Examen de Septembre 2005

Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques

Math360 B

Lundi 5 septembre 2005

Topologie et Calcul Diff´ erentiel

Dur´ee 3 heures – sans document Probl`eme n^o 1

I Dans ce qui suit, on d´esignera parE un espace de Banach r´eel, dans lequel la norme de x est not´ee kxk_E, et par

L

_(E) l’alg`ebre de Banach des applications lin´eaires continues de E dans lui-mˆeme, avec la structure d’espace de Banach pour la norme d´efinie par kuk L<sub>(E)</sub> = sup{ku(x)k<sub>E</sub> :kxk<sub>E</sub> ≤1} et la loi de composition symbolis´ee par <sup>◦</sup>, associative et distributive `a droite et `a gauche par rapport `a l’addition dans

L

(E) et la multiplication par les r´eels des ´el´ements de

L

_(E) , ayant la propri´et´e ku^◦vk L_(E) ≤ kuk L_(E)kvk L_(E) pour toutuet toutv dans

L

(E). On note aussi

L

₂(E) l’espace de Banach des applications bilin´eaires continues deE×E dans E.

1) Soit F une fonction de classe

C

¹ _{de E dans E}, non n´ecessairement lin´eaire. On note F⁰ =I, F¹ =F, F² =F^◦F et plus g´en´eralement Fⁿ la composition de F par elle-mˆeme n fois ( n∈N), I ´etant l’identit´e de E dans E.

2) V´erifier queF est de classe

C

¹ _{de E dans E et D(F}²_{)(x) =DF(F(x))}◦DF(x).

Montrer plus g´en´eralement queFⁿ est de classe

C

¹ _{deE dans E} et que la diff´erentielle de Fⁿ en un point x∈E est donn´ee par

D(Fⁿ)(x) =DF(Fⁿ⁻¹(x))^◦DF(Fⁿ⁻²(x))^◦. . .^◦DF(F(x))^◦DF(x) en raisonnant par r´ecurrence sur n.

3) On suppose qu’il existe c∈R⁺ = [0,∞[ tel que

kDF(x)k L_(E) ≤c pour tout x∈E

a) Montrer que Fⁿ est lipschitzienne de rapport cⁿ de E dans E pour tout n deN. b) Si 0 ≤ c < 1, montrer que F admet un point fixe unique x₀ dans E et que, pour toutx ∈E, x₀ = limn→∞Fⁿ(x). Quelle est la limite deFⁿ pour la convergence simple sur E lorsque n tend vers l’infini ?

c) On suppose `a nouveau 0 ≤ c < 1, et on consid`ere une s´erie num´erique r´eelle absolument convergenteP

na_naveca₀ = 1. Pour toutx∈E (et en particulier pourx=x₀), montrer la convergence de la s´erie num´eriqueP

n|an| kFⁿ(x)k_Eet celle de la s´erie vectorielle P

na_nFⁿ(x) dansE.

On d´esigne par S_F(x) la somme de la s´erie vectorielle pr´ec´edente et S_F la fonction correspondante, somme de la s´erie P

na_nFⁿ pour la convergence simple sur E. Calculer S_F(x₀).

d) Toujours pour 0 ≤c < 1 et P

na_n absolument convergente avec a₀ = 1, montrer que S_F est de classe

C

¹ _{de E dans E.}

V´erifier queDS_F est la somme de la s´erie vectorielleP

na_nD(Fⁿ) dans

C

⁰_(E,

L

_{(E)) pour}

la norme de la convergence uniforme surE des fonctions `a valeurs dans l’espace de Banach

L

_(E).

CalculerDS_F(x₀). V´erifier quek(DSF −I)(x)k L_(E) ≤P^∞

n=1|an|cⁿ. En d´eduire qu’il existe c₀ ∈]0,1[ tel que pour toutc∈[0, c₀],DS_F(x) soit un isomorphisme deE dans E pour tout x∈E. En d´eduire que S_F(x) est un diff´eomorphisme de classe

C

¹ _{de E sur SF(E).}

V´erifier que c₀ = 1

1 + sup_n|a_n| convient lorsque sup|an|>0.

II On suppose maintenant que F est de classe

C

² _{de E dans} E, non n´ecessairement lin´eaire.

1) Montrer que v_n = (DF)^◦(Fⁿ) est de classe

C

¹ _{de E dans}

L

_(E) et que pour tout x∈E,

Dv_n(x) =D²F(Fⁿ(x))^◦DF(Fⁿ⁻¹(x))^◦. . .^◦DF(x) Montrer que Fⁿ est de classe

C

² _{de E dans E} et v´erifier la formule

D²(Fⁿ)(x).(h, k) =

n−1

X

j=0

¡DF(Fⁿ⁻¹(x))^◦. . .^◦DF(F^j+1(x))¢ .h

D²F(F^j(x))

{DF(F^j−1(x))^◦. . .^◦DF(x).h, DF(F^j−1(x))^◦. . .^◦DF(x).k}i pour toutx, tout h et tout k de E (on pourra consid´erer D(Fⁿ) comme la composition de deux applications T₁ et T₂ de classe

C

¹_{, avec T2} multilin´eaire continue).

2) On suppose qu’il existe c∈]0,1[ et d∈R⁺ = [0,+∞[ tels que, pour x∈E, kDF(x)k L_(E)≤c et °

°D²F(x)°

° _L

2(E)≤d

Montrer queS_F est de classe

C

² _{deE dans E}. Montrer qu’il existe c₁ ∈[0,1[ tel que pour toutc∈[0, c₁[, S_F soit un diff´eomorphisme de classe

C

² _{de E sur SF(E).}

Probl`eme n^o 2

Pour tout sous-ensemble A de l’espace m´etrique E, on note A l’adh´erence de A et

◦

A l’int´erieur de A. On consid`ere α(A) =

◦

A et β(A) =

◦

A.

1) Montrer que si A est ouvert, A⊂α(A) et que si A est ferm´e, A ⊃β(A).

2) Montrer que, pour tout sous-ensembleA de E, α(α(A)) =α(A) et β(β(A)) =β(A).

3) Donner un exemple, sur la droite r´eelle, d’un ensemble A tel que les sept ensembles A,

◦

A, A, α(A), β(A), α(

◦

A) et β(A) soient tous distincts et n’aient pas d’autres relations d’inclusion que les suivantes :

◦

A⊂A⊂A , α(

◦

A)⊂α(A) , β(A)⊂β(A)

◦

A⊂α(

◦

A)⊂β(A)⊂A ,

◦

A⊂α(A)⊂β(A)⊂A

2