Chapitre 1 Probabilités

Chapitre 1 Probabilités

Activité page 144

Faire jeter au moins dix fois (nombre d'expériences à compter) deux dés et compter le nombre de fois où leur somme vaut 7.

A Généralités

Dénition Une expérience aléatoire est un processus qui peut être répété, dont le résultat n'est pas connu à l'avance, mais dont l'ensemble des résultats possibles est bien déterminé.

l'ensemble de valeurs possibles, appelé univers, est parfois notéE. On appelle ses éléments des issues.

Exemple on lance un dé. L'univers est l'ensemble {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Exemple On lance deux dés et on fait la somme. L'univers est l'ensemble{2; 3;. . .; 12}. Dénition On appelle événement tout sous-ensemble de l'univers E. Un événement élémentaire est un événement composé d'une seule issue. On peut décrire un événement à l'aide d'une phrase.

Exemple Dans l'expérience aléatoire du jet d'un dé, on peut considérer : l'événement obtenir un 2 . Il correspond à l'ensemble {2}.

l'événement obtenir un nombre pair . Il correspond ) l'ensemble A={2; 4; 6}. Dénition Soit A un événement. L'événement contraire de A, noté A, est l'ensemble des issues de E qui ne sont pas dans A.

Exemple L'événement contraire de obtenir un 2 est ne pas obtenir de 2 . Il correspond à l'ensemble{1; 3; 4; 5; 6}.

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2 CHAPITRE 1. PROBABILITÉS L'événement contraire de obtenir un nombre pair est obtenir un nombre impair . Il correspond à l'ensembleA ={1; 3; 5}.

Dénition On dit de deux événements qu'ils sont incompatibles s'ils n'ont pas d'issue en commun.

Deux événements contraires sont donc en particulier incompatibles.

→ Exercices 34,35,36p159

B Loi de probabilité

Sur l'ensembleE ={e₁;. . .;e_n}, univers de l'expérience aléatoire, on veut pouvoir expri- mer la fréquence d'apparition de chaque issue.

On dénit alors sur E une fonction de probabilité, notée P, de sorte que : Pour tout élément e_i deE, P(e_i)≥0 et la somme des P(e_i)vaut 1 :

P(e₁) +· · ·+P(e_n) = 1

Déterminer la fonction P, c'est donner la loi de probabilité sur E.

Dénition La probabilité d'un événement A de E est la somme des probabilités des issues deA.

Exemple La somme d'obtenir un nombre pair avec un jet de dé à six faces est : P( obtenir un nombre pair ) = P(2) +P(4) +P(6)

→ Exercices 1,2p149, 3p150

1 Cas particulier : équiprobabilité

Dans certains cas, on estime que les probabilités de toutes les issues sont les mêmes. On dit que les issues sont équiprobables.

C'est le cas lorsque l'on considère le jet d'un dé équilibré , ou que l'on tire une carte au hasard (le mot hasard dans les problèmes de probabilités signie en principe qu'il y a équiprobabilité).

SiE contient n éléments, on a alors pour tout e_i de E la probabilité P(e_i) = 1 n. On dit que la loi est équirépartie.

Exemple pour revenir à l'exemple précédent, on peut alors donner la probabilité dans le cas où le dé est équilibré :

P( obtenir un nombre pair ) = P(2) +P(4) +P(6) = 1 6 +1

6 +1 6 = 1

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B. LOI DE PROBABILITÉ 3 Proposition On peut simplier le calcul des probabilités dans le cas d'équiprobabilité.

Soit A un événement de E dont la loi est équirépartie. Alors : P(A) = nombre d'éléments de A

nombre d'éléments de E

Exemple dans notre exemple, l'événement obtenir un nombre pair représente l'en- semble {2; 4; 6} qui contient 3 éléments. L'ensemble E contient lui6 éléments.

On a donc P(A) = 3 6 = 1

2.

Proposition Soit A un événement de E. Alors : P(A) +P(A) = 1

→ Exercices 4,5,6,7,8p151

→ Exercices 10,11,12p153,... (arbres)