Stanislas
T.D. 1
Résolution des systèmes linéaires
MPSI 12015/2016
ndésigne un entier naturel non nul.
Partie I : Algorithme du pivot de Gauss
Soient(a1,1, . . . , a1,n, . . . , an,1, . . . , an,n, b1, . . . , bn) des nombres complexes. Le système(S)
(S)
a1,1x1+. . .+a1,nxn = b1
a2,1x1+. . .+a2,nxn = b2
... = ...
an,1x1+. . .+an,nxn = bn est un système linéaire d'inconnuesx1, . . . , xn.
Définitions.
∗ Un n-uplet (x1, . . . , xn) est solution de (S) s'il est solution de chacune des lignes du système.
∗ Deux systèmes sont dits équivalents s'ils ont le même ensemble de solutions.
Nous noterons L1, . . . , Ln les lignes du système et appellerons opérations élémentaires sur les lignes du système les transformations suivantes :
∗ Pouri6=j, l'échange des lignes Li etLj, symbolisé par Li ↔Lj.
∗ Pourα6= 0, la multiplication de la ligneLi parα, symbolisée parLi ←αLi.
∗ Pour i 6= j et β ∈ C, l'ajout à Li de la ligne Lj multipliée par β, symbolisé par Li ← Li+βLj.
Théorème 1.
Le système obtenu par application d'opérations élémentaires sur les lignes est équivalent au système initial.
Principe de l’algorithme du pivot de Gauss :On utilise les opérations élémentaires pour transfor- mer le système en un système échelonné, c'est-à-dire dans lequel le nombre d'inconnues décroît strictement quand on passe d'une ligne à la suivante.
Algorithme :
∗ On cherche une ligne où le coecient α de x1 est non nul et simple. Notons cette ligne Li0.
∗ On échange les lignes1eti0,L1 ↔Li0.
∗ On utilise la nouvelle ligneL1pour éliminer les occurrences dex1dans les lignes suivantes, c'est la ligne pivot. Par exemple, si à la ligne L2 le coecient de x1 est a, on eectue L2←αL2−aL1.
∗ On reprend ensuite les étapes de l'algorithme en travaillant sur toutes les lignes sauf la première de manière à éliminerx2. . .
∗ Enn, on exprime les solutions en fonction des variables libres.
Définition 1 (Rang).
Le rang du système est le nombre d'équations non triviales du système échelonné.
Théorème 2 (Ensemble de solutions, P.A.).
Soit S l'ensemble des solutions du système(S).
∗ SoitS =∅, les équations sont incompatibles.
∗ SoitS est un singleton, le rang est alors égal au nombre d'inconnues.
∗ SoitS est inni, le rang est alors strictement inférieur au nombre d'inconnues.
Stanislas A. Camanes
T.D. 1. Résolution des systèmes linéaires MPSI 1
Exercice 1.Résoudre les systèmes suivants.
1. (S1)
2x+ 3y+z= 7 x−y+ 2z=−3 3x+y−z= 6
. 2. (S2)
2x−y+ 4z= 2 x+ 2y−3z= 6 4x+ 3y−2z= 14
. 3.
x+y+z= 5 .
Exercice 2. (Paramètres)Soitaun réel. Déterminer en fonction des valeurs deales solutions des systèmes
1. (S1)
ax+y= 2
x+ay=−2 . 2. (S2)
x−ay+a2z= 2a ax−a2y+az= 2a
ax+y−a2z= 1−a . 3. (S3)
(a−1)x+ (a2−1)y+ (a3−1)z=a2+a−2 .
Partie II : Géométrie Exercice 3. (2inconnues)
1.Résoudre le système(S1)
2x+ 3y= 5
3x+ 2y= 10 . Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de ce système.
2. Soit(a, b, c, d, α, β)∈R6. En utilisant une interprétation géométrique, déterminer une condi- tion nécessaire et susante sur(a, b, c, d) pour que le système(S2)
ax+by=α
cx+dy=β possède une unique solution.
Exercice 4. (3inconnues)Résoudre chacun des systèmes suivants et interpréter géométriquement les résultats.
1.(S1)
x+ 2y−3z=−1 3x−y+ 2z= 7 5x+ 3y−4z= 2
.
2.(S2)
2x−3y+ 5z= 8
−x+ 2y+ 4z=−11 .
3.(S3)
2x−y+ 5z= 4
−2x+y+ 3z=−3 . 4.(S4)
3x−2y+ 5z= 1
−6x+ 4y−10z=−1 . 5.(S5)
3x+ 2y+ 7z= 3 9x+ 6y+ 21z= 9 51x+ 34y+ 119z= 51
.
Partie III : Pour aller plus loin Exercice 5.Soitaun réel. Résoudre les systèmes suivants.
1. (S1)
2x−y+ 3z−t= 1 x+y+z+t= 0 x−4y−z−4t= 3
. 2. (S2)
x+ay−az= 1 y+z= 0 2ax+ (1 +a)y−(1−a)z= 0
.
Exercice 6.Identier les réelsλpour lesquels le système d'équations suivant possède une solution.
(S)
2x1−x2+x3+x4= 1 x1+ 2x2−x3+ 4x4= 2 x1+ 7x2−4x3+ 11x4=λ
Exercice 7.Soienta, b, ctrois réels. On étudie le système
(S)
ay+bx=c cx+az=b bz+cy=a
1. Montrer que si le système(S)possède une unique solution, alorsa6= 0. 2. Résoudre le système(S) lorsque abc6= 0.
Stanislas A. Camanes
