Corrigé de Septembre 2006

Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques

LM360 B

Mardi 5 septembre 2006

Topologie et Calcul Diff´ erentiel

Corrig´e de l’examen I

Si (x, y) appartient `aH :={(x, y) :x⁴+ 2αx²y²+y⁴−p⁴ = 0}, on ax⁴ ≤p⁴ ety⁴ ≤p⁴, donc max(|x|,|y|)≤p, ce qui montre que H est born´e. De plus H est ferm´e comme image r´eciproque de {0} par la fonction continue ϕ: (x, y) 7→x⁴+ 2αx²y²+y⁴−p⁴. Donc H est compact et la fonction r´eelle continue s : (x, y) 7→x+y atteint son maximum sur H en un point (x₀, y₀). Les fonctions ϕ et s sont de classe C¹ sur R². Et ϕ n’a pas de point critique sur H : en effet, un point critique (x, y) de ϕv´erifie









@ϕ

@x(x, y) = 4x³+ 4αxy² = 4x(x²+αy²) = 0

@ϕ

@y(x, y) = 4αxy²+ 4y³ = 4y(y²+αx²) = 0

doncx =y= 0 alors que (0,0)∈/ H. Il en r´esulte que le rang de la diff´erentielle ϕ⁰(x, y) est

´egal `a 1 en tout point de H.

Le th´eor`eme des extr´ema li´es donne alors l’existence d’un multiplicateur de Lagrange

∏ pour lequel on a s⁰(x₀, y₀) =∏ϕ⁰(x₀, y₀), c’est-`a-dire :









1 = @s

@x(x0, y0) =∏@ϕ

@x(x0, y0) = 4∏x0(x²₀+αy₀²) 1 = @s

@y(x0, y0) =∏@ϕ

@y(x0, y0) = 4∏y0(y₀²+αx²₀) On en d´eduit en particulier quex₀ 6= 0 ety₀ 6= 0. Si on pose m= y₀

x₀, on a 1 = 4∏y₀(y₀²+αx²₀)

4∏x₀(x²₀+αy₀²) =m m²+α 1 +mα² donc

0 =m(m²+α)−mα²−1 = (m−1)(m²+m+ 1)−αm(m−1) = (m−1)(m²−(α−1)m+ 1) et, ou bien m =1, ou bienmest racine de l’´equation du second degr´em²−(α−1)m+ 1 = 0, dont les deux racines, si elles existent sont inverses l’une de l’autre.

- si m= 1, c’est-`a-dire x₀ =y₀, on a 0 =ϕ(x₀, x₀) = 2(1 +α)x⁴₀−p⁴, donc x₀ =y₀ =± p

p4

2(1 +α) et s(x₀y₀) =± 2p p4

2(1 +α)

- si m est racine r´eelle de l’´equation du second degr´e, on doit avoir (α−1)² −4 ≥ 0, c’est-`a-direα ≥3 puisque α > 0 par hypoth`ese. Dans ce cas, on a

0 =ϕ(x₀, mx₀) =x⁴₀(m⁴+ 2αm²+ 1)−p⁴

doncx0 =± p

√4

m⁴+ 2αm²+ 1, y0 =mx0 =± mp

√4

m⁴+ 2αm²+ 1 et

s(x₀, y₀) =±p 1 +m

√4

m⁴+ 2αm²+ 1 =p

qm(m+ 2 + _m¹ ) q4

m²(m²+ 2α+ _m¹2)

=p

qm+ _m¹ + 2 q4

(m+ _m¹)²+ 2α−2 et puisque _m¹ est la racine conjugu´ee de mon a m+ _m¹ =α−1 donc

s(x0, y0) =±p

√α+ 1 p4

(α−1)²+ 2α−2 =±p⁴ s

(α+ 1)²

α²−1 =±p⁴

rα+ 1 α−1

Si α < 3, la seule racine est m = 1, et le maximum est n´ecessairement atteint pour x₀ = y₀ > 0 et vaut 2p

p4

2(1 +α). Si α ≥ 3, le maximum est atteint pour x₀ > 0 et y₀ > 0 et vaut le maximum de z0 = 2p

p4

2(1 +α) et de z1 = p⁴

rα+ 1

α−1. On a z₁ z₀ = ⁴

s(α+ 1)² 8(α−1) et puisque (α+ 1)²−8(α−1) = (α−3)² ≥ 0, on voit que z₁ ≥z₀ donc que le maximum est z1.

II 1) Puisquef et les @f

@x_i se prolongent en fonctions continues sur le compact ¯U, elles y sont born´ees, et kfk<+1.

Puisque la norme uniforme |||f||| de f est inf´erieure `a kfk, on a |||f||| = 0, donc f = 0, si kfk= 0. Il est clair que |||∏f||| =|∏| |||f||| si ∏ ∈ C. Enfin, on a |||f+g||| ≤ |||f|||+|||g||| et, pour tout i,

sup

x∈U¯

ØØ

ØØ@(f +g)

@x_i (x) ØØ

ØØ= sup

x∈U¯

ØØ ØØ@f

@x_i(x) + @g

@x_i(x) ØØ

ØØ≤ sup

x∈U¯

ØØ ØØ@f

@x_i(x) ØØ ØØ+ sup

x∈U¯

ØØ ØØ @g

@x_i(x) ØØ ØØ

donc kf +gk ≤ kfk +kgk. Ceci montre que k.k est une norme sur C¹( ¯U). Si (fn) est une suite de Cauchy pour cette norme, les suites (f_n) et (@f_n

@xi

) sont des suites de Cauchy pour la convergence uniforme sur ¯U. Il en r´esulte qu’elles convergent uniform´ement vers des fonctions continuesf etg_i sur ¯U. On en conclut que f est diff´erentiable en chaque point de U et que @f

@xi

=g_i pour 1 ≤i≤n, donc que f est de classe C¹ sur U et que f se prolonge, ainsi que ses d´eriv´ees partielles gi en fonctions continues sur ¯U, c’est-`a-dire que f ∈C<sup>1</sup>( ¯U) et que f est limite dans C<sup>1</sup>( ¯U) de la suite (f<sub>n</sub>). Donc C<sup>1</sup>( ¯U) est complet, c’est-`a-dire un espace de Banach.

2) On a, pour f et g dansC¹( ¯U) : sup

x∈U¯|f(x)g(x)| ≤sup

x∈U¯|f(x)|.sup

x∈U¯|g(x)| sup

x∈U¯

ØØ ØØ@(f g)

@x_j (x) ØØ

ØØ≤sup

x∈U¯

ØØ

ØØf(x) @g

@x_j +g(x) @f

@x_j ØØ ØØ

≤sup

x∈U¯|f(x)|.sup

x∈U¯

ØØ ØØ

@g

@xj

(x) ØØ ØØ+ sup

x∈U¯|g(x)|.sup

x∈U¯

ØØ ØØ

@f

@xj

(x) ØØ ØØ 2

et on voit que tous ces termes figurent dans le d´eveloppement de kfk.kgk, d’o`u l’on conclut que kf gk ≤ kfk.kgk. Tous ces termes figurent aussi dans le d´eveloppement de kfk.|||g|||+|||f|||.kgk ( le terme |||f|||.|||g||| figure mˆeme deux fois dans le membre de droite), et on conclut que kf gk ≤ kfk.|||g|||+|||f|||.kgk.

On a clairement |||f|||^m = |||f^m||| ≤ kf^mk. Et on d´emontre par r´ecurrence sur m que kf^mk ≤mkfk.|||f|||^m−1. C’est clair pour m= 1. Si c’est vrai pourm, on a

∞∞f^m+1∞∞=kf^m.fk ≤ kf^mk.|||f|||+|||f^m|||.kfk ≤(mkfk.|||f|||^m−1)|||f|||+kfk |||f|||^m

= (m+ 1)kfk |||f|||^m ce qui montre que l’in´egalit´e est valable pour m+ 1.

On en d´eduit que

|||f||| ≤ kf^mk^1/m ≤m^1/mkfk^1/m|||f|||^1−1/m donc que kf^mk^1/m → |||f|||.

3) Puisque χ n’est pas identiquement nulle, il existe f ∈ C¹( ¯U) telle que χ(f) 6= 0. Et puisque f.1l =f, on a χ(f.1l) =χ(f).χ(1l) =χ(f), donc χ(f)(1−χ(1l)) = 0, ce qui entraˆıne χ(1l) = 1.

Si la fonction f de C¹( ¯U) ne s’annule pas sur ¯U, la fonction f⁻¹ = 1

f est de classe C¹ sur U et se prolonge en une fonction continue sur ¯U. De plus les d´eriv´ees partielles de f⁻¹ v´erifient :

@(f⁻¹)

@x_j (x) =−f⁻²(x). @f

@x_j(x)

donc se prolongent en fonctions continues sur ¯U, puisque c’est le cas de f⁻² et de @f

@x_j. On a alorsf.f⁻¹ = 1l, doncχ(f).χ(f⁻¹) =χ(1l) = 1, et ceci montre queχ(f) est inversible dans C, c’est-`a-dire non nul.

4) Puisqueχ est C-lin´eaire, son noyau est un sousC-espace vectoriel de C¹( ¯U). De plus, si f ∈ J = ker(χ) et g ∈ C¹( ¯U), on a χ(f) = 0, donc χ(f g) = χ(f).χ(g) = 0, c’est-`a-dire f g∈J.

Soient y ∈ U¯ et f_y ∈ J telle que f_y(y) 6= 0. Puisque f_y est continue, l’ensemble Wy :={x:fy(x)6= 0}image r´eciproque parfy de l’ouvertC\{0}deCest ouvert et contient y, donc est un voisinage dey. Alors les ensembles (W_y)_y∈U¯ forment un recouvrement ouvert du compact ¯U. Et ce recouvrement poss`ede un sous-recouvrement fini, d’o`u l’existence de (y₁, y₂, . . . , y_n) tels que ¯U = Sn

k=1W_yk. Puisque chaque f_yk appartient `a J, il en est de mˆeme de fyk.f_y^∗_k, donc aussi de la somme g :=Pn

k=1fyk.f_y^∗_k. Pour tout x ∈U¯ il existe un k tel que x∈W_yk, c’est-`a-dire f_yk(x)6= 0, donc

g(x) = Xn j=1

ØØf_yj(x)Øز ≥ |f_yk(x)|² >0

ce qui montre que g(x) 6= 0. Il r´esulte alors de ce qui pr´ec`ede que g⁻¹ ∈ C¹( ¯U), donc que 1l =g.g⁻¹ ∈ J et que 1 = χ(1l) = 0. Cette contradiction montre l’existence d’au moins un pointa ∈U¯ tel que f(a) = 0 pour tout f ∈J.

Si b est un point tel que (f ∈J =⇒χ(f) = 0), et si f ∈C¹( ¯U), on a χ(f−χ(f).1l) =χ(f)−χ(f)χ(1l) = χ(f)−χ(f) = 0

3

donc h := f − χ(f).1l ∈ J et 0 = h(b) = f(b) − χ(f).1l(b) = f(b) − χ(f), c’est-`a-dire χ(f) =f(b). Il existe donc un point a tel que χ(f) =f(a) pour toute f ∈C¹( ¯U).

Si a = (a1, a2, . . . , an) et b = (b1, b2, . . . , bn) sont deux points distincts de ¯U, il existe un i tel que a_i 6= b_i, et la fonction lin´eaire h : (x₁, x₂, . . . , x_n) 7→ x_i v´erifie h ∈ C¹( ¯U) et h(a) 6= h(b), donc h(a) 6= χ(h) ou h(b) 6= χ(h). Il existe donc au plus un point a de ¯U tel que χ(f) =f(a) pour toute f ∈C¹( ¯U).

On en conclut l’existence et l’unicit´e de a.

5) L’ensemble J_a,V est clairement un sous C-espace vectoriel de C¹( ¯U). Si la suite (h_m) de fonctions de Ja,V converge dans C¹( ¯U) vers une fonction h, la suite hm converge uniform´ement versh sur ¯U. Et puisqueh_m(a) = 0, on obtient h(a) = 0 `a la limite.

De mˆeme les diff´erentielles h⁰_m convergent uniform´ement sur ¯U vers h⁰. L’espace de dimension finie V est ferm´e, et puisque h⁰_m(a) ∈ V, on obtient h⁰(a) ∈ V `a la limite.

Ceci montre que J est ferm´e dans C¹( ¯U). Enfin, si f ∈ Ja,V et g ∈ C¹( ¯U), on a f g(a) =f(a).g(a) = 0 et (f g)⁰(a) =f(a)g⁰(a)+g(a)f⁰(a) =g(a).f⁰(a)∈V. Doncf g ∈J_a,V, ce qui ach`eve de montrer que Ja,V est un id´eal.

6) Si y /∈ B(a, ε), on a y 6= a et il existe une fonction f_y ∈ J telle que f_y(y) 6= 0. On voit comme plus haut que l’ensemble W_y := {x ∈ U¯ : f_y(x) 6= 0} est un voisinage ouvert de y et que les W_y forment un recouvrement ouvert du compact ¯U \B(a, ε). On peut donc trouver (y1, y2, . . . , ym) tels que ¯U \B(a, ε)⊂Sm

i=1Wyi, ce qui signifie que tout point x de U¯ appartient soit `a B(a, ε) auquel cas ϕ(x)>0, soit `a l’un des W_yi, auquel cas f_yi(x)6= 0.

On conclut comme plus haut que la fonctiong :=ϕ+Pm

i=1fyi.f_y^∗_i est strictement positive en tout point de ¯U, et que g⁻¹ ∈C¹( ¯U). Alors, puisque h.ϕ= 0,

h =h.g.g⁻¹ = (h.ϕ).g⁻¹+h.g⁻¹X

i

fyif_y^∗_i =X

i

fyi.(h.g⁻¹.f_y^∗_i)

et puisque f_yi ∈J, on a f_yi.(h.g⁻¹.f_y^∗_i)∈J, donc h ∈J.

7) Soit h ∈ C¹( ¯U) telle que h(a) = 0 et h⁰(a) = 0. Si m est un entier et si ρ est une fonction de classe C¹ sur R, nulle sur [−1,1] et ´egale `a 1 sur [2,+1[, la fonction ρm :x7→ ρ(mkx−ak) est de classe C<sup>1</sup> sur R<sup>n</sup>, born´ee, et v´erifie kρ<sup>0</sup><sub>m</sub>(x)k ≤Cm pour une certaine constante ne d´ependant que de ρ. Alors la fonction h<sub>m</sub> : x 7→ h(x).ρ<sub>m</sub>(x) est de classe C<sup>1</sup> et nulle au voisinage de a, donc appartient `a J, et, puisque h(x) = o(x−a) au voisinage dea, on peut v´erifier quekh−h_mk →0 lorsquem→ 1. On en conclut queh∈J puisque J est ferm´e dans C¹( ¯U).

L’application f 7→f⁰(a) est C-lin´eaire de C¹( ¯U) dans L_R(Rⁿ,C)'Cⁿ. L’image V du sous-espace vectoriel J par cette application est donc un sous C-espace vectoriel de Cⁿ. Et par d´efinition deJ_a,V :={f ∈C¹( ¯U) :f(a) = 0 et f⁰(a)∈V}, on aJ ⊂J_a,V.

Inversement, si f ∈J_a,V, on af⁰(a)∈V ={g⁰(a) :g∈J}. Il existe doncg∈J telle que g⁰(a) =f⁰(a). Par hypoth`ese surJ, on sait queg(a) = 0. Et puisquef ∈Ja,V, on af(a) = 0.

La fonction h := f −g v´erifie donc h(a) = f(a)−g(a) = 0, et h⁰(a) = f⁰(a)−g⁰(a) = 0.

Il r´esulte de la propri´et´e admise que h est limite d’une suite de fonctions (hm) nulles au voisinage de a donc appartenant `a J. Et puisque J est ferm´e dans C<sup>1</sup>( ¯U), h appartient `a J. Alors f = g+h est somme de deux ´el´ements de J, donc est dans J. Il en r´esulte que J_a,V ⊂J ⊂J_a,V, c’est-`a-dire J =J_a,V.

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