessite le choix d’un repère associé au corps de référence (terre, arbre, …).

 Pour déterminer la position d’un point M quelconque, on choisit un repère d’origine O lié au corps de référence, on définit les positions du point M par le vecteur position 𝑶𝑴 .

2. Repère d’espace

a- Cas du mouvement rectiligne

On choisit un repère d’un seul axe 𝓡(𝑶, 𝒊 ) . Le vecteur position : 𝑶𝑴= 𝑥_𝑀. 𝒊

La norme est : OM= ‖ 𝑶𝑴‖ = 𝑥_𝑀 ^{2 𝒙𝑴}

b- Cas de mouvement plan

On choisit un repère à deux axes orthonormé 𝓡 (𝑶, 𝒊 , 𝒋 ) . Le vecteur position : 𝑶𝑴= 𝑥_𝑀. 𝒊 + 𝑦_𝑀. 𝒋

La norme est : OM= ‖ 𝑶𝑴‖ = 𝑥_𝑀² + 𝑦_𝑀²

c- Cas de mouvement tridimensionnel

On choisit un repère de trois axes orthonormé 𝓡 (𝑶, 𝒊 , 𝒋 , 𝒌).

Le vecteur position : 𝑶𝑴= 𝑥_𝑀. 𝒊 + 𝑦_𝑀. 𝒋 +𝑧_𝑀. 𝒌 La norme est : OM= ‖ 𝑶𝑴‖ = 𝑥_𝑀² + 𝑦_𝑀² + 𝑧_𝑀² x (l’abscisse), y (l’ordonnée) et z (la cote)

sont les coordonnées du point M à l’instant t.

 Pour décrire le mouvement d'un point d’un corps, il faut déterminer les dates des instants pendant lesquels ce point occupe certaines positions.

 Pour se faire, il est nécessaire de définir un repère de temps qui est constitué d’une origine arbitraire (𝒕 = 𝟎).

L’unité du temps est la seconde « s ».

 On associe à chaque position du point M du solide un instant (ou une date) t .

3. Repère de temps :

 La durée ∆𝒕 : est l’intervalle de temps entre le début (i ) et la fin (f ) d'un événement (elle est toujours positive) : ∆𝒕 = 𝒕_𝒇 − 𝒕_𝒊 .

4. Trajectoire :

 La trajectoire : est la ligne qui relie l’ensemble des positions successives occupées par ce point dans un référentiel donné au cours du mouvement.

 Si la trajectoire est une droite, le mouvement est rectiligne.

 Si la trajectoire est un cercle, le mouvement est circulaire.

 Si la trajectoire est une courbe, le mouvement est curviligne.

II – Vitesse d’un point d’un corps en mouvement de translation

 Une translation est soit rectiligne, soit curviligne ( circulaire).

 Un corps en mouvement de translation si la direction d’un segment limité par deux points de ce corps ne change pas au cours du mouvement.

1. Vitesse moyenne:

 La vitesse moyenne d’un point appartenant à un corps mobile est le rapport de distance d parcourue par ce point sur la durée

∆t du parcours :

En (S.I) l’unité de vitesse est 𝒎/𝒔 ou 𝒎.𝒔^−𝟏. On utilise aussi fréquemment 𝟏 𝒎.𝒔^−𝟏 = 𝟑,𝟔 𝒌𝒎.𝒉^−𝟏 et 𝟏 𝒌𝒎.𝒉^−𝟏 = ^𝟏

𝟑,𝟔 𝒎.𝒔^−𝟏

Pour une trajectoire rectiligne:

Pour une trajectoire curviligne:

2. Vecteur vitesse instantanée

 Le vecteur vitesse instantanée d’un point 𝑴 caractérise la direction et le sens du mouvement de 𝑴 et la valeur de la vitesse à l'instant 𝒕.

a- Caractéristiques du vecteur vitesse instantanée 𝑽_𝒊

 Dans un repère, le vecteur vitesse instantanée, notée 𝑽_𝒊 ou V 𝑀 du point mobile à l’instant 𝒕_𝒊 est défini par :

 Origine : la position 𝑴_𝒊 du mobile à l’instant 𝒕_𝒊 .

 Direction : la tangente de la trajectoire en 𝑴_𝒊 .

 Sens : le sens du mouvement.

 Norme : la valeur 𝑽_𝒊 = ‖ 𝑽_𝒊 ‖ de la vitesse instantanée.

 trajectoire rectiligne:

 trajectoire curviligne:

 Pratiquement pour une^:

b- Représentation du vecteur vitesse instantanée 𝑽_𝒊

 Nous représentons le vecteur vitesse avec une flèche dont sa direction est tangente à la trajectoire, son sens est le sens du mouvement et sa longueur est proportionnelle à la valeur de la vitesse V à l'aide d'une échelle appropriée.

 Dans le mouvement curviligne:

𝑽_𝒊 parallèle au [P_𝒊−𝟏P_𝒊+𝟏].

Avec ԏ la durée entre deux points successifs

 Dans le mouvement circulaire, 𝑽_𝒊 est perpendiculaire au rayon du cercle au point A_𝒊 .

Expérimentalement on utilise la Table à coussin d’air

Pour faire l’étude du mouvement d’un solide au laboratoire:

on utilise un dispositif constitué par un autoporteur qui se soulève de la table grâce à un coussin d’air. Les frottements lors de son

déplacement deviennent alors presque nuls et grâce à un générateur permettant de créer une étincelle qui apparaît au dessous du palet.

Une feuille placée sur la table reçoit cette étincelle et laisse une trace noire enregistrant ainsi une position à un instant t.

On libère un autoporteur du haut de table à coussin d’air inclinée par rapport au plan horizontal, et on enregistre le mouvement d’un point M à des intervalles de temps successifs et égaux à τ=60ms.

L’enregistrement obtenu est donnée par la figure ci - dessous :

3. Application

1) Préciser un référentiel pour étudier le mouvement du point M.

2) Quelle est la nature de trajectoire du point M ?

3) Calculer la vitesse moyenne entre 𝒕_𝟐 et 𝒕_𝟔, et entre 𝒕₄ et 𝒕₈. 4) Calculer les valeurs des vitesses instantanées 𝑽_𝟐, 𝑽_𝟔 et 𝑽₈.

5) Représenter le vecteur de vitesse instantanée aux positions M₂ et M₆.

1) Nous choisissons la table à coussin d’air comme référence.

4) Calculons les valeurs des vitesses instantanées 𝑽_𝟐, 𝑽₄ et 𝑽₆. On a : ^𝐕_𝐢 ^{= 𝐌𝐢−𝟏}_{𝟐 𝛕}^{𝐌𝐢+𝟏} donc 𝑉₂ = ^𝑀_{2 𝜏}^1𝑀3= ^2,5.10−2

2.60.10⁻³ ≃ 0,20 𝑚𝑠⁻¹

𝑉₄ = ^𝑀3𝑀5

2 𝜏 = ^4,5.10−2

2.60.10⁻³ ≃ 0,30 𝑚𝑠⁻¹ et 𝑉₆ = ^𝑀5𝑀7

2 𝜏 = ^6,5.10−2

2.60.10⁻³ ≃ 0,50 𝑚𝑠⁻¹ 2) La nature de la trajectoire du point M:

3) La vitesse moyenne entre 𝒕_𝟐 et 𝒕_𝟔, et entre 𝒕₄ et 𝒕₈: de 𝑴₂ à 𝑴₆ : on a 𝒗_𝒎 = ^𝑴_𝒕 ^𝟐𝑴𝟔

𝟔−𝒕_𝟐=^{𝑴𝟐𝑴𝟔}

𝟒.𝝉 = de 𝑴₄ à 𝑴₈ : on a 𝒗_𝒎 = ^{𝑴𝟒𝑴𝟖}

𝒕_𝟖−𝒕_𝟒=^{𝑴𝟒𝑴𝟖}

𝟒.𝝉 = _{𝟒. 𝟔𝟎. 𝟏𝟎}^{𝟏𝟑. 𝟏𝟎−𝟐}_−𝟑 = 𝟎. 𝟓𝟒𝟏𝒎/𝒔 𝟗. 𝟏𝟎^−𝟐

𝟒. 𝟔𝟎. 𝟏𝟎^−𝟑 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟓 𝒎/𝒔

Correction:

Puisque les points 𝑴_𝒊 appartiennent à une droite, donc la trajectoire du point 𝑴 est rectiligne.

𝑽_𝟐 𝑽_𝟑 𝑽_𝟔

5) Représentation les vecteurs vitesse instantanée aux positions M2 et M6.

𝟎, 𝟐𝟎 𝒎𝒔^−𝟏

III – Mouvement rectiligne uniforme

Activité

Nous envoyons un cavalier sur un banc à coussin d'air horizontal et nous enregistrons le mouvement du point 𝑴 pendant des périodes successives et égales 𝝉=𝟔𝟎𝒎𝒔.

1. Caractéristiques du mouvement rectiligne uniforme

a)Déterminer une référence pour étudier le mouvement et déterminer la nature de la trajectoire du point M

Nous choisissons le banc comme référence de l’étude et puisque les points M_i appartiennent à une droite, donc la trajectoire du point est rectiligne. .

b) Comparer les distances parcourues par 𝑴 à la même période 𝝉.

Que concluez-vous?

Nous avons 𝑴_𝒊𝑴_𝒊+𝟏 =𝟑𝒄𝒎=𝒄𝒕𝒆 , alors les distances parcourues pendant la même période de temps 𝝉 sont égaux.

c) Calculer les vitesses instantanés V₁ et V₃ et V₅ et les représenter par une échelle adéquate et conclure

On remarques V₁ = V₃ = V₅ on prend 1 cm 0,5m/s

0 2

1 0, 5 /

2

V M M m s

   3 ^{2 4} 0, 5 /

2

V M M m s

   5 ^{4 6} 0, 5 /

2

V M M m s

  

V1



V3



V5



conclusion

o Le mouvement d’un point d’un corps est rectiligne uniforme si sa trajectoire est une droite et si sa vitesse est constante V=cte.

o Le vecteur vitesse instantanée est alors constant en direction, en sens et en module.

Puisque le point 𝑴 se déplace selon une trajectoire rectiligne avec une vitesse constante, donc le point 𝑴 est en mouvement rectiligne uniforme.

d) Déterminer la nature du mouvement du point 𝑴.

L’équation horaire d’un mouvement rectiligne uniforme est de la forme:

𝒙(t) = V.𝒕 + x₀

x(t) :abscisse du point mobile à la date t,

x₀ :est son abscisse à l’origine des temps (t=0)

V :est la valeur algébrique de la vitesse 𝑽_𝒊 = ±‖ 𝑽_𝒊 ‖

2. équation horaire

Application : on se basant sur l'activité précédente tel que M₀ et l’origine de repère espace et M₂ l’origine du repère temps (t=0)

a) Complétez le tableau (voire le tableau ci-dessous)

Position ^{M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6}

Date t(s) ^{-120.10-3 -60.10-3 0 60.10-3 120.10-3 180.10-3 240.10-3} Abscisse x_i (m) ^{0 3.10-2 6.10-2 9.10-2 12.10-2 15.10-2 18.10-2} Vitesse(m/s) ^{--- 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ---}

𝐯 = 𝐱 − 𝐱_𝟎

𝐭 − 𝐭_𝟎 = 𝐱 − 𝐱_𝟎 𝐭

b) Représentation de la fonction x=f(t) : _Échelle;

t: 60.10^-3 s→ 1cm x: 3.10^-2 m → 1cm

La courbe obtenue est une fonction affine (y=ax+b) écrite sous forme 𝒙(t) = 𝒂. 𝒕 + 𝒃

Où 𝒂 est un coefficient directeur de la courbe et 𝒃 est l'ordonnée à l'origine du temps 𝒕 = 𝟎 . On a 𝒙(𝐭=0) =𝒙(𝐭_𝟐) = 𝒂. 𝐭_𝟐 + 𝒃 = 𝒃 = 𝟔. 𝟏𝟎^−𝟐𝒎

et a = ^∆𝒙_∆𝒕 = _{(𝟔𝟎−𝟎)𝟏𝟎}^{(𝟗−𝟔),𝟏𝟎−𝟐}_−𝟑=0,5 m.s^-1

Ainsi 𝒂 représente la vitesse instantanée du point M.

Donc l'expression de l'équation horaire du mouvement de M est 𝒙(t) = 𝟎,𝟓 𝒕 + 𝟔. 𝟏𝟎^−𝟐 .

c) L'équation de la fonction x=f(t):

1. Définition

2. Propriété de mouvement circulaire uniforme

a- Vitesse angulaire

𝝎 = ^𝑽_𝑹 telle que V la vitesse linéaire et R le rayon de trajectoire Elle s’exprime dans SI en rad/s ou rad.s^-1.

b- la période

La période est l’intervalle de temps que met une point mobile M pour accomplir un tour complet:

T= ^𝟐.𝝅_𝝎 = ^{𝟐.𝝅.𝑹}_𝑽 Elle s’exprime dans SI en s.

Le mouvement d’un point mobile est dite circulaire uniforme si la trajectoire est circulaire (forme de cercle) et la valeur de la vitesse instantanée est constante

IV – Mouvement circulaire uniforme

c- la fréquence

La fréquence est le nombre de tours par seconde :

N= 𝒇 = ^𝟏_𝑻 = _{𝟐.𝝅.𝑹}^𝑽 Elle s’exprime dans SI en Hertz (Hz).

Exercice: