MVA101 - Analyse et Calcul Matriciel CNAM – Paris Page 1/2 23/01/2020 Feuille 14

MVA101 - Analyse et Calcul Matriciel CNAM – Paris

Page 1/2 23/01/2020

Feuille 14

Exercice 1.

Déterminer le sous-espace vectoriel de ℝ

, Vect(𝑢, 𝑣), engendré par les vecteurs 𝑢 et 𝑣, dans le cas suivant :

𝑢 = ( 1 2 3

) 𝑣 = (

−1 0 1

)

Exercice 2.

On considère l’application linéaire 𝑓 suivante : 𝑓: ℝ

→ ℝ

(

𝑥 𝑦 𝑧

) → ( −2𝑥 𝑦 + 3𝑧 ) 1) Déterminer le noyau de 𝑓.

2) L’application linéaire 𝑓 est-elle injective ? 3) Déterminer l’image de 𝑓.

4) L’application linéaire 𝑓 est-elle surjective ?

5) Constater que le théorème du rang est bien vérifié.

Exercice 3.

On considère l’application linéaire 𝑓 suivante : 𝑓: ℝ

[𝑋] → ℝ

[𝑋]

𝑃(𝑋) → 𝑃

(𝑋) Où 𝑃

(𝑋) est la dérivée troisième de 𝑃(𝑋).

1) Déterminer le noyau de 𝑓 et sa dimension.

2) A l’aide du théorème du rang, déterminer la dimension de l’image de 𝑓.

Rappel : ℝ

[𝑋] est l'ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré

inférieur ou égal à 𝑛.

MVA101 - Analyse et Calcul Matriciel CNAM – Paris

Page 2/2 Exercice 4.

On considère l’application linéaire 𝑓 suivante : 𝑓: ℝ

→ ℝ

(

𝑥 𝑦 𝑧 𝑡

) → (

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 2𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 + 4𝑡

−𝑥 − 2𝑧 − 𝑡 )

1) Ecrire la matrice représentative de 𝑓, dans les bases canoniques de ℝ

et ℝ

. 2) Calculer le noyau de 𝑓 et sa dimension.

3) Quelle est la dimension de l’image de 𝑓 ?