Ordre d’Isolement Dans le cas de systèmes mécaniques complexes faisant intervenir plusieurs solides, il est parfois

Ordre d’Isolement

Dans le cas de systèmes mécaniques complexes faisant intervenir plusieurs solides, il est parfois difficile de choisir l’ordre le plus efficace dans lequel isoler.

Vous trouverez dans ce document la méthode que j’ai mise en place afin de déterminer cet ordre. Elle fonctionne dans 95 % des cas. Les 5% restants étant généralement le cas de problèmes pour lesquelles certaines des six équations de la statique ne sont pas utilisables. Ces cas-là ne seront pas étudié en DUT et Licence Pro.

Ma méthode est basée sur le graphe de liaisons.

Remarque 1 : L’ordre dans lequel isoler n’est pas unique. Plusieurs cheminements permettent d’arriver au même résultat.

Remarque 2 : Un système soumis à deux forces coupe deux traits. Dans le cas des systèmes à 3 inconnues, il faut compter le nombre d’inconnue associé aux traits coupés.

1 •Choisir la phase de fonctionnement du système

2 •Regrouper les pièces en classe d'équivalence 3 •Tracer le graphe de liaisons

4

•Définir le nombre d'inconnues pour chaque liaison (2D ou 3D selon le problème)

•Tracer sur le graphe de liaison les efforts appliqués sur le système

5

•Identifier les systèmes soumis à 2 forces : 2 traits coupés

•Choisir un de ces sytèmes

6

•Simplifer le graphe de liaison (Seule inconnue : l’intensité)

•Reprendre àl'étape 5tant qu'il reste des systèmes soumis à deux forces

7

•Identifier les systèmes à 3 inconnues maxi (Problème plan) ou 6 inconnues maxi (Problème 3D)

•Choisir un de ces systèmes

8

•Simplifer le graphe de liaison

•Reprendre àl'étape 7tant qu'il reste des inconnues sur le graphe de liaisons

Passerelle de maintenance

La structure de la figure ci-contre est chargée sur les barres 1 et 4 par une charge uniformément répartie 𝑝 en 𝑁/𝑚. Le problème est plan. Le poids propre de chaque poutre est négligé.

Calculez les actions aux appuis 𝐴 et 𝐵, et celles dans les liaisons pivots d’axe 𝑧⃗ aux points 𝐶, 𝐷, 𝐸 et 𝐹.

Graphe de liaisons (+ nombre d’inconnue dans le plan) :

Stratégie d’isolement :

Système soumis à 2 efforts : {2} et {3} → Seules inconnues dans chaque cas : l’intensité.

→ Pivots passent de 2 à 1 inconnue par liaison.

Système à 3 inconnues maxi : {1}, {1+2+3} et {1+2+3+4} (Itération 1) Choix : Par exemple {1}

Système à 3 inconnues maxi : {4}, {2+4}, {3+4}, {2+3+4} et {1+2+3+4} (Itération 2) Choix : Par exemple {1+2+3+4} (Avantage : Indépendant des résultats précédents)

Récapitulatif sur l’ordre des isolements : 1. {2}

2. {3}

3. {1}

4. {1+2+3+4}

Système matériel isolé : SMI={2}

C’est un système matériel isolé soumis à 2 forces. Les forces ont la même direction, la même intensité et un sens contraire. La seule inconnue est l’intensité : 𝐹₁₂₄

{ℑ_1/2} = { 0 0

−𝐹₁₂₄ 0

0 0

}

𝐶 𝑜𝑢 𝐸

{ℑ_4/2} = { 0 0 𝐹₁₂₄ 0

0 0

}

𝐸 𝑜𝑢 𝐶

Système matériel isolé : SMI={3}

C’est un système matériel isolé soumis à 2 forces. Les forces ont la même direction, la même intensité et un sens contraire. La seule inconnue est l’intensité : 𝐹₁₃₄

{ℑ_1/3} = { 0 0

−𝐹₁₃₄ 0

0 0

}

𝐷 𝑜𝑢 𝐹

{ℑ_4/3} = { 0 0 𝐹₁₃₄ 0

0 0

}

𝐷 𝑜𝑢 𝐹

Système matériel isolé : SMI={1}

Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (B.A.M.E.) : {ℑ_2/1} = { 0 0

𝐹₁₂₄ 0

0 0

}

𝐸

{ℑ_3/1} = { 0 0 𝐹₁₃₄ 0

0 0

}

𝐹

= {

0 0

𝐹₁₃₄ 0 0 𝑙. 𝐹₁₃₄}

𝐸

{ℑ_𝑝/1} = {

0 0

−3. 𝑝. 𝑙 0 0 −⁹₂.𝑝.𝑙²

}

𝐸

On applique le Principe Fondamental de la Statique (P.F.S.)

{ 0 0

𝐹₁₂₄ 0

0 0

}

𝐸

+ {

0 0

𝐹₁₃₄ 0 0 𝑙. 𝐹₁₃₄}

𝐸

+ {

0 0

−3. 𝑝. 𝑙 0 0 −⁹₂.𝑝.𝑙²

}

𝐸

= {0 0 0 0 0 0 }

𝐸

Somme des moments en A autour de 𝑧⃗ :

𝑙. 𝐹₁₃₄−⁹₂.𝑝.𝑙²= 0 𝐹₁₃₄=⁹

2. 𝑝. 𝑙

Système matériel isolé : SMI={1+2+3+4}

Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (B.A.M.E.) : {ℑ_𝐴0/4} = {

0 0

𝑌̅_𝐴0/4 0

0 0

}

𝐴

{ℑ_𝐵0/4} = {

0 0

𝑌̅_𝐵0/4 0

0 0

}

𝐵

= {

0 0

𝑌̅_𝐵0/4 0 0 5. 𝑙. 𝑌̅_𝐵0/4

}

𝐴

{ℑ_𝑝/1} = {

0 0

−3. 𝑝. 𝑙 0 0 −¹⁵₂.𝑝.𝑙²

}

𝐴

{ℑ_𝑝/4} = {

0 0

−5. 𝑝. 𝑙 0 0 −²⁵

2.𝑝.𝑙²

}

𝐴

On applique le Principe Fondamental de la Statique (P.F.S.) {

0 0

𝑌̅_𝐴0/4 0

0 0

}

𝐴

+ {

0 0

𝑌̅_𝐵0/4 0 0 5. 𝑙. 𝑌̅_𝐵0/4

}

𝐴

+ {

0 0

−3. 𝑝. 𝑙 0 0 −¹⁵₂.𝑝.𝑙²

}

𝐴

+ {

0 0

−5. 𝑝. 𝑙 0 0 −²⁵₂.𝑝.𝑙²

}

𝐴

= {0 0 0 0 0 0 }

𝐴

Somme des moments en A autour de 𝑧⃗ :

5. 𝑙. 𝑌̅_𝐵0/4−¹⁵₂.𝑝.𝑙²−²⁵₂.𝑝.𝑙²= 0 𝑌̅_𝐵0/4 = 4. 𝑝. 𝑙

Somme des forces sur 𝑦⃗ :

𝑌̅_𝐴0/4+ 𝑌̅_𝐵0/4− 3. 𝑝. 𝑙 − 5. 𝑝. 𝑙 = 0 𝑌̅_𝐴0/4= 4. 𝑝. 𝑙

Potence de manutention –

La figure ci-desous représente une potence de manutention. L’utilisation d’un palan (considéré fixe dans la phase de fonctionnement) au point 𝑀 génère une force 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_𝑃/4. On néglige le poids propre des barres devant le chargement. Les liaisons en 𝐴, 𝐵 et 𝐷 sont des pivots d’axe 𝑧⃗. La liaison en E est une linéaire annulaire d’axe 𝑦⃗. La liaison en 𝐶 est une rotule. Toutes les liaisons sont supposées parfaites.

Le problème est plan.

Déterminez l’ordre dans lequel isoler.

Graphe de liaisons (+ nombre d’inconnue dans le plan) :

Stratégie d’isolement :

Système soumis à 2 efforts : {2} → Seule inconnue : l’intensité.

→ Pivots passent de 2 à 1 inconnue par liaison.

Système à 3 inconnues maxi : {(3+4)}, {1+2}, {2+(3+4)} et {1+2+(3+4)} (Itération 1) Choix : Par exemple {1+2+(3+4)}

Système à 3 inconnues maxi : {1}, {(3+4)}, {2+(3+4)} et {1+2} (Itération 2) Choix : Par exemple {(3+4)} (Avantage : Indépendant des résultats précédents)

Récapitulatif sur l’ordre des isolements : 1. {2}

2. {1+2+(3+4)}

3. {(3+4)}