Comment faire sA054t02 Equation différentielle.doc.1
1101 ©pa2007
Résoudre une équation différentielle (*) de la forme y’ + ky = φ(x), où φ est une fonction donnée.
Méthode
1) Chercher une solution particulière f.
2) Montrer que g est solution de (*) si et seulement si g − f est solution de y’ + k y = 0 (**).
3) g = f + (g − f), donc les solutions de (*) sont de la forme « f + une solution de (**) ».
Exemple
Soit à résoudre l’équation différentielle (*) : y’ + 2y = 6x2.
1) Compte tenu de la forme de φ, on cherche une solution particulière f de la forme f(x) = ax2+ bx + c.
(ax2+ bx + c)’ + 2(ax2+ bx + c) = 6x2⇔ 2ax2+ (2a + 2b)x + (b + 2c) = 6x2. D’où, par le théorème d’identification des polynômes, a = 3, b = −3 et c =
2 3.
Il existe donc une solution f de la forme f(x) = 3x2− 3x + 2 3. 2) g est solution de (*) ⇔ g’ + 2g = 6x2
⇔ g’ + 2g = f ’ + 2f
⇔ (g − f)’ + 2(g − f) = 0
⇔ g − f est solution de y’ + 2 y = 0 (**).
3) Les solutions de (**) sont les fonctions de la forme Ce−2x, avec C ∈, donc les solutions de (*) sont les fonctions de la forme g(x) = 3x2− 3x +
2
3 + Ce−2x, avec C ∈.
