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Chapitre IV : LES GRAPHES PROBABILISTES
I- Définition
Définition 1 : Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dans lequel : - Il y a au plus un arc d’un sommet à l’autre ;
- La somme des poids des arcs issus d’un même sommet est égale à 1.
Remarques :
1) Les poids des arcs sont des probabilités (ce sont des nombres réels compris entre 0 et 1).
2) Un graphe probabiliste indique les différents états possibles d’une situation (par les sommets), ainsi que les probabilités de passer d’un état à un autre (par les poids des arcs).
Exemples :
Le premier graphe est un graphe probabiliste d’ordre 2 et le deuxième est d’ordre 3.
II- État probabiliste et matrice de transition
Définition 2 : Soit une expérience aléatoire à deux issues A et B.
A chacune de ces issues est associée une probabilité, et .
Après répétition de cette expérience, dans les mêmes conditions, on se retrouve dans un état donné.
Cet état à l’issue de chacune des répétitions de l’expérience est appelé état probabiliste.
Il est représenté la plupart du temps par une matrice ligne ሺܽ ܾሻ qui traduit la probabilité d’obtenir l’issue A ou l’issue B après ݊ répétitions de l’expérience.
Il est clair que ܽ+ ܾ = 1 pour tout entier naturel ݊. Remarque :
On peut généraliser ce modèle à une expérience aléatoire à 3 issues, 4 issues, …, k issues.
Définition 3 : Soit G un graphe probabiliste d’ordre ݊ dont les sommets sont numérotés de 1 à ݊. La matrice de transition ܯ de G est la matrice carrée d’ordre ݊ telle que ݉ est égale à la probabilité portée par l’arc reliant le sommet ݅ au sommet ݆ s’il existe et 0 sinon.
• •
A B
>
<
>
<
0,6 0,8
0,2 0,4
2 Exemple :
Les matrices de transition associées aux graphes de l’exemple précédent sont, en supposant les sommets classée dans l’ordre alphabétique :
ܯଵ = ቀ0,6 0,40,2 0,8ቁ et ܯଶ = ൭0,1 0,1 0,8 0,05 0,5 0,45 0,05 0,05 0,9൱
Propriété 1 : Soit ܯ la matrice de transition d’un graphe probabiliste associé à une situation donnée.
Soit ܲ la matrice ligne décrivant l’état initial de la situation étudiée.
Soit ܲ la matrice ligne décrivant l’état probabiliste à l’étape ݊ de la situation étudiée.
On a les relations suivantes :
ܲାଵ = ܲ × ܯ
ܲ = ܲ× ܯ Exemple :
Les joueurs d’un club de rugby sont partagés en deux équipes : une équipe A et une équipe B.
Les joueurs peuvent passer d’une équipe à l’autre suivant leurs performances en match.
Une étude statistique menée lors des saisons précédents permet d’estimer que :
- Si un joueur fait partie de l’équipe A, la probabilité qu’il reste dans cette équipe le match suivant est 0,6.
- Si un joueur fait partie de l’équipe B, la probabilité qu’il change d’équipe le match suivant est 0,2.
La situation est schématisée par le graphe 1 de l’exemple du départ.
Pour un entier naturel ݊ donné, on note ܲ = ሺܽ ܾሻ la matrice ligne décrivant l’état probabiliste lors du match ݊.
Michel vient d’arriver dans le club et la probabilité ܽ qu’il joue dans l’équipe A pour le match de préparation (match 0) est de 0,1.
L’état initial est donc ܲ = ሺ0,1 0,9ሻ. On a ensuite ܲଵ = ܲ × ܯ = ሺ0,24 0,76ሻ
Ou encore ܲଶ = ܲଵ× ܯ = ܲ × ܯଶ = ሺ0,296 0,704ሻ… III- État stable
Définition 4 :
Soit un graphe probabiliste d’ordre ݊ associé à une expérience donnée.
On appelle état stable un état probabiliste qui n’évolue pas lors de la répétition de l’expérience.
Exemple : L’état ቀଵଷ ଶଷቁ est un état stable pour l’expérience précédente.
En effet, ቀଵଷ ଶଷቁ × ܯ = ቀଵଷ ଶଷቁ
Propriété 2 : Soit un graphe probabiliste d’ordre 2 dont la matrice ne comporte pas de 0.
L’état probabiliste ܲ à l’étape ݊ converge vers un état ܲ indépendant de l’état initial ܲ. L’état ܲ est appelé état stable du système : il vérifie l’égalité ܲ × ܯ = ܲ.
