L.S.Marsa Elriadh
Série 40 M : Zribi
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èmeSc
Exercices09/10
Exercice 1 :
On dispose de deux urnes U1et U2contenant des boules indiscernables au toucher.
U1 contient k boule blanches (k entier naturel supérieur ou égal à 1) et 3 boules noires.
U2 contient 2 boules blanches et une boule noire.
On tire une boule au hasard dans U1et on la place dans U2. On tire ensuite, au hasard, une boule dans U2. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.
On note B1 (respectivement N1) l’événement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U1».
On note B2(respectivement N2) l’événement « on a tiré une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U2».
1. a. Recopier et compléter par les probabilités manquantes l’arbre ci-contre :
b. Montrer que la probabilité de l’événement B2
est égale à 3 6 4 12
k k
.
Dans la suite on considère que k = 12.
Les questions 2 et 3 sont indépendantes l’une de l’autre et peuvent être traitées dans n’importe quel ordre.
2. Un joueur mise 8 dinars et effectue une épreuve.
Si, à la fin de l’épreuve, le joueur tire une boule blanche de la deuxième urne, le joueur reçoit 12 dinars. Sinon, il ne reçoit rien et perd sa mise.
Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur.
a. Déterminer la loi de probabilité de la variable X.
b. Calculer l’espérance mathématique de X.
c. Le jeu est-il favorable au joueur ?
3. Un joueur participe n fois de suite à ce jeu.
Au début de chaque épreuve, l’urne U1contient 12 boules blanches et 3 noires, et l’urne U2
contient 2 boules blanches et 1 noire. Ainsi, les épreuves successives sont indépendantes.
Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l’événement B2soit supérieure ou égale à 0,99.
Exercice 2 :
Tous les résultats seront arrondis à 10−2 près.
Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à 0,1.
1. On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés.
a. Montrer que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité des événements suivants : A : « il n'y a aucun stylo avec un défaut » ; B : « il y a au moins un stylo avec un défaut » ; C : « il y a exactement deux stylos avec un défaut ».
2. En vue d'améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20 % des stylos avec défaut.
On prend au hasard un stylo dans la production. On note D l'événement « le stylo présente un défaut », et E l'événement « le stylo est accepté ».
…
…
B1
N1
…
…
B2
N2
…
…
B2
N2
L.S.Marsa Elriadh
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Exercices09/10
a. Construire un arbre traduisant les données de l'énoncé.
b. Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle.
c. Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu'il a été accepté au contrôle est égale à 0,022 à 10−3 près.
3. Après le contrôle on prélève successivement et avec remise huit stylos parmi les stylos acceptés.
Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos. Comparer ce résultat avec la probabilité de l'événement A calculée à la question 1. b.
Quel commentaire peut-on faire ? Exercice 3 :
Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties.
La probabilité que le joueur perde la première partie est 0,2. Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :
* s’il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ;
* s’il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1.
1. On appelle :
E1 l’événement « le joueur perd la première partie » ; E2 l’événement « le joueur perd la deuxième partie » ; E3 l’événement « le joueur perd la troisième partie ».
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
a. Quelles sont les valeurs prises pas X ?
b. Montrer que la probabilité de l’événement
X2
est égale à 0,031 et que celle de l’événement
X3
est égale à 0,002.c. Déterminer la loi de probabilité de X.
d. Calculer l’espérance de X.
2. Pour tout entier naturel n non nul, on note En l’événement « le joueur perd la n-ième partie », En l’événement contraire, et on note pn la probabilité de l’événement En.
a. Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, les probabilités des événements EnEn1 et
1
n n
E E en fonction de pn.
b. En déduire que pn1 0,05pn0,05 pour tout entier naturel n non nul.
3. On considère la suite
un définie pour tout entier naturel n non nul par : 1n n 19 u p . a. Montrer que
un est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.b. En déduire un puis pn en fonction de n.
c. Calculer la limite de pn quand n tend vers .
