Chapitre 1: Résolution des systèmes linéaires

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Définitions et notations La résolution des systèmes linéaires par la méthode de Gauss

Ch.1 : Résolution des systèmes linéaires par la

méthode de Gauss (1 séance)

Mouanis Hakima Faculté des sciences Dhar Mahraz Fès

hmouanis@yahoo.fr www.mouanis.wordpress.com

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Plan

1. Définitions et notations 2. La résolution des systèmes linéaires par la méthode de Gauss

2.1 Opérations élémentaires 2.2 Système échelonnés 2.3 L’ensemble des solutions

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Définitions et notations La résolution des systèmes linéaires par la méthode de Gauss

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Définition 1.1

Soient n, p ∈ N∗_{. On appelle système de p équations linéaires à n}

inconnus ( ou un système linéaire) à coefficients dans K, un système de type Σ :         

a11x1 + a12x2 + . . . a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . a2nxp = b2

..

. ... ... ...

ap1x1 + an2x2 + . . . annxn = bp

où x1, . . . , xn sont les inconnus et les nombres aij appartiens à K, sont appelés les coefficients du système Σ.

1 Si x1, .., xn sont des solutions des p équations de ce système on dit

que le vecteur (x1, .., xn) de Kn _{est une solution du système Σ.}

L’ensemble de tous les solutions est noté par S(Σ) ou tout simplement S.

2 Si Σ admet des solutions on dit que le système est résoluble. Sinon,

on dit qu’il n’est pas résoluble ou incompatible.

3 Le vecteur b = (b1, b2, ..., bp_{) de K}p est appelé second membre de ce

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Définitions et notations

La résolution des systèmes linéaires par la méthode de Gauss Suite de la Définition

Si b = (0, .., 0) on dit que Σ est homogène.

Remarque 1.1

Un système homogène admet au moins une solution, c’est la solution triviale (0, 0, ..., 0) de Kp_. Exemple 1.1    2x1 + 3x2 + −x3 + x4 = 4 −2x1 + x2 + 2x4 = −2 5x1 + x2 + x3 + 4x4 = 0

x1, x2, x3, x4sont les inconnus, (4, −2, 0) est le second membre

   2x1 + 3x2 + −x3 + x4 = 0 −2x1 + x2 + 2x4 = 0 5x1 + x2 + x3 + 4x4 = 0 est le système homogène associer à ce système.

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Pour résoudre un système linéaires avec la méthode de Gauss on effectue ce qu on appelle "des opérations élémentaires" (ou bien " les transformations équivalentes" ou bien "les transformations de Gauss") sur ce système pour se ramener à un système équivalent au système initial qu’on peut résoudre facilement.

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La résolution des systèmes linéaires par la méthode de Gauss

Opérations élémentaires

Système échelonnés

L’ensemble des solutions d’un système linéaire

Définition 2.1

On dit que deux systèmes Σ1 et Σ2 sont équivalents si S(Σ1) = S(Σ2),

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Proposition 2.1

Soit Σ un système linéaire à coefficients dans K , de p équations linéaires l1, ..., lp, à n inconnues x1, x2, ..., xn, avec p > 2 et n ∈ N∗. Σ est

équivalent au système Σ0 dans les cas suivants :

1 _Σ

0

obtenu en échangeant li par lj, avec i, j ∈ {1, .., p}. 2 _Σ0 formé par les équations l1, l2, ..., λli, ..., lp, avec λ ∈ K∗et

i ∈ {1, ..., p},

3 Σ

0

obtenu en remplaçant li par l’équation li0= li− X 16j6=i6p λjlj avec (λ1, .., λ_{p) ∈ K}p _{et i ∈ {1, .., p}.} 4 Σ 0

obtenu en remplaçant li par l’équation li0= αli− X

16j6=i6p λjlj avec α ∈ K∗ _{et (λ1, .., λp}

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Preuve.

1 évident

2 Soit λ ∈ K∗. Si (x1, x₂, ..., x_n) est une solution de l_i alors il est

solution aussi de λli, donc S(Σ) ⊆ S(Σ0). Inversement, s’il est

solution de λlialors il est solution de 1_λλli qui est li, donc

S(Σ0) ⊆ S(Σ), ce qui donne le résultat.

3 On trouve le résultat en appliquant le même raisonnement de (2).

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Définition 2.2

Soit Σ le système linéaire suivant :

Σ :          a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn = b1 (l1)

a21x1+ a22x2+ ... + a2nxn = b2 (l2)

.. .

ap1x1+ ap2x2+ ... + apnxn = bp (lp)

Pour tout i ∈ {1, .., p} tel que les coefficient de li ne sont pas tous nuls, posons li: aijixji+ ... + ainxn= bi avec aiji6= 0, c’est à dire ji est

l’indice du premier coefficient non nul de l’équation li. Σ est dit échelonnée s’il existe un entier 1 ≤ r ≤ p tel que

1 Pour tout 1 ≤ i ≤ r, la suite j1, .., jrest strictement croissante. 2 Si r < p, alors ai,j= 0 pour tout i ∈ {r, .., p} et tout j ∈ {1, ..n}

Dans ce cas, pour tout 1 ≤ i ≤ r, ai,j_i est appelé le pivot de Σ.

Les inconnus associer aux pivots sont appelés les inconnus principaux Les autres inconnus sont appelés les inconnus arbitraires.

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Suite De la définition

• Si, en plus, le premier coefficient non nul de chaque ligne ( le pivot) est égale à 1 on dit que le système Σ est échelonné réduit.

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Exemple 2.1 Le système Σ                x1− x2− 5x3+ x4+ 7x5−√5x6− = −4 2x2+ x3+ 3x4− x6 = 2 x4+ 8x5+ x6 = 3 −3x6 = −5 0 = b 0 = c est échelonné.

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Exemple 2.2 Le système Σ0                    x1− x2− 5x3+ x4+ 7x5−√5x6− = 1 x2+ x3+ 3x4− x6 = 8 x4+ 8x5+ x6 = √7 x5− 3x6 = 2 0 = b 0 = c 0 = d

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Exemple 2.3 Le système Σ00            x1− 5x3−√5x6− = 0 x2+ x3+ −x6 = √ 2 x4+ x6 = 5 x5− 3x6 = 1 0 = b

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Théorème 2.1

Tout système linéaire est équivalent à un système échelonné

Preuve. Si tous les coefficients aij sont nuls il n y a rien à montrer.

Supposons qu’il existe au moins un coefficient non nul. Montrons par récurrence sur p ( le nombre d’équations) qu’un système linéaire à n inconnues est équivalent à un système linéaire échelonné.

Le résultat est vrai pour p = 1.

Supposons que le résultat est vrai pour p où p ∈ N∗_{, et soit Σ un}

système linéaire de p + 1 équations à n inconnues. Les équations dont tous les coefficients nuls, c’est à dire les équations de la forme

0.x1+ ... + 0.xn = b, n’ont aucun intérêt dans la démonstration, donc on

peut supposer que pour tout i ∈ {1, ..., p + 1} ∃j ∈ {1, ..., n} tel que aij 6= 0.

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Suite de la preuve

On peut supposer que a1,1 6= 0 (sinon on permute la première ligne par

une ligne dont le premier coefficient est non nul, alors les deux système

seront équivalents). le système Σ est équivalent au système Σ0 formé

par les équations l01, l

0 2, .., l 0 p+1 avec l 0 1= l1 et, pour 2 6 i 6 p + 1, l0_i= li−ai1 a11l1. Alors, Σ 0 a la forme suivante : Σ0              a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn= b1 (l1) a0₂₂x2+ ... + a0_2nxn= b0₂ l0₂ .. . a0_{p+1 2}x2+ ... + a 0 p+1 nxn= b 0 p+1 l0_p+1

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Suite de la preuve

Le système : Σ00      0.x1+ a 0 22x2+ ... + a 0 2nxn= b 0 2 .. . 0.x1+ a 0 (p+1)2x2+ ... + a 0 (p+1)nxn= b 0 p+1 est un système linéaire de p équations à n inconnues donc, d’après l’hypothèse de récurrence, il est équivalent à un système linéaire

échelonné. Alors, puisque a116= 0, le système Σ0 est équivalent à un

système linéaire échelonné. Par suite, Σ est équivalent à un système linéaire échelonné. Ce qui donne le résultat.

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Théorème 2.2

Soit Σ un système linéaire. Alors, il y a trois cas

1 _{Σ n’admet pas de solution et on dit qu ’il est incompatible,}

2 Σ admet une infinité de solution,

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Opérations élémentaires Système échelonnés

Preuve. Si tout les coefficients de Σ sont nuls alors S(Σ) = Kn_{. Sinon,}

on peut supposer que Σ à la forme échelonné suivante :

Σ                     

a11x1 +a12x2 + ... + a1nxn = b1 (l1)

a2j₂xj₂ + ... + a2nxn = b2 (l2) . . . . arj_rxj_r +... +arnxn = br (lr) 0 = br+1 (lr+1) .. . ... 0 = bp (lp)

où les aij_i_{, 1 6 i 6 r, sont les pivots.}

F S’il existe i ∈ {r + 1, .., p} tel que bi 6= 0 alors le système est incompatible et (Σ) = ∅.

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Suite de la preuve

F Sinon, en calculant xjr en fonction de inconnus arbitraires

xj_r+1, ..., xn et en remplaçant cette valeur dans la ligne lr−1 on peut

calculer xjr−1 en fonction de inconnus arbitraires qui restent et , de

même, en remplaçant cette valeur dans la ligne lr−2 on peut calculer

xj_r−2 en fonction de valeurs arbitraires qui restent et en répétant ce

procédé r fois, on calcule les inconnus principaux en fonction des inconnus arbitraires

F Si r = n,, c’est à dire tous les inconnus sont principaux, alors le système admet une unique solution.

F Sinon il y a une infinité de solutions (en fonctions des inconnus arbitraires).

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Opérations élémentaires Système échelonnés

Exemple 2.4

Résoudre les systèmes suivants : 1) Σ1        x + 2y − 3z = 4 x + 3y − z = 11 2x + 5y − 5t = 13 x + 4y + z = 18 2) Σ1        x − 4y + z − t = 1 x + y − z − t = 2 x + y + z − t = 0 x − y − z + t = 2 3) Σ1        y + z = 5 x + z = 4 x + y + 2z = 9 −x + y = 1