Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD Chapitre 11 : Nombres entiers et rationnels. PGCD
I. Ensembles de nombres
1/ Les nombres entiers
Définition
Les nombres entiers naturels sont les nombres positifs qui peuvent s'écrire sans virgule.
Exemples 12
4 ; 3,1×102 ; 7,00 ;
121 ; 124 .Définition
Les nombres entiers relatifs sont les nombres positifs et négatifs qui peuvent s'écrire sans virgule.
Exemples –56
7 ; 87 ; –1012.
2/ Les nombres décimaux
Définition
Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec une partie décimale finie.
Exemples 5,124
100 =0,05124 ; 7×10−124 sont des nombres décimaux.
Attention ! 1
3 n'est pas un nombre décimal car 1÷3=0,333333333333 .... De même : 1
7 ; 2 11 ; 7
13 .
3/ Les nombres rationnels
Définition
a et b sont deux nombres entiers ; b étant différent de 0.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme a b . Exemples
–12,548=–12548 1 000 ;
1
3 ; –15
19 ; 45=45
1 ; –7=–70 10 ;
2 11 . Remarque
Il existe des nombres dits irrationnels qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme a
b :
2 ; –4
3 ; …Rappels
• Périmètre d'un cercle de rayon r : 2××r.
• Aire d'un disque de rayon r : ×r2.
II. Diviseurs
Rappel
Lorsqu'on pose la division euclidienne de deux nombres, on a : D=d qr et rd.
1/ Diviseurs d'un nombre entier
Définition
a et b représentent deux nombres entiers non nuls.
b divise a si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Exemples
• Est-ce que 3 divise 111 ? Oui car 3×37=111 (donc le reste de la division euclidienne de 111 par 3 est 0 ).
• Est-ce que 17 divise 54 ? Non, car 54=3×173 (le reste est égal à 3).
1 4 8 12
− 1 2
2 8 1 2
2 4 4
Reste (r)
Quotient (q)
Dividende (D) Diviseur (d)
S'exprimer
On peut dire que :
• 3 divise 111
• 111 est divisible par 3
• 3 est un diviseur de 111. Rappels : critères de divisibilité
• Un nombre est divisible par 2 s'il est pair (le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8).
• Divisible par 3 : la somme des chiffres est dans la table de 3.
• Par 5 : évident !
• Par 9 : la somme des chiffres est dans la table de 9.
• Par 10 : évident !
2/ Recherche des diviseurs d'un nombre
Exemple 1
Trouve tous les diviseurs de 84, sans en oublier !
On trouve toutes les décompositions possibles de façon systématique : 84=1×84
84=2×42 84=3×28 84=4×21 84=6×14 84=7×12
Les diviseurs sont les nombres qui interviennent dans les décompositions : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 et 84
Exemple 2
Même question avec 56.
1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56
3/ Diviseurs communs à deux nombres
Exemple 1
D'après le paragraphe précédent, les diviseurs communs à 84 et 56 sont 1 , 2 , 4 , 7 , 14 et 28 .
Le plus grand d'entre eux est 28 .
Exemple 2
Trouve les diviseurs communs à 27 et 42 .
• Diviseurs de 27 : 1, 3, 9, 27.
Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
• Diviseurs communs : 1 et 3
• Plus grand diviseur commun : 3.
Application à la simplification de fraction Simplifie 84
56 .
On sait que 28 est le plus grand des diviseurs communs à 84 et 56 . On se sert donc de 28 pour simplifier :
84
56=28×3 28×2=3
2
On obtient directement une fraction irréductible.
4/ Nombres premiers entre eux
Définition
Deux nombres sont premiers si le seul diviseur commun est 1. Remarque
On pourrait dire aussi que ces deux nombres ne sont pas dans une même table de multiplication.
Exemples
• 3 et 7
• 18 et 25
Interprétation 3
7 et 18
25 sont irréductibles.
III. PGCD
1/ Définition/Notation
Définition
Le PGCD de deux nombres est le Plus Grand Commun Diviseur.
Exemple/Méthode
Quel est le PGCD de 24 et 36 ?
• Diviseurs de 24 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 et 24 .
• Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36 Le PGCD est 12.
Notation
PGCD(24,36)=12
2/ Méthode par soustractions successives (avec calculatrice)
a. Activité
Comparer le PGCD de deux nombres ainsi que celui du plus petit et de leur différence.
On pourra prendre 36 et 48.
• On trouve PGCD(36,48)=12
• Plus petit des deux : 36 Différence : 48-36=12 PGCD(12,36)=12
On remarque que PGCD(36,48)=PGCD(36,48-36).
On continue sur le même principe :
• Plus petit entre 36 et 12 : 12 Différence : 36-12=24 PGCD(12,24)=12 Encore...
• Plus petit entre 12 et 24 : 12 Différence : 24-12=12 PGCD(12,12)=12
b. Méthode sur un exemple Quel est le PGCD de 1035 et 322 ?
1035 322
322 713
322 391
322 69
69 253
69 184
69 115
69 46
46 23
23 23
Plus petit des deux
Différence des deux
Puisque PGCD(1035,322)=PGCD(322,713)=...=PGCD(23,23) alors PGCD(1035,322)=23.
Par ailleurs, on a :
• 1035÷23=45 et 322÷23=14
• 322
1035= 322÷23 1035÷23=14
45 Autre exemple
Même question avec 2886 et 1258
Donc PGCD(2886,1258)=74 Et encore un
Calcule le PGCD de 2170 et 4433.
Donc PGCD(2170,4433)=31. C'est un peu long !
2886 1258
1258 1628
1258 370
370 888
370 518
370 148
148 222
148 74
74 74
74 0
Plus petit
des deux Différence des deux
2170 4433
2170 2263
2170 93
93 2077
93 1984
93 1891
93 1798
93 1705
93 1612
93 1519
93 1426
93 1333
93 1240
93 1147
93 1054
93 961
93 868
93 775
93 682
Plus petit
des deux Différence des deux
93 682
93 589
93 496
93 403
93 310
93 217
93 124
93 31
31 62
31 31
Plus petit des deux
Différence des deux
3/ Méthode d'Euclide (avec calculatrice)
a. Activité
On considère 36 et 48. Comparer le PGCD de ces deux nombres avec le PGCD du diviseur et du reste.
• On trouve assez facilement que PGCD(36,48)=12
• Posons la division euclidienne de 48 par 36.
PGCD(36,12)=12
On remarque PGCD(nombre1,nombre2)=PGCD(diviseur, reste) b. Méthode sur un exemple
Calcule PGCD(1035,322)
PGCD(1035,322)=PGCD(46,23)=23. On remarque que c'est le dernier reste non nul.
Dividende diviseur reste quotient
1035 322 69 3
322 69 46 4
69 46 23 1
46 23 0 2
4 8 36
− 3 6 1
1 2
Reste (r)
Quotient (q)
Dividende (D) Diviseur (d)
Autre exemple
Calcule le PGCD de 2170 et 4433 par la méthode d'Euclide, et retrouve plus rapidement le résultat précédent.
Le dernier reste non nul est 31 , c'est donc le PGCD recherché.
4/ Méthode par décomposition (cas simples)
On a 210=2×3×5×7 et 84=2×2×3×7. On trouve le PGCD en prenant les nombres en commun dans les décompositions : PGCD210,84=2×3×7=42.
Dividende diviseur reste quotient
4433 2170 93 2
2170 93 31 23
93 31 0 3
