Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques
LM360 B
Mardi 5 septembre 2006
Topologie et Calcul Diff´ erentiel
Dur´ee 3 heures – sans document
I
Soient p et α deux nombres r´eels strictement positifs. D´eterminer le maximum de la fonction f : (x, y)7→x+y sur l’ensemble {(x, y)∈R2 :x4+ 2αx2y2+y4−p4 = 0}.
II
Soient U un ouvert convexe born´e de l’espace euclidien Rn. On note C1( ¯U) l’espace vectoriel des fonctions complexes de classe C1 sur U qui se prolongent, ainsi que toutes leurs d´eriv´ees partielles, en fonctions continues sur l’adh´erence ¯U de U.
1) Montrer que si on pose, pour f ∈C1( ¯U),
|||f|||:= sup
x∈U¯|f(x)| kfk:= sup
x∈U¯|f(x)|+ Xn
j=1
sup
x∈U¯
ØØ ØØ
@f
@xj(x) ØØ ØØ
on a kfk < 1, et que la fonction f 7→ kfk est une norme sur C1( ¯U). Montrer que, pour cette norme,C1( ¯U) est un espace de Banach.
2) Soient f etg deux ´el´ements deC1( ¯U). Montrer que kf gk ≤ kfk.kgk et que
|||f g||| ≤ kf gk ≤ kfk.|||g|||+|||f|||.kgk
et en d´eduire que pour tout entierm on a |||f|||m ≤ kfmk ≤mkfk.|||f|||m−1. Que vaut limm→1kfmk1/m?
3) On note 1l la fonction qui vaut 1 en tout point deU, et pour f ∈C1( ¯U), on note f∗ la fonction conjugu´ee : x7→f(x).
Soitχune forme lin´eaire non identiquement nulle surC1( ¯U) telle queχ(f g) =χ(f).χ(g) pour toutef et toute g de C1( ¯U). Montrer que χ(1l) = 1, et que, si la fonction f ∈ C1( ¯U) ne s’annule pas sur ¯U, la fonction f−1 : x 7→ 1
f(x) appartient `a C1( ¯U) et qu’on a χ(f).χ(f−1) = 1. En d´eduire qu’alors χ(f)6= 0.
4) On fait les mˆemes hypoth`eses sur χ et on note J = ker(χ) l’ensemble des f ∈ C1( ¯U) telles que χ(f) = 0. Montrer que J est un id´eal de C1( ¯U), c’est-`a-dire un sous-espace vectoriel tel que f g ∈J d`es que f ∈J et g∈C1( ¯U), et que 1l∈/ J.
On se propose de montrer, en raisonnant par l’absurde, qu’il existe un unique point a ∈ U¯ tel que tout ´el´ement de J s’annule en a. On suppose donc que, pour tout y ∈ U¯, il existe fy ∈ J tel que fy(y) 6= 0. Montrer qu’il existe alors un voisinage ouvert Wy de y tel que fy(x) 6= 0 pour x ∈ Wy, puis qu’il existe (y1, y2, . . . , ym) dans ¯U tels que les Wyi recouvrent ¯U. En d´eduire que les fonctions fyify∗i sont alors dans J, puis que la fonction g:= Pm
i=1fyi.fy∗i est aussi dans J et strictement positive sur ¯U, et enfin que g−1 ∈ C1( ¯U) et que g.g−1 = 1l ∈J. D´eduire de cette contradiction l’existence de a.
Soit b∈U¯ tel que tout ´el´ement deJ s’annule enb. Montrer que, pour tout f ∈C1( ¯U), on af −χ(f).1l∈J, et en d´eduire que χ(f) =f(b).
Montrer que siaetbsont deux points distincts de ¯U il existe une fonctionhde classeC1 surRn telle queh(a)6=h(b). Conclure qu’il existe un unique pointa ∈U¯ tel queχ(f) =f(a) pour toute f ∈C1( ¯U).
5) Soient a un point de ¯U et V un sous C-espace vectoriel de LR(Rn,C) ' Cn. On consid`ere l’ensemble
Ja,V :={f ∈C1( ¯U) :f(a) = 0 et f0(a)∈V}
Montrer queJa,V est un id´eal ferm´e de C1( ¯U), c’est-`a-dire un sousC-espace vectoriel ferm´e tel que l’on ait f g ∈Ja,V chaque fois que f ∈Ja,V etg ∈C1( ¯U).
Inversement, on suppose maintenant que J est un id´eal ferm´e de C1( ¯U) et qu’il existe un unique point a ∈ U¯ o`u toutes les fonctions de J s’annulent, et on veut montrer qu’il existe un sous-espace V de Cn tel que J =Ja,V.
6) Soient ε > 0 et h un ´el´ement de C1( ¯U) qui s’annule en tout point de ¯U ∩B(a, ε). On veut montrer queh∈J.
Soit ϕ la fonction de classe C1 sur Rn d´efinie par
ϕ(x) = ( ≥
ε2− kx−ak2¥2
si kx−ak ≤ε
0 sinon
Montrer que, pour tout point y ∈ U¯ \B(a, ε), il existe fy ∈ J telle que fy(y) 6= 0 et un voisinage ouvert Wy de y tel que fy(x) 6= 0 pour x ∈ Wy. Montrer alors qu’il existe (y1, y2, . . . , ym) tels que ¯U \B(a, ε) ⊂ S
iWyi, puis que la fonction g := ϕ+P
ifyi.fy∗i ne s’annule en aucun point de ¯U. Conclure que g−1 ∈C1( ¯U), puis que
h =h.g.g−1 = (h.ϕ).g−1+h.g−1X
i
fyi.fy∗i =X
i
fyi.(h.g−1fy∗i)∈J
7) On admettra que toute fonction h ∈ C1( ¯U) telle que h(a) = 0 et h0(a) = 0 est limite dans C1( ¯U) d’une suite (hm) de fonctions de C1( ¯U) nulles au voisinage de a.
Montrer queV :={f0(a) :f ∈J}est un sousC-espace vectoriel deCn, et queJ ⊂Ja,V. Inversement, montrer que si f ∈Ja,V il existe g ∈ J telle que g0(a) =f0(a) ; d´eduire de ce qui pr´ec`ede queh:=g−f appartient `a J et conclure que f ∈J, donc que J =Ja,V.
2
