Chapitre 3 Graphes probabilistes
I – Vocabulaire et exemple.
Définition :
Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré tel que la somme des poids des arêtes issus de chaque sommet soit égale à 1.
Remarques :
• Le poids des arcs sont des probabilités donc des nombres compris entre 0 et 1.
• si i et j sont deux sommets, on a au plus une arête partant d'un sommet i et allant à un sommet j.
Exemple :
Ce graphe est un graphe probabiliste.
II – Matrice de transition.
Définition :
Soit G un graphe probabiliste dont les sommets sont numérotés de 1 à n.
On appelle matrice de transition M de G la matrice carré d’ordre n telle que mij soit égal à la probabilité de l'arc reliant le sommet i au sommet j, s'il existe, et 0 sinon.
Remarque :
La matrice de transition permet d'étudier l'évolution du système correspondant au graphe probabiliste.
Exemple :
Reprenons le graphe précédent.
On obtient la matrice M :
M =
(
0,100,100,25 0,250,250,3 0,650,60,5)
Définition :
Soit une expérience aléatoire à n issues A1, …, An.
A chacune de ces issues est affectée une probabilité p1, … , pn.
Lorsque l'on répète cette expérience, dans les mêmes conditions, on se retrouve après chaque réalisation dans un état donné. Cet état , à l'issue de chacunes des réalisations, est appelé état probabiliste.
Il peut être représenté par une matrice ligne Pn = (a1 , a2 , … , an) qui traduit la probabilité d'obtenir l'issue A1 ou … ou An après n réalisations.
Propriété :
Soit M la matrice de transition d'un graphe probabiliste associé à un système donné.
Soit P0 la matrice ligne décrivant l'état initial et Pn l'état probabiliste à l'étape n.
On a :
• Pn+1 = Pn ´ M
• Pn = P0 ´ Mn
Propriété :
Pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 ou 3, dont la matrice de transition ne comporte pas de 0, l'état Pn, à l'étape n, tend vers un état P indépendant de l'état initial P0 quand n devient grand.
On a alors P = P ´ M.
P est appelé état stable du graphe.
Ex 12, 13 et 14 p 340.
Ex 17 p 341.
Ex 19 p 342.
Ex 28 p 346.
Ex 31 p 347.
Ex 35 et 36 p 348.
