Université Mohammed V Faculté des sciences -Rabat Département de Mathématiques
Licence d’Excellence en Génomique Module Mathématiques 2 Année universitaire 2019-2020
Série 2 : Probabilité
Exercice 1.(Trouver une probabilité)
SoitX une variable aléatoire discrète prenant les valeurs 2, 4, 6, ou 8. Déterminer la loi de X sachant que :P(X <6) = 1/3 ,P(X >6) = 1/2 etP(X= 2) =P(X = 4).
Exercice 2.(DL) (Probabilité totale, Bayes et test médical)
1. Soient (E1, E2) une partition d’un espace fondamental Ω, c’est à direE1∪E2= Ω etE1∩E2=∅.
(a) soitAun événement, montrer queP(A) =P(A/E1)P(E1) +P(A/E2)P(E2).
(b) généraliser pour une partition de Ω quelconque : Ω = E1∪...∪En : C’est la formule des probabilités totales.
2. montrer que∀k= 1, ..., n;P(Ek/A) = P(A/Ek)P(Ek) Pi=n
i=1P(A/Ei)P(Ei). C’est la formule de Bayes.
3. Un dépistage systématique est effectué sur une population dont 6% des individus présentent une certaine infection A non apparente. Ce dépistage est débuté par un test qui donne 95% de résultats positifs pour les personnes atteintes par A et 1% de résultats positifs pour les personnes non atteintes.
(a) Quelle est la probabilité d’être atteint par A sachant que le test est positif ?
(b) Quelle est la probabilité de ne pas être atteint par A sachant que le test est négatif ? Exercice 3.(Indépendance)
On jette 3 fois une pièce de monnaie équilibrée et on considère les événementsA="le premier jet donne face",B="le second jet donne face" etC="deux jets consécutifs donnent face".
1. Donner l’ensemble fondamental.
2. CalculerP(A),P(B) etP(C).
3. Déterminer siAetB sont indépendants. de même pourA etC et pourB etC.
Exercice 4.(DL)(Loi géométrique)
On dit que la variable aléatoire discrète (VAD) X suit une loi géométrique de paramètre p ∈]0,1[ si
∀k∈Non aP(X =k) =p(1−p)k−1. On a alorsE(X) = 1p et V ar(X) = 1−pp2 . On admet que la durée d’attente du Tram est une VAD géométrique. pendant les heures de pointes, les durées moyennes des lignes 1 et 2 sont respectivement de 3min et 2min.
1. Déterminer les paramètres des lois géométrique pour les lignes 1 et 2.
2. Calculer la probabilité d’attendre la ligne 1 une durée comprise entre 2min et 4min.
3. Calculer la probabilité d’attendre la ligne 2 une durée comprise entre 1min et 3min.
4. Calculer la probabilité d’attendre la ligne 1 plus de 5min.
Exercice 5.(Loi de Poisson)
On suppose que, dans un processus industriel, il se produit en moyenne un incident tout les 3 jours. On admet de plus que la survenue d’un incident est une variable aléatoire notée parX qui suit une loi de Poisson.
1. Déterminer le paramètre deX.
2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins 2 incidents dans une journée ? 3. Calculer la probabilité qu’il y ait plus de 5 incidents dans une journée ? Exercice 6.(DL)(Fonction de VAD)
SoitX une variable aléatoire (VA) qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p. On définit les variables aléatoiresY,Z,S etT par :Y = 1−X,Z=X2, S=1+X2X etT =X(1−X).
1. Montrer queY,Z et S suivent chacune une loi de Bernoulli en donnant le paramètre associé.
2. En déduire l’espérance et la variance de chacune d’elles.
3. Donner la loi de probabilité de laT. 4. En déduire l’espérance et la variance deT.
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Exercice 7.(Concours)
Dans un concours, on sélectionne les candidats en leurs posant 10 questions. Pour chacune, ils choisissent une (qui est juste) parmi 4 affirmations. Un candidat se présente et répond aléatoirement à toutes les questions. SoitX la VA représentant le nombre de réponses justes.
1. Déterminer la loi deX puis donner son espérance et sa variance.
2. Calculer probabilité qu’il fournisse exactement 2 réponses justes.
3. Calculer probabilité qu’il fournisse au moins 8 réponses justes.
Exercice 8.DL(Jeu de dé) On jette deux dés réguliers.
1. SoitX la variable aléatoire égale au plus petit des deux nombres obtenus. Déterminer la fonction de répartition deX puis calculer E(X), V(X) etσ(X).
2. SoitY la variable aléatoire égale à la valeur absolue de la différence entre les deux nombres obtenus.
Déterminer la loi de probabilité deY puis calculer E(Y), V(Y) etσ(Y).
Exercice 9.(VAC)
Soitf la fonction définie par
f(x) = 3x2
19 ∀x∈[2; 3]
0 ∀x6∈[2; 3]
1. Montrez que la fonctionf est une densité de probabilité d’une variable aléatoireX. 2. Calculer l’espérance mathématique et la variance deX.
3. Déterminez la fonction de répartitionFX. 4. calculer l’écart-typeσet P(|X−µ|< 13).
5. On considère la variable aléatoireY définie parY = 1 +X2. Déterminez la loi deY. Exercice 10.(Loi normale)
1. On considère une variable aléatoire X qui suit une loi N(0,1), calculer P(X < 0,75), P(X >
1,56), P(X < −0,3) et P(|X| < 1,5) puis déterminer a, b, c, d, e et f tels que P(X < a) = 0,5, P(X < b) = 0,96, P(X < c) = 0,8, P(X > d) = 0,1, P(|X|< e) = 0,95 etP(|X|> f) = 0,01.
2. SiY suit une loi N(µ= 5;σ= 0,5), calculerP(Y <6), P(Y >5), P(Y <3,5), P(4< Y < 6) et P(|Y −5|>0,5) puis déterminerg tel queP(Y > g) = 0,0516.
Exercice 11.(Loi de Poisson Vs loi normale)
SoitX une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètreλ= 3.
1. CalculerP[2≤X ≤4].
2. CalculerP[2≤X ≤4] en approximant la loi de Poisson par la loi normale.
3. CalculerP[1,5≤X ≤4,5] en approximant la loi de Poisson par la loi normale.
Exercice 12.(DL) (Fonction de VAC)
SoitY une variable aléatoire continue suivant une loi uniforme sur [0; 1], déterminer le support, la fonction de répartition et la fonction de densité de chacune des variables aléatoires suivantesZ=√
Y,T =Y2et S=−1λln(Y) oùλ >0.
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