Fonctions dérivées et applications

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Fonctions dérivées et applications

Exercice 1

1. Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I . Montrer que la dérivée de u+v est la somme des dérivées u'+v' .

2. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et λ un réel. Montrer que la dérivée de λu sur I est λu'.

3. Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I . Montrer que la dérivée de uv sur I est u' v+uv' .

Exercice 2

Dans chacun des cas, donner l'ensemble de définition de f , sa dérivée f ' et l'ensemble de dérivabilité de f .

1. f (x)=x²+

√

x ; 2. f (x)=−4

x ; 3. f (x)=3x²−4x+1 ; 4. f (_x)_=x²₊₁ ; 5. f (_x)_=x²+

√

x+4 ; 6. f (_x)=x³−x ;

7. f (x)=−3

√

x ; 8. f (x)=−2

x ; 9. f (_x)₌₂_x²₊₃ ; 10. f (_x)₌₃_x⁵+x² ; 11. f (x)=x⁴+3x²−5x

4 ; 12. f (x)=1

2 x²−1 2 x ; 13. f (x)=x²

4 +2x+5 ; 14. f (_x)_=−x³₊

√

2x²+4x ; 15. f (x)=4x−1 3 ; 16. f (x)=x⁵−2x³+9x²+4 ; 17. f (x)=−2x⁷+5x⁴+5x²−8 ; 18. f (x)=1

x+x³ ; 19. f (x)=sin(x)−5x² ; 20. f (x)=sin(5x+6)−

√

x ; 21. f (x)=x²−cos(x). Exercice 3

1. f (x)=4x(x+5) ; 2. f (_x)_=x²(₂_x₊₄) ; 3. f (x)=x

√

x ; 4. f (_x)_=x³(x−

√

x) ; 5. f (x)=(x²+4)(x⁷−4x+3) ; 6. f (x)=1

2 x²(x−1) ; 7. f (x)=(x+1)(x−2)(x²−6) ; 8. f (x)=(2x+7)² ; 9. f (x)=4

3 x³(1+x). Exercice 4

1. f (x)=2x+1

x−3 ; 2. f (x)= 2x²

x+3 ; 3. f (x)=3x⁴−2 x²+7 ; 4. f (x)=2x²+5x+1

x²+1 ; 5. f (x)=2

√

^x+3

x ; 6. f (x)=2x+3

x−2 ; 7. f (x)=2x−7

x² ; 8. f (x)= x+1

x²−3 ; 9. f (x)=x+2

√

^x ^.

(2)

Exercice 5

1. f (x)= 1

x−3 ; 2. f (x)= 1

x²−1 ; 3. f (x)= 2

x+4 ; 4. f (x)= −5

x²+1 ; 5. f (x)= 3

2x²−6x+4 ; 6. f (x)= 1

√

x ; 7. f (x)= 1

cos(x) ; 8. f (x)=− 5

sin(x) ; 9. f (x)= 1 cos

(

^x2

)

^.

Exercice 6

Dans chacun des cas, donner l'ensemble de définition de f , sa dérivée f ' et l'ensemble de dérivabilité de f en utilisant la dérivée d'une composée de fonctions.

1. f (x)=

√

³^{x−1 ;} ^2. ^f ⁽^x⁾⁼⁽⁻⁹^x+1)²^; ^3. ^f ⁽^x⁾⁼

√

¹⁰⁻^x^;

4. f (x)=− 3

x+1 ; 5. f (x)= 1

(2x+7)² ; 6. f (x)=2

(

³^x−₅²

)

⁷^.

Exercice 7

1. f (x)=2x²−5x+2 ; 2. f (x)=2x+3

x−2 ; 3. f (x)=(2−x)

√

x ; 4. f (x)= 1

x²+2 ; 5. f (x)=(2x+1)² ; 6. f (x)=x²(x+3) ; 7. f (x)= 1

x² ; 8. f (x)=x⁴

4 −3x²+ x

5+3 ; 9. f (x)=x³

√

x ; 10. f (x)=2− x

x+6 ; 11. f (x)=− 3

2x+3 ; 12. f (x)= x+1

x²−3 ; 13. f (x)=x³sin(x) ; 14. f (x)= 2x

cos(2x) ; 15. f (x)=sin(x) cos(x) . Exercice 8

1. Déterminer le sommet S de la parabole P d’équation y=2x²−4x+3 . 2. Déterminer la tangente à P en S .

3. Ce résultat est-il généralisable à toute parabole d’équation y=ax²+bx+c (a, b et c des réels et a≠0 ) ?

Exercice 9

Soit f la fonction définie par f (x)=x²−3x+6

x−1 et C_f sa courbe représentative.

1. Préciser l’ensemble de définition de f .

2. Donner les coordonnées du point A où C_f coupe l’axe des ordonnées.

3. Déterminer la tangente T_A en A à la courbe C_f . 4. Étudier la position de C par rapport à T .

(3)

Exercice 10

Soit la fonction f définie par f (_x)_=x³₋₂_x.

1. Trouver une équation de la tangente T à la courbe C_f au point d’abscisse 1.

2. Montrer que x³−3x+2=(x−1)(x²+x−2) pour tout x réel.

3. En déduire la position de C_f par rapport à T . Exercice 11

1. Soit f une fonction définie et dérivable sur ℝ, de la forme f :x→ax³+bx²+cx. a. Exprimer f '(x) en fonction de a, b et c .

b. Sachant que la fonction dérivée f ' est définie pour tout réel x par f '(x)=6x²−5x+1 , en déduire les réels a, b et c.

2. Soit g une fonction définie et dérivable sur ℝ, de la forme g:x→ax²+bx+c. a. Exprimer f '(x) en fonction d a, b et c .

b. Sachant que la fonction dérivée g' est définie pour tout réel x par g'(x)=−4x+1 2 , en déduire les réels a et b.

c. Sachant que que la courbe représentative de g passe par le point de coordonnées (2;−9), en déduire la valeur de c.

Exercice 12

Soit u(x)=

√

x et v(x)=−

√

x. On définit la fonction f sur [0;+∞[ par f (x)=u(x)+v(x). 1. La fonction u est-elle dérivable en 0 ? Et la fonction v ? Et la fonction f ?

2. On pose g(x)=t(x)+w(x) sur un intervalle I . Soit a un réel de l’intervalle I . Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

A : Si les fonctions t et w sont dérivables en a , alors g est dérivable en a. B : Si g est dérivable en a , alors t et w sont dérivables en a.

Exercice 13

Dans chacun des cas, donner le signe de la fonction dérivée f ' . 1. f (x)=2x−1 ; 2. g(_x)₌_x² ; 3. h(x)=1

x ; 4. l(x)=2 sin(x). Exercice 14

Soit la fonction f définie par f (x)=1

x−2x+3 . 1. Donner l'ensemble de définition de f .

2. Calculer la dérivée de f . 3. Étudier le signe de f ' .

4. Déduisez-en le sens de variations de f . Exercice 15

Soit la fonction g définie par g(x)=x²−5x+1 . 1. Donner l'ensemble de définition de g .

2. Calculer la dérivée de g. 3. Étudier le signe de g' .

4. Déduisez-en le sens de variations de g.

(4)

Exercice 16

Soit la fonction h définie par h(x)=1 x+x. 1. Donner l'ensemble de définition de h. 2. Calculer la dérivée de h.

3. Étudier le signe de h' .

4. Déduisez-en le sens de variations de h. Exercice 17

Soit la fonction t définie par t(_x)₌_x³₊₂_x²₋₄_x+7. 1. Donner l'ensemble de définition de t .

2. Calculer la dérivée de t. 3. Étudier le signe de t'.

4. Déduisez-en le sens de variations de t. Exercice 18

Étudier les variations des fonctions suivantes définies sur ℝ.

1. f (x)=x²−2x−1 ; 2. f (x)=3x²+2x+1 ;

3. f (x)=x³+3x ; 4. f (x)=x³+3x² ;

5. f (x)=x⁴+5 ; 6. f (x)=x⁵+3x³. Exercice 19

Dans chacun des cas, donner l'ensemble de définition, la dérivée et l'ensemble de dérivabilité de la fonction f . Vous donnerez ensuite ses variations.

1. f (x)=x³−3x ; 2. f (x)=x³−3x² ;

3. f (_x)_=x⁴₋₈_x² ; 4. f (_x)_=−x³₊₂_x²+4x ; 5. f (x)=4x+1

x ; 6. f (x)=(x−1)

√

^x^;

7. f (x)=2−3x

x+2 ; 8. f (x)=5x+3

2x−1 ; 9. f (x)=x²+5x+5

x²+x+1 ; 10. f (x)=x²−3x+1

x²+1 ; 11. f (x)=1

x+ 1

1−x ; 12. f (x)=

(

^x+3x−1

)

²^;

13. f (x)=1−x

x² ; 14. f (x)=x−3

x−1 ; 15. f (x)=x+2+ 1

2x+4 ; 16. f (x)=(x²−1)

√

^x ^;

17. f (x)=− 2

3x+4 ; 18. f (x)=

√

^x²⁻²^{x+3 ;}

19. f (x)=2

√

^{x+3 ;} ^20. ^f ⁽^x⁾⁼

√

x

x+1 x

;

21. f (x)=cos(x) ; 22. f (x)=sin(x) ; 23. f (x)=−5 cos(4x−7) ; 24. f (_x)=x²sin(₃_x).

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Exercice 20

Soit la fonction f définie sur ℝ par f (_x)₌_x³₋₃_x+₃. Déterminer le maximum et le minimum de f sur ℝ.

Exercice 21

Soit la fonction g définie sur [−7; 7] par g(x)= x 1+x² . Justifier que pour tout x∈[−7 ;7], −1

2⩽g(x)⩽1 2 . Exercice 22

Démontrer que pour tout réel x⩾0 , on a x³⩾3x−2 . Exercice 23

La fonction f est définie pour tout réel x par f (x)=x³−6x²+9x+1 . 1. Calculer la dérivée de f .

2. Donner les variations de f .

3. La fonction f possède-t-elle des extrema locaux ? 4. La fonction f possède-t-elle des extrema globaux ? Exercice 24

Mêmes consignes que l'exercice précédent avec la fonction g définie par g(x)=(x−1)² x−2 . Exercice 25

On considère les fonctions f et g définie sur ℝ^* par f (x)=x³+2x²+1

x² et g(x)=x+2 . Étudier les positions relatives des courbes représentatives de f et g.

Exercice 26

Une entreprise fabrique des chaises en bois, au maximum 10 milliers par mois. Le coût de

fabrication, en milliers d’euros, de x milliers de chaises est estimé par : C(_x)₌₅_x²₊₁₀_x+100. Chaque chaise est vendue 70€.

1. Vérifier que le « bénéfice algébrique », en milliers d’euros, réalisé par la fabrication et la vente de x milliers de chaises est donné par : B(x)=−5x²+60x−100 .

2. Étudier les variations de la fonction B sur l'intervalle [0 ;10].

3. En déduire la quantité de chaises à fabriquer et à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.

Préciser la valeur du bénéfice maximum.

Exercice 27

On note f la fonction valeur absolue définie sur ℝ. 1. Démontrer que pour tout réel x, on a ∣_x∣=

√

^x²^.

2. Étudier les variations de la fonction f sur ℝ.

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Exercice 28

Sur la figure ci-contre, ABCD est un trapèze d’aire 12cm² tel que AB=4cm. On note

DC=x en cm et f (x) la hauteur AH du trapèze (en cm).

1. Exprimer f (x) en fonction de x .

2. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ;8].

Exercice 29

Une balle est propulsée verticalement à partir du sol. Elle est animée d’un mouvement rectiligne dont la loi horaire est donnée approximativement par d(t)=−4 , 9t²+bt (b étant un réel) jusqu’à ce quelle retombe sur le sol (t en s et d(t) en m).

1. Au bout de 1, 5s après son lancement, la balle atteint sa hauteur maximale et sa vitesse instantanée est nulle. Puis elle redescend. Calculer b.

2. Calculer la vitesse initiale de la balle (c’est-à-dire à l’instant t=0 ).

3. Combien de temps dure la descente ? Exercice 30

Un stade olympique a la forme d’un rectangle avec deux demi-cercles aux extrémités. La longueur de la piste intérieure est imposée et mesure 400m.

On note L et l les dimensions du rectangle.

1. Montrer que L=200−π 2 l.

2. Quelles dimensions doit-on donner au stade pour que sa surface soit maximale ? Exercice 31

On considère la fonction f définie sur ℝ par :

f (x)=

{

^−x2²x−2 si^{+1 si} ^x<1x⩾1 1. Représenter la courbe de cette fonction.

2. Justifier que la fonction f est dérivable sur ]−∞;1[ et sur ]1;+∞[. 3. Étudions la dérivabilité de la fonction f en 1.

a. Calculer f (1).

b. Pour h>0 , exprimer f (1+h) en fonction de h. En déduire lim

h→0 h>0

f (1+h)−f (1)

h .

c. Pour h<0 , exprimer f (1+h) en fonction de h. En déduire lim

h→0 h<0

f (1+h)−f (1)

h .

d. Que peut-on en conclure ?

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QCM

Pour chaque question, indiquer la ou les bonne(s) réponse(s).

1. Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x)=x³ 3 −x²

2 +x−1 . Alors f est dérivable sur ℝ et : a. f '(x)=x²−x b. f '(x)=x²+x+1 c. f '(x)=x²−x+1 d. f '(x)=x²−x−1 2. Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x)=x²+x+1 . Alors f est dérivable sur ℝ et :

a. f '(x)=2x+1 b. f '(−1)=−1 c. f '(x)=2x d. f '(0)=0 3. Soit la fonction h définie sur ℝ par h(x)=f (4x+2). Alors h est dérivable sur ℝ et :

a. h'(x)=f '(4x+2) b. h'(x)=−4f '(4x+2) c. f '(x)=4f '(4x+2) d. h'(x)=4f '(x) 4. Soit la fonction f définie sur I=]0;+∞[ par f (x)=1

x (

√

^x−1⁾^. ^f est dérivable sur I et : a. f '(x)=− 1

2x²

√

x b. f '(x)=−

√

x

2x³ c. f '(x)=2−

√

x

2x² d. f '(x)= 1

x²−

√

x 2x²

5. Soit les fonctions f et g définies respectivement sur ℝ⁺ et ]0 ;+∞[ par f (x)=

√

x et g(x)= 1

f (x) . Alors g est dérivable sur ]0 ;+∞[ et : a. g'= 1

f ' b. g'=− f '

f² c. g'(x)=− 1

2x

√

x d. g'(x)=−

√

x 2x² 6. Soit f une fonction dérivable sur ℝ. Si f est strictement croissante sur ℝ, alors :

a. f '(x)⩽0 b. f (x)>0 c. f '(4)⩾0 d. f (4)⩾f (−5) 7. Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x)=x³−4 ,8x−3. Alors :

a. f est strictement croissante sur ℝ b. f admet un seul extremum local sur ℝ c. 3 , 2 est un minimum local de f sur ℝ d. f admet deux extremums locaux sur ℝ 8. Soit la fonction f définie sur [0 ;+∞[ par f (x)=x−4

√

^x^. ^f est strictement croissante sur :

a. [0 ;+∞[ b. [5 ;+∞[ c. [4;+∞[ d. [0 ; 4]

9. Soit g la fonction définie sur I=]0;+∞[ par g(x)=x+1

x . Le minimum de g sur I est : a. m, tel que pour tout x∈I , g(x)>m b. 2

c. m, tel que pour tout x∈I , g(x)⩾m d. g(1)

10. Soit f la fonction définie sur I=]−∞;2[∪]2;+∞[ par f (x)=4−5x

x−2 . Alors :

a. f est strictement croissante sur ℝ b. f est strictement croissante sur ]−∞; 2[

c. f est strictement croissante sur I d. 6 est le maximum de f sur ]−∞; 2[

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Problèmes

Problème 1 ...Circulation...

Sur une des voies d’une autoroute, des véhicules de longueur 4m se suivent, tous à la même vitesse v , sans changer de ﬁle. L’objet de ce problème est de déterminer le nombre maximal de véhicules qui peuvent circuler sur cette voie.

Pour être dans de bonnes conditions de sécurité, l’écart E entre les véhicules doit être supérieur ou égal à la somme de la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur (notée d_R) et de la distance de freinage (notée d_F).

1. a. On sait que la distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse, c’est-à-dire que d_F=αv² où α est un coefﬁcient qui dépend, entre autres, de la météo, de l’état des véhicules et de la nature de la chaussée. On admet que le temps de réaction du conducteur avant le début du

freinage est de 1 seconde et que le coefﬁcient α vaut 1200 avec v exprimée en km.h⁻¹ et d_F en m. Montrer que l’écart entre les véhicules, exprimé en mètres, doit être supérieur ou égal à

v

3 ,6+ v² 200 .

b. Montrer qu’en une heure la distance D , exprimée en mètres, parcourue par un véhicule est égale à 1000v.

c. Montrer que le nombre maximal de voitures qui se trouvent sur un morceau de voie long de D mètres est égal à 1000v

4+ v

3 , 6+0 ,005v² .

d. Étudier les variations de la fonction f déﬁnie sur l’intervalle [0 ;130] par : f (x)= 1000x

4+ x

3 , 6+0, 005x²

2. Comme indiqué plus haut, le coefﬁcient α dépend de la météo. Ainsi, par temps de pluie, le coefﬁcient α est doublé. Montrer que par temps sec, le nombre maximal de véhicules pouvant circuler sur une voie n’est pas le double de celui par temps de pluie.

Remarque

La fonction étudiée ici est un cas simple de modèle pour étudier la « congestion routière ».

Problème 2 ...Problème grec...

Reprenant certains problèmes résolus par les Grecs, Pierre de Fermat cherchait vers 1738 où placer un point C sur un segment [AB] afin que le produit AC²×BC soit maximal.

On appelle a la longueur du segment [AB] et x la longueur du segment [AC]. Avec les notations actuelles, le problème de Fermat revient à chercher x tel que x²(_a−_x) soit maximal.

Soit f la fonction telle que f (x)=x²(a−x).

Étudier le sens de variation de f et en déduire la position du point C sur le segment [AB]

répondant au problème.