E.C. P3 D.S. - 2 heures
A RENDRE AVEC LA COPIE 1
Mercredi 17 janvier 2018
ON REDIGERA L’EXERCICE A A SUR UNE COPIE, ET L’EXERCICE B SUR UNE AUTRE.
SI UNE PARTIE N’EST PAS TRAITEE JOINDRE UNE COPIE BLANCHE A VOTRE NOM.
LE NON-RESPECT DE CES CONSIGNES ENTRAINERA UN RETRAIT DE 2 POINTS.
TOUTE APPLICATION NUMERIQUE EST PRECEDEE D’UN CALCUL LITTERAL ET EVENTUELLEMENT AFFECTEE D’UNE UNITE.
UNE CALCULATRICE NON PROGRAMMABLE, NON GRAPHIQUE EST AUTORISEE DOCUMENTS EN DERNIERES PAGES A VOTRE DISPOSITION POUR TOUT LE SUJET
COPIE I
Exercice A : Filtre résonnant (10 points)
On considère le montage ci-dessous alimenté par une tension sinusoïdale e(t) d’amplitude Emax et de pulsation ω.
FIGURE A.1
Dans tout l’exercice, on prendra Emax = 3 V et R = 1,2 kΩ.
Les amplificateurs opérationnels sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire. α est un coefficient réel strictement positif.
La fonction de transfert du filtre ci-dessus s’écrit sous la forme :
= =
− 3
1 + 13 1 + − 1
On ne demande pas de démontrer le résultat ci-dessus.
B.1a) Montrer que la fonction de transfert de cet opérateur peut se mettre sous la forme canonique suivante :
= =
avec x la pulsation réduite, A0 et Q deux réels positifs.
Déterminer les expressions de A0 , Qet x en fonction de R, C, α et ω.
B.1b) En déduire la nature du filtre ainsi que son ordre grâce aux diagrammes du formulaire reproduit en annexe pages 6&7.
B.2) Déterminer l’expression de |H| et de arg (H ) en fonction de A0, x et Q.
B.3) Montrer que |H| passe par un maximum pour une pulsation de résonance ωr, dont on déterminera l’expression en fonction des données du problème.
Déterminer le déphasage θr de la tension u(t) par rapport à la tension e(t) à la pulsation ωr . Déterminer l’expression de l’amplitude (Umax)r à la pulsation ωr en fonction de toutes ou parties des données : A0, Q, Emax., ω0 la pulsation propre de l’opérateur.
L’expérience a permis de mesurer l’amplitude Umax de la tension sinusoïdale u(t) pour différentes valeurs de la pulsation ω et d’en déduire le graphique de Umax en
GROUPE :
B.4a) Déterminer graphiquement la valeur de l’amplitude (Umax)r à la pulsation ωr. En déduire la valeur de α.
B.4b) En déduire la valeur numérique de Q.
B.4c) Déterminer graphiquement la valeur numérique de la fréquence de résonance fr. En déduire la valeur de la capacité du condensateur C.
B.5a) Donner la définition de la bande passante à -3 dB.
B.5b) Déterminer graphiquement la largeur ∆f de la bande passante.
La construction sera faite sur la Figure A.2 page 2 et rendue avec la copie 1. On précisera bien sur le graphique les fréquences délimitant la bande passante.
B.6) Donner l’expression analytique de la largeur ∆f de la bande passante à -3 dB en fonction de R, C et α.
B.7) On souhaite obtenir un filtre de même nature plus sélectif. Comment doit être modifiée la valeur de ∆f ? Comment doit alors être modifiée la valeur de α ? Les paramètres A0 et Q sont-ils alors modifiés ? Et si oui comment ?
B.8) Proposer au moins un argument qui justifie l’utilisation d’un tel filtre en comparaison d’un filtre RLC de même nature et de même ordre.
FIGURE A.2
Veuillez changer de copie
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A RENDRE AVEC LA COPIE 2
Mercredi 17 janvier 2018
COPIE II
Exercice B : Gestion d’un obstacle par un robot (10 points)
Tout au long de cet exercice vous pourrez vous référer aux diagrammes du formulaire reproduit en annexe pages 6&7.
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.
Lorsqu’il rencontre un obstacle, un robot mobile effectue la succession de tâches suivante : 1. détection de l’obstacle
2. mesure de la vitesse V du robot par rapport à l’obstacle
3. prise de décision : selon la valeur de V, le robot s’arrête ou ignore l’obstacle.
Dans cet exercice nous nous intéressons à la réalisation des tâches 1. et 2.
FIGURE B.1
A RENDRE AVEC LA COPIE 2
B.I Détection de l’obstacle par effet Doppler (voir figure B.1) Le robot est équipé d’un émetteur et d’un récepteur d’ultrasons.
Un GBF alimente l’émetteur sous une tension u0(t) = U0cosω0t. Celui-ci émet alors des ultrasons de pulsation ω0.
L’onde ultrasonore est réfléchie par l’obstacle. Par effet Doppler, la pulsation de l’onde est modifiée :
= !"1 +2$
% &
avec V, la vitesse relative de l’obstacle par rapport au robot et c, la célérité du son dans l’air.
Application numérique : fréquence des ultrasons émis : f0 = 40 kHz V = 3,6 km.h-1 c = 343 m.s-1
Calculer, au hertz près, la fréquence fr de l’onde réfléchie.
En déduire le décalage en fréquence fr – f0 dû au mouvement de l’obstacle par rapport au robot.
B.II Mesure de la vitesse de l’obstacle par rapport au robot (Voir Figure B.1)
On applique aux deux entrées d’un multiplieur la tension u0(t) créant les ultrasons et la tension ur(t) générée par le récepteur à la réception de l’onde réfléchie.
La tension en sortie du multiplieur est de la forme : ue(t) = ku0(t)ur(t)
B.II.1) On a : u0(t) = U0cosω0t ur(t) = Urcos(ωrt + ϕ) ue(t) = ku0(t)ur(t) Formulaire mathématique : cos* cos, =-.cos * + , + cos * − , /
Exprimer ue(t) comme une somme de composantes sinusoïdales dont on exprimera les pulsations en fonction de ω0,V,c et les amplitudes en fonction de k,U0,Ur.
B.II.2) Représenter l’allure du spectre en pulsation de la tension ue(t).
B.II.3) La méthode de mesure de V consiste à ne conserver que la composante basse fréquence de ue(t). Justifier ce choix.
B.III Conception du filtrage
Numériquement le spectre du signal d’entrée ue(t) est représenté Figure B.2
5 5
0 2 4 6
230 80200
Amplitudes (V)
Fréquences (Hz)
Spectre de u
e(t)
FIGURE B.2
B.III.1) Le filtre à concevoir est défini par le cahier des charges :
• Le filtre ne conserve que la composante basse fréquence.
• La composante haute fréquence est atténuée de 40 dB.
Représenter ci-dessous le gabarit du filtre à concevoir. La construction sera rendue avec la copie 2.
E.C. P3 D.S. - 2 heures Mercredi 17 janvier 2018
B.III.2) Comment choisir les pentes des asymptotes basse et haute fréquence afin de respecter le cahier des charges ?
En déduire l’ordre minimal et la nature du filtre à réaliser.
B.III.3) On cherche une réalisation simple de ce filtre. Pour cela on étudie l’opérateur en sortie ouverte (is = 0) représenté Figure B.3.
Cet opérateur est caractérisé par sa fonction de transfert = 0
1.
FIGURE B.3 Déterminer la fonction de transfert du filtre.
En vous aidant des feuilles de diagrammes pages 6&7, déterminer :
• si les pentes de la courbe de gain sont bien conformes au gabarit.
• la pulsation de coupure du filtre en fonction de R et C.
B.III.5) A l’aide du gabarit tracé à la question B.III.1), déterminer graphiquement la fréquence de coupure du filtre.
B.III.6) On dispose au laboratoire des composants suivants :
R(kΩ) 0,1 0,15 0,22 0,33 0,47 0,68 1 1,5 2,2 3,3 4,7 6,8 C(nF) 10 15 22 33 47 68 100 150 220 330 470 680 Choisir une valeur de R et une valeur de C permettant de réaliser le filtre désiré à 10% près.
E.C. P3 Diagrammes de Bode Chapitre 13-5 des fonctions de transfert du 1
eret du 2
èmeordre
Légende :
Les courbes sont tracées pour A
0= 1
Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes
-90,00 -75,00 -60,00 -45,00 -30,00 -15,00 0,00
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
ArgH(°) GdB
x
0,00 15,00 30,00 45,00 60,00 75,00 90,00
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
ArgH(°) GdB
x
-180,00 -150,00 -120,00 -90,00 -60,00 -30,00 0,00
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
ArgH(°) GdB
x
2 3 = 4! 1 + 3 3 =55
6 fc : fréquence de coupure
2 3 = 4! 1 + 13
3 =556 fc : fréquence de coupure
2 3 = 4! 1 + 37 + 3 -
3 =55 f0 : fréquence propre 7 >√- (trait plein double) :
présence d’un phénomène de résonance 7 <√- (trait plein simple) :
pas de résonance
E.C. P3 Diagrammes de Bode Chapitre 13-5 des fonctions de transfert du 1
eret du 2
èmeordre
Légende :
Les courbes sont tracées pour A
0= 1
Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes
0 30 60 90 120 150 180
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
ArgH(°) GdB
x
-90 -60 -30 0 30 60 90
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
ArgH(°) GdB
x
-90 -75 -60 -45 -30 -15 0 15 30 45 60 75 90
-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
ArgH(°) GdB
x
2 3 = 4! 3 - 1 + 37 + 3 - 3 =55 f0 : fréquence propre 7 >√- (trait plein double) :
présence d’un phénomène de résonance 7 <√- (trait plein simple) : pas de résonance
2 3 = 4!
1 + 7 3 − 13 = 4!
73
1 + 37 + 3 - 3 =55 f0 : fréquence propre
Les asymptotes se coupent en ; 3 = 1
<=> = 20log B
2 3 = 4!
1 + 1
7 3 − 13
3 =55 f0 : fréquence propre
