MVA101 Analyse et Calcul Matriciel 2014-2015

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CONTR ˆ OLE du 11 F´ evrier 2015 Dur´ ee : 3h

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Il est demand´ e de bien justifier ses r´ eponses. Les exercices suivants sont ind´ ependants. V´ erifiez que vous disposez bien de la totalit´ e des pages du sujet en d´ ebut d’´ epreuve et signalez tout probl` eme de reprographie le cas ´ ech´ eant.

Exercice 1 : S´ eries enti` eres.

1. On consid` ere la s´ erie enti` ere :

∞

X

n=3

x ⁿ (n − 2) (a) D´ eterminer son rayon de convergence R ₁ ;

(b) ´ etudier la convergence de la s´ erie en x = R ₁ et x = −R ₁ ; (c) d´ eterminer sa somme sur ] − R ₁ , R ₁ [.

2. On consid` ere la s´ erie enti` ere :

∞

X

n=3

x ⁿ (n + 1) (a) D´ eterminer son rayon de convergence R ₂ ; (b) d´ eterminer sa somme sur ] − R ₂ , R ₂ [.

3. On consid` ere la s´ erie enti` ere :

∞

X

n=3

x ⁿ (n + 1)(n − 2) (a) D´ eterminer son rayon de convergence R 3 ;

(b) d´ eterminer sa somme sur ] − R 3 , R 3 [ ¹ 4. D´ eterminer la somme de la s´ erie num´ erique

∞

X

n=3

1

2 ⁿ (n + 1)(n − 2)

Exercice 2 : S´ erie de Fourier.

On consid` ere la fonction 2π-p´ eriodique d´ efinie par :

f (x) =



 

  1 + 2x

π pour x ∈] − π, 0], 1 − 2x

π pour x ∈]0, π].

1. D´ eterminer la s´ erie de Fourier trigonom´ etriques S(f) de f ; 2. ´ Etudier la convergence de cette s´ erie (simple et uniforme) ; 3. Calculer la valeur de la s´ erie num´ erique :

+∞

X

p=0

1 (2p + 1) ² .

1. suggestion : on peut utiliser les r´ esultat aux points 1.(c) et 2.(b)

Exercice 3 : Transform´ ee de Fourier.

On consid´ ere la fonction d´ efinie sur R par

f (x) = e ^−x

. On note que

f ⁰ (x) = −2xf (x). (1)

1. En appliquant la transform´ ee de Fourier ` a l’´ equation (1), montrer que la transform´ ee de Fourier de f est solution de l’´ equation diff´ erentielle

y ⁰ (u) = − u 2 y(u).

Sachant que R +∞

0 e ^−x

dx =

√ π

2 en d´ eduire que F(f )(u) = √

πe ⁻

2

4

, ∀u ∈ R .

2. Soit a > 0 et h ∈ L ¹ (R). Soit ˜ h(x) la fonction d´ efinie sur R par ˜ h(x) = h(ax). Montrer, ´ a l’aide de la d´ efinition de transform´ ee de Fourier, que

F(˜ h)(u) = 1

a F (h) u a

∀u ∈ R .

3. D´ eduire, des points 1. et 2., la transform´ ee de Fourier de

φ(x) = 1 2c √

π e ⁻

2 4c2

pour c > 0.

Exercice 4 : Transform´ ee de Laplace.

On consid´ ere l’´ equation diff´ erentielle

( y ⁰ (t) + y(t) = f (t), t > 0;

y(0) = 0, (2)

o` u f est la fonction d´ efinie par :

f (t) =



 

 

0 si t < 1 1 si 1 ≤ t < 2 0 si t ≥ 2.

1. Calculer la transform´ ee de Laplace de f et pr´ eciser l’abscisse de convergence.

2. Trouver ² la fonction dont la transform´ ee de Laplace est

p 7→ 1 p(p + 1) .

3. En d´ eduire, ` a l’aide du th´ eor` eme du retard, la fonction dont la transform´ ee de Laplace est

p 7→ 1

p(p + 1) e ^−p − 1

p(p + 1) e ^−2p .

4. En appliquant la transform´ ee de Laplace ` a l’´ equation diff´ erentielle (2), d´ eterminer l’´ equation alg´ ebrique v´ erifi´ ee par L(y)(p). D´ eterminer L(y)(p).

5. D´ eduire la solution y de l’´ equation diff´ erentielle (2), donner l’expression de y. La fonction y est-elle continue ?

2. Suggestion : faire une d´ ecomposition en ´ el´ ements simples