Intégration sur un segment CPGE ERRAZI EL JADIDA Année scolaire 2019/2020 Classe ECS

Intégration sur un segment

CPGE ERRAZI EL JADIDA Année scolaire 2019/2020

Classe ECS

Pr. Khalid El Hail

20 mars 2020

Table des matières

1 Généralité . . . 2

1.1 Intégrale d’une fonction continue. . . 2

1.2 Propriétés de l’intégrale . . . 3

1.3 Intégrale d’une fonction continue par morceaux . . . 5

2 Techniques d’intégration . . . 7

2.1 Intégration par parties . . . 7

2.2 Changement de variable . . . 7

2.3 Somme de Rieman . . . 8

3 Exercices . . . 10

1 Généralité

1.1 Intégrale d’une fonction continue.

Définition 1.1 (Primitive)

Soit I un intervalle de R et f :I →R une fonction continue. On appelle primitive de f toute fonction F :I→Rtel que F⁰= f .

Exemples 1

Exemples des fonctions exponentielles :

— expest une primitive deexpsurR

— Pour a6=0on a x7→ ¹_ae^axest une primitive de x7→e^axsurR.

— Pour a>0et a6=1on a x7→_ln^ax_a est une primitive de x7→a^xsurR

Si on récupère les formules de dérivées des chapitres antérieurs et on les in- verse. On obtient les formulaires de primitives ci-dessous. Le premier concerne les

« fonctions puissances ».

FIGURE1 – Tableau des primitives usuelles (puissance)

Le deuxième concerne la « trigonométrie circulaire ».

FIGURE2 – Tableau des primitives usuelles (trigonométrie)

Proposition 1.1 (Existence et unicité d’une primitive)

Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle. Une telle primi- tive est unique à une constante additive près.

Preuve

1. Existence (Admis) 2. Unicité :

Soient f :I→Ret F et G deux primitives de f sur I. On a alors sur I : (F−G)⁰= f−f =0

donc F−G est constante sur I.

Remarque 1.1

Si F est une primitive de f alors pour tout α∈R la fonction F+αest aussi une primitive de f .

Définition 1.2 (intégrale sur un segment)

Soient I un intervalle et f :I→Rcontinue. Pour tout a,b∈I le réel noté^R_a^bf(t)dt défini par : Z _b

a

f(t)dt =F(b)−F(a) où F est une primitive de f sur I, est dit intégrale de f de a à b.

La quantité F(b)−F(a)est notée souvent[F(t)]^b_a. Remarque 1.2

1. Cette définition à un sens car via la proposition précédente l’intégrale est indépendant du choix de la primitive.

2. Avec les mêmes hypothèses de la définition précédante on a : Z _b

a

f(t)dt =− Z _a

b

f(t)dt et on a :

Z _a

a

f(t)dt=0

1.2 Propriétés de l’intégrale

Proposition 1.2 (Relation de Chasles.)

Soit f ∈C(I,R)où I un intervalle deR, pour tou a,b,c∈I on a : Z _b

a

f(t)dt+ Z _c

b

f(t)dt= Z _c

a

f(t)dt Preuve

En utilisant la définition c’est trivial.

Proposition 1.3 (Linéarité)

Soient f,g∈C(I,R)où I un intervalle deR. Pour tout a,b∈I etλ∈R, on a : Z _b

a

(λf+g)(t)dt=λ Z _b

a

f(t)dt+ Z _b

a

g(t)dt Preuve

Aussi trivial.

Proposition 1.4 (Positivité de l’intégrale)

Soit a,b∈Rtel que a<b et f ∈C([a,b],R)une fonction positive. Alors on a^R_a^bf(t)dt≥0.

De plus on a :

Z _b

a

f(t)dt =0 ⇐⇒ ∀x∈[a,b],f(x) =0 Preuve

Soit F une primitive de f . On a f ≥0 sur [a,b] donc F est croissante sur [a,b], d’où :

Z _b

a

f(t)dt =F(b)−F(a)≥0 Montrons l’équivalence.

Sachant que F est croissante, on a : Z _b

a

f(t)dt=0 ⇐⇒ F(b)−F(a) =0

⇐⇒ F est constante sur[a,b]

⇐⇒ f =0sur[a,b].

Exemples 2

1. Calculons^R₋₁² t|t|dt On a : Z ₂

−1t|t|dt = Z _O

−1t|t|dt+ Z ₂

0

t|t|dt

= Z O

−1

−t²dt+ Z 2

0

t²dt

= [−1/3x³]⁰₋₁+ [1/3x³]²₀

=−1 3 +8

3 =7 3 2. Calculons^R₀¹min(t,a)dt.

Si a≥1on a :

Z ₁

0

min(t,a)dt = Z ₁

0

tdt

= [1/2t²]¹₀

= 1 2 Si a≤0on a :

Z 1 0

min(t,a)dt= Z 1

0

adt

= [at]¹₀

=a Si a∈]0,1[on a :

Z ₁

0

min(t,a)dt = Z _a

0

tdt+ Z ₁

a

adt

= [1/2t²]^a₀+ [at]¹_a

= 1

2a²+ (a−a²)

=−1

2a²+a.

3. Soit f ∈C([0,1],R)tel que∀x∈[0,1], f(x)≥x et^R₀¹f(t)dt = ¹₂. Montrons que∀x∈[0,1],f(x) =x.

On a x7→ f(x)−x est continue positive sur[0,1]et^R₀¹(f(t)−t)dt=0. Donc d’après la Prop.(1.8)on a∀x∈[0,1], f(x)−x=0.

Corollaire 1.1

Soient f et g deux fonctions continues sur un segment[a,b]. On a : f ≤g sur[a,b]⇒

Z _b

a

f(t)dt ≤ Z _b

a

g(t)dt Proposition 1.5

Soit f une fonction continue sur un segment[a,b], alors on a :

| Z b

a

f(t)dt| ≤ Z b

a

|f(t)|dt f Preuve

On pose f₊ =max(f,0) et f₋=min(f,0). On a f₊ et f₋ sont continues à signe constant et on a f = f₊+f₋ et|f|= f₊−f₋, on en déduit :

| Z _b

a

f(t)dt|=| Z _b

a

(f₊(t) + f₋(t))dt|

=| Z b

a

f₊(t)dt+ Z b

a

f₋(t)dt|

≤ | Z _b

a

f₊(t)dt|+| Z _b

a

f₋(t)dt|

= Z _b

a

f₊(t)dt− Z _b

a

f₋(t)dt

= Z _b

a

(f₊(t)dt−f₋(t))dt

= Z _b

a

|f(t)|dt

1.3 Intégrale d’une fonction continue par morceaux

Dans cette section on va présenter une extension de la définition et des propriétés de l’intégrale aux fonctions continues par morceaux sur un segment. Je vous invite à revoir la notion de continuité par morceaux (Cours de Continuité)

Définition 1.3

Soit f une fonction continue par morceaux sur un intervalle[a,b]. On sait qu’il existe a=a₀<

a₁< .. <a_n =b des éléments de [a,b] tels que pout tout i ∈[[1,n]], f_/]ai−1,ai[ est continue et prolongeable par continuité à[a_i−1,a_i]. Notons g_ile prolongement de f_/]ai−1,ai[. On définit alors l’intégrale de f de a à b par :

Z _b

a

f(t)dt= Z _a1

a

g₁(t)dt+ Z _a2

a1

g₂(t)dt+...+ Z _b

an−1

g_n(t)dt Remarque 1.3

L’intégrale d’une fonction continue par morceaux est indépendant de la subdivision (a₀, ..,a_n)choisie.

Exemples 3

Calculons pour n∈N^∗,^R₀ⁿbtcdt.

On sait que t7→ btcest continue par morceaux sur[0,n], et et pour tout k∈[[0,n− 1]] le prolongement de la fonction t 7→ btc à [k,k+1] est donné par la fonction t 7→k. On a alors :

Z _n

0

btcdt=

n−1

∑

k=0

Z _k+1

k

btcdt

=

n−1

∑

k=0

Z _k+1

k

kdt

=

n−1

∑

k=0

[tk]^k+1_k

=

n−1 k=0

∑

k

= n(n−1) 2

Toutes les propositions dans le section précédante pour l’intégrale d’une fonc- tion continue (sauf l’équivalence dans Proposition.(1.8) ), sont aussi vraies dans le cas d’une fonction continue par morceaux. On a alors :

Proposition 1.6 (Relation de Chasles.)

Soit f un fonction continue sur un segment[a,b], pour tou c,d,e∈[a,b]on a : Z _d

c

f(t)dt+ Z _e

d

f(t)dt = Z _e

c

f(t)dt Proposition 1.7 (Linéarité)

Soient f,g deux fonctions continues par morceaux sur un segement[a,b]. Pour toutλ∈R, on a : Z b

a

(λf+g)(t)dt=λ Z b

a

f(t)dt+ Z b

a

g(t)dt Proposition 1.8 (Positivité de l’intégrale)

Soit a,b∈Rtel que a<b et f une fonction positive et continue par morceaux sur[a,b]. Alors on a^R_a^bf(t)dt ≥0.

Corollaire 1.2

Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur un segment[a,b]. On a : f ≤g sur[a,b]⇒

Z _b

a

f(t)dt ≤ Z _b

a

g(t)dt Proposition 1.9

Soit f une fonction continue par morceaux sur un segment[a,b], alors on a :

| Z _b

a

f(t)dt| ≤ Z _b

a

|f(t)|dt f

2 Techniques d’intégration

2.1 Intégration par parties

Proposition 2.1

Soit u et v deux fonctions de classe C¹sur un segment[a,b], on a : Z _b

a

u⁰(t)×v(t)dt = [u(t)v(t)]^b_a− Z _b

a

u(t)×v⁰(t)dt Preuve

Exercice Exemples 4

Si on pose u⁰(t) =t et v(t) =lnt on a : Z ₂

1

tlntdt= [1

2t²lnt]²₁− Z ₂

1

1 2tdt

= [1

2t²lnt]²₁−[1 4t²]²₁

=2 ln 2−3 4 Exercice 1 (Travail à rendre Jeudi prochain.) Calculer les intégrales suivants :

1. ^R₀¹t²e^3tdt 2. ^R₀¹e^tcostdt 3. ^R_−π^π xsinxdx.

4. ^R₀¹tarctantdt

2.2 Changement de variable

Proposition 2.2

Soit f etφdeux fonctions telles que :

1. φest de classe C¹sur un segment[a,b].

2. f est continue sur le segment joignantφ(a)etφ(b).

Alors on a :

Z _b

a

f(φ(s))φ⁰(s)ds= Z _φ(b)

φ(a)

f(t)dt Preuve

Il suffit de remarquer que si F est une primitive de f alors F◦f est une primitive deφ⁰×f◦φ:

Z _b

a

φ⁰(s)×f◦φ(s)ds= [F◦φ(t)]^b_a

=F(φ(b))−F(φ(a))

= [F(t)]^φ(b)_φ(a)

= Z _φ(b)

φ(a)

f(t)dt

Exemples 5 Calculons^R₀¹√

1−t²dt.

On pose t =sins, On a sin est de classe C¹ sur [0,^π₂]et t 7→√

1−t² est continue sur[sin 0,sin^π₂] = [0,1], donc d’après la proposition précédante on a :

Z _sin^π

2

sin 0

p1−t²dt = Z ^π

2

0

p1−sin²s×coss.ds

= Z ^π

2

0

cos²s.ds (cos est positif sur[0,π 2])

= Z ^π

2

0

1+cos(2s)

2 ds

= 1

2[x+sin(2x)

2 ]

π 2

0

= π 4

2.3 Somme de Rieman

Définition 2.1

Soient f une fonction continue sur un segment[a,b]et n∈N^∗. On appelle somme de Rieman à pas constant d’ordre n de f sur[a,b]le réel noté S_n(f,a,b)ou simplement S_n(f)défni par :

S_n(f,a,b) =b−a n

n

∑

k=1

f

a+kb−a n

Proposition 2.3

Soit f continue sur un segment[a,b]on a alors :

n→+∞lim S_n(f,a,b) = Z _b

a

f(t)dt Preuve

Seule la démonstration du cas où f est de classe C¹est au programme, le cas de f continue est admis. Supposons que f est de classe C¹sur[a,b].

Pour prouver que S_n(f) →

n→+∞

Rb

a f(t)dt On va montrer que

R_b

a f(t)dt−S_n(f) −→

n→+∞0.Si on pose x_k=a+k^b−a_n Par la relation de Chasles on obtient

Z _b

a

f(t)dt= Z _x1

x₀

f(t)dt+ Z _x2

x₁

f(t)dt+· · ·+ Z _xn

x_n−1

f(t)dt=

n−1

∑

k=0

Z _xk+1

x_k

f(t)dt Par ailleurs

S_n(f) =

n−1 k=0

∑

b−a

n f(x_k) =

n−1 k=0

∑

(x_k+1−x_k)f(x_k) =

n−1 k=0

∑

_{Z xk+1}

xk

1dt

×f(x_k) =

n−1 k=0

∑

Z _xk+1

xk

f(x_k)dt On a donc

Z _b

a

f(t)dt−S_n(f) =

n−1

∑

k=0

_{Z xk+1}

x_k

f(t)dt− Z _xk+1

x_k

f(x_k)

dt=

n−1

∑

k=0

Z _xk+1

x_k

(f(t)−f(x_k))dt Par inégalité triangulaire

Z _b

a

f(t)dt−S_n(f)

≤

n−1

∑

k=0

Z _xk+1

x_k

(f(t)−f(x_k))dt

≤

n−1

∑

k=0

Z _xk+1

x_k

|f(t)−f(x_k)|dt

Or f⁰ est continue sur [a,b] donc elle est bornée sur ce segment par suite il existe M∈R^∗+tel que :∀x∈[a,b]|f⁰(x)| ≤M. Donc, pour t∈[x_k,x_k+1],IAF apli- quée à f aux points t es x_k de[a,b] done |f(t)−f(x_k)| ≤M|t−x_k|=M(t−x_k) (|t−x_k|=t−x_kcar t−x_k≥0lorsque t∈[x_k,x_k+1])Par croissance de l’intégrale on a donc

Z _xk+1

x_k

|f(t)−f(x_k)|dt≤M Z _xk+1

x_k

(t−x_k)dt

=M

"

(t−x_k)² 2

#xk+1

xk

=M(x_k+1−x_k)² 2

=M

b−a n

2

2

=M(b−a)² 2n² Par sommation

Z b a

f(t)dt−S_n(f)

≤

n−1

∑

k=0

Z x_k+1 xk

|f(t)−f(x_k)|dt

≤

n−1

∑

k=0

M(b−a)² 2n²

=M(b−a)² 2n²

n−1

∑

k=0

1

=M(b−a)² 2n² ×n

=M(b−a)² 2n

Commelim_n→+∞M^(b−a)_2n ²=0,on en déduit par encadrement que

R_b

a f(t)dt−S_n(f)

_n→+∞→ 0

3 Exercices

Des indications sont disponible surhttps://elhail.blogspot.com Exercice 2

Déterminer une primitive des fonctions suivantes : 1. x7→arctan(x)

2. x7→(lnx)² 3. x7→sin(lnx)

4. x7→ ^ln_x^x 5. x7→cos(√

x) Exercice 3

Déterminer une primitive des fonctions suivantes : 1. x7→ ¹

x³−1

2. x7→ _x^x2³+x+1^+2x

3. x7→ ¹

x³−7x+6

4. x7→ _x^4x4−1²

Exercice 4

Déterminer une primitive des fonctions suivantes : 1. x7→sin⁵x

2. x7→cos⁴xsin²x 3. x7→cos(3x)cos³x Exercice 5

Soit f :[a,b]→Rcontinue telle que, pour toutx∈[a,b],on a f(a+b−x) = f(x).

Montrer que

Z _b

a

x f(x)dx= a+b 2

Z _b

a

f(x)dx En déduire la valeur deI=^R₀^{π xsinx}

1+cos²xdx Exercice 6

Pour toutn∈N,on poseI_n=_n!^1R₀¹(1−t)ⁿe^tdt 1. CalculerI₀etI₁.

2. Montrer :∀n∈N,0≤I_n≤ _n!^` . En déduire la limite de(I_n). 3. Montrer :∀n∈N,I_n+1=I_n−_(n+1)!¹

4. Montrer :∀n∈N,I_n=e−∑ⁿ_k=0k!¹ .

5. En déduire la limite de∑ⁿ_k=0k!¹ lorsquentend vers+∞. Exercice 7

Soitgla fonction définie surR\{1}parg(x) =_x−1^{1 R}₁^{x t2}

1+t⁸dt.

Montrer quegest prolongeable par continuité au point 1 et donner la valeur en 1 de ce prolongement.

Exercice 8 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)

Soient f etgdeux fonctions continues sur un segment[a,b]

1. Justifier queP:λ∈R7→^R_a^b(λf(x) +g(x))²dx est une fonction polynômiale de la variable réelleλ. Que dire du signe deP?

2. En déduire l’inégalité R_b

a f(x)g(x)dx2

≤ R_b

a f(x)²dx ^R_a^bg(x)²dx Exercice 9

Soit f :[0,1]→R,continue, telle que^R₀¹f(x)dx= ¹₂.Montrer qu’il existec∈[0,1]

tel que f(c) =c.

Exercice 10

Montrer que :∀x∈R,^R₀^x√1

1+t²dt=ln

x+√ 1+x²