[b Parcours différenciés : Fonctions dérivées applications c\
Objectif 1 : savoir faire les exercices ], tenter les exercices ]].
Objectif 2 : savoir faire les exercices ], les exercices ]], tenter les exercices ]]].
Objectif 3 : savoir faire les exercices ](si possible mentalement), les exercices ]]et les exercices ]]]et prendre des initiatives.
savoir faire :travail autonome avec des stratégie d’auto-correction.
tenter :travail de recherche, précision (par écrit) des pistes engagées, réflexion sur les résultats éventuellement établis.
prendre des initiatives :étendre l’exercice à une réflexion personnelle pour prolonger le travail réalisé (recherches doc- umentaires, se poser des questions et y répondre, trouver d’autres solutions pour une même question).
Tous les exercices peuvent se faire sans calculatrice, entraînez vous à calculer sans calculatrice.
Pour chaque exercice, vérifier votre travail sur GeoGebra (calcul des fonctions dérivées, calcul formel des taux d’accroissement développement, factorisation) et faites des graphiques pur vérifier vos résultats.
I. Étude de fonctions simples
tExercice 1 ]
Soit la fonctionf définie par
f : R → R
x 7→ 3x2−2x+1
Étudier les variations de la fonctionf à partir de l’étude du signe de la fonction dérivée f′def. tExercice 2 ]
Soit la fonctionf définie par
f : R → R
x 7→ x3−4x2+5x−1 Étudier les variations de la fonctionf.
tExercice 3 ]
Soit la fonctionf définie par
f : ]− ∞; 3[∪]3 ; + ∞[ → R x 7→ −3x+5
2x−6 Étudier les variations de la fonctionf.
Soit la fonctionf définie par
f : ]− ∞; 0,25[∪]0,25 ; + ∞[ → R
x 7→ x+1+ 1 4x−1 Étudier les variations de la fonctionf.
tExercice 7 ]
Soit la fonctionf définie par
f : [−2 ; + ∞[ → R x 7→ p
7x+14
1. Est-ce que la fonctionf est dérivable en−2 ? Justifier par le taux d’accroissement en−2.
2. Étudier les variations de la fonctionf. tExercice 8 ]
Soit la fonctionf définie par
f : [1 ; + ∞[ → R x 7→ x+p
3x−3
1. Est-ce que la fonctionf est dérivable en 1 ? Justifier par le taux d’accroissement en 1.
2. Étudier les variations de la fonctionf. tExercice 9 ]
Soit la fonctionf définie par
f : [−2 ; + ∞[ → R
x 7→ xp0,5x+1
1. Est-ce que la fonctionf est dérivable en−2 ? Justifier par le taux d’accroissement en−2.
2. Étudier les variations de la fonctionf.
Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimoges dmath-adore.frd 2/9
[b Correction c\
tExercice 1 ]
Soit la fonctionf définie par
f : R → R
x 7→ 3x2−2x+1
f est dérivable surRcar elle est la somme de fonctions dérivables surR, la dérivée d’une somme est la somme des dérivées, on peut calculerf′(x) directement : f′(x)=6x−2
f′(x)>0⇐⇒6x−2>0⇐⇒x>1 3. f′(x)>0⇐⇒6x−2=0⇐⇒x=1
3. f
µ1 3
¶
=2 3
x f′
f
−∞ 1
3 +∞
− 0 +
2 3 2 3
1 2 3 4 5
−1 1
−1
Cf Cf′
Soit la fonctionf définie par
f : R → R
x 7→ x3−4x2+5x−1
f est dérivable surRcar elle est la somme de fonctions dérivables surR, la dérivée d’une somme est la somme des dérivées, on peut calculerf′(x) directement : f′(x)=3x2−8x+5
f′ est une fonction polynôme du second degré, 1 est une racine évidente, ainsi pour tout réelx, f′(x)= 3(x−1)
µ x−5
3
¶ .
le coefficient du terme 3x2def′(x) est 3, il est positif.
Par la règle des signes on a le tableau de signe et le tableau de variations de la fonctionf : f(1)=1 etf
µ5 3
¶
=23 27.
x f′
f
−∞ 1 5
3 +∞
+ 0 − 0 +
11 23
27 23 27
1 2 3 4 5
−1
1 2
−1
Cf Cf′
Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimoges dmath-adore.frd 2/9
tExercice 3 ]
Soit la fonctionf définie par
f : ]− ∞; 3[∪]3 ; + ∞[ → R x 7→ −3x+5
2x−6
f est dérivable sur ]−∞; 3[∪]3 ; +∞[=R\{3} car elle est le quotient de deux fonctions dérivables surR\{3} : u(x)= −3x+5 etv(x)=2x−6
u′(x)= −3 etv′(x)=2.
f =u
v etf′=u′v−uv′ v2 .
f′(x)=−3(2x−6)−(−3x+5)×2
(2x−6)2 = 8
(2x−6)2 = 8
4(x−3)2 = 2 (x−3)2 Pour tout réelxdifférent de 3, (x−3)2>0 et 2>0 doncf′(x)>0.
x f′
f
−∞ 3 +∞
+ +
2 4
−2
−4
−6
1 2 3 4 5
−1
Cf
Cf′
Soit la fonctionf définie par
f : ]− ∞; 0[∪]0 ; + ∞[ → R x 7→ 2x−3
x
f est dérivable surR\ {0} car elle est la somme de deux fonctions dérivables sur R\ {0}, la dérivée d’une somme est le somme des dérivées, on peut calculerf′(x) directement :
f′(x)=2−3× µ−1
x2
¶
=2+ 3 x2.
Pour tout réelxdeR\ {0} , 2>0 etx2>0 soit 3
x2 >0, doncf′(x)>0.
x f′
f
−∞ 0 +∞
+ +
2 4
−2
−4
−6
1 2
−1
−2
−3
Cf Cf′
Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimoges dmath-adore.frd 4/9
tExercice 5 ]
Soit la fonctionf définie par
f : ]− ∞; 0[∪]0 ; + ∞[ → R x 7→ 2x+3
x
f est dérivable surR\{0} car elle est la somme de deux fonctions dérivables surR\{0}, la dérivée d’une somme est le somme des dérivées, on peut calculerf′(x) directement :
f′(x)=2+3× µ−1
x2
¶
=2− 3
x2=2x2−3 x2 =
¡xp 2−p
3¢ ¡ xp
2+p 3¢
x2 .
Pour tout réelxdeR\ {0},x2>0 ainsif′(x) est du signe de son numérateur 2x2−3.
Le numérateur def′(x) est un polynôme du second degré dont les racines sont les réels r3
2= p6
2 et− r3
2=
− p6
2 .
Le coefficient du terme 2x2du polynôme est positif, on en déduite le signe de f′(x) et les variations def.
x f′
f
−∞ −
p6
2 0
p6
2 +∞
+ 0 − − 0 +
2p 6 2p
6
−2p
−2p6 6
2 4 6
−2
−4
−6
−8
1 2
−1
−2
−3
Cf
Cf′
Soit la fonctionf définie par
f : ]− ∞; 0,25[∪]0,25 ; + ∞[ → R
x 7→ x+1+ 1 4x−1 La fonctionf est dérivable surR\ {0,25} par somme de deux dérivables surR\ {0,25}.
u(x)=x+1 ;u′(x)=1 etv(x)= 1 4x−1 vest une fonction de la forme 1
w avecw(x)=4x−1 ;w′(x)=4.
v′=−w
w2 ;v′(x)= −4 (4x−1)2. f =u+vetf′=u′+v′. f′(x)=1− 4
(4x−1)2=(4x−1)2−4
(4x−1)2 =(4x−1−2)(4x−1+2)
(4x−1)2 =(4x−3)(4x+1) (4x−1)2 .
Pour tout réelxdeR\ {0,25}, (4x−1)2>0 doncf′(x) est du signe du numérateur qui est un polynôme du second degré de racines3
4et−1 4 .
Le terme (4x)2du polynôme du numérateur a pour coefficient 16, il est positif.
x f′
f
−∞ −1
4
1 4
3
4 +∞
+ 0 − − 0 +
1 4 1
4 9
4 9 4
2 4
−2
−4
−6
1 2
−1
−2
−3
Cf
Cf′
Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimoges dmath-adore.frd 6/9
tExercice 7 ]
Soit la fonctionf définie par
f : [−2 ; + ∞[ → R x 7→ p
7x+14 1. Soit un réelh>0.
τ(h)= f(−2+h)−f(−2)
h =
p7(−2+h)+14−0
h =
p7h h =
p7 ph.
hlim→0 h>0
= p7 ph = +∞.
La limite n’est pas finie, la fonction f n’est pas dérivable en−2.
2. f est la composée de deux fonctions : f(x)=g(7x+14) avecg(x)=px.
La fonctiongest dérivable sur ]0 ; + ∞[ ainsi la fonctionf est dérivable sur ]−2 ; + ∞[.
f′(x)=7g′(7x+14)=7× 1 2p
7x+14= 7 7x+14. Pour tout réelxde ]−2 ; + ∞[,f′(x)>0.
x f′
f
−2 +∞
+
00
2 4
1 2
−1
−2
−3
Cf
Cf′
Soit la fonctionf définie par
f : [1 ; + ∞[ → R x 7→ x+p
3x−3 1. Soit un réelh>0.τ(h)= f(1+h)−f(1)
h =1+h+p
3(1+h)−3−1
h =h+p
3h h =1+
p3 ph.
hlim→0 h>0
1+ p3 ph = +∞.
La limite n’est pas finie, la fonction f n’est pas dérivable en 1.
2. f est la somme de deux fonctions dérivable sur ]1 ; + ∞[, elle dérivable sur cet intervalle. Pour la fonction qui axassociep
3x−3 elle est composée :p
3x−3=g(3x−3) avecg(x)=p x.
(p
3x−3)′= 3 2p
3x−3. f′(x)=1+ 3
2p 3x−3.
Pour tout réelxde ]1 ; + ∞[, 1>0 etp
3x−3>0 soit 3 2p
3x−3>0 doncf′(x)>0.
x f′
f
1 +∞
+
00
2 4
1 2
−1
Cf
Cf′
Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimoges dmath-adore.frd 8/9
tExercice 9 ]
Soit la fonctionf définie par
f : [−2 ; + ∞[ → R x 7→ xp
0,5x+1
1. Soit un réelh>0.τ(h)= f(−2+h)−f(−2)
h =(−2+h)p
(0,5(−2+h)+1−0
h =(−2+h)p
0,5h
h =p
0,5× (−2+h).
hlim→0 h>0
p0,5×(−2+h)=p
0,5×(−2)= −p 2.
La fonctionf est dérivable en−2 etf′(−2)= −p 2.
2. Étudier les variations de la fonctionf. f est dérivable en−2 d’après la question 1) et elle dérivable sur ]−2 ; + ∞[ car elle est le produit de deux fonctions dérivables sur ]−2 ; + ∞[.
u(x)=x;u′(x)=1 etv(x)=p
0,5x+1 ;v′(x)= 0,5 2p
0,5x+1= 1 4p
0,5x+1. f =uvetf′=u′v+uv′.
f′(x)=p0,5x+1+x× 1 4p
0,5x+1=4(0,5x+1)+x 4p
0,5x+1 = 3x+4 4p
0,5x+1. Pour tout réelxde l’intervalle ]−2 ; + ∞[,p
0,5x+1>0 doncf′(x) est du signe de son numérateur 3x+4.
3x+4>0⇐⇒x>−4
3 et 3x+4=0⇐⇒x=−4 3 .
x f′ f
−2 −4
3 +∞
− 0 +
00
−4p 3 9
−4p 3 9
1 2
−1
−2
−1 1
−2
−3
Cf
Cf′
