Calcul Scientifique pour les Sciences de l’Ingénieur

Calcul Scientifique pour les Sciences de l’Ingénieur

Bruno Koobus

Franck Nicoud

MOTIVATION

Objectifs

• Techniques et outils de base

• Culture de base sur le calcul scientifique - Exemples

• Résolution d’un problème académique

Motivation

• Les équations des sciences de l’ingénieur sont connues depuis longtemps …

– Eq. de la chaleur (Fourier, 1807)

– Mécanique des fluides (Navier-Stokes, 1822) – Elecromagnétisme (Maxwell, 1873)

• Les inconnues sont des fonctions scalaires ou vectorielles de plusieurs variables: x,y,z,t

• Ces fonctions sont solutions d’équations aux dérivées partielles (EDP) en général non-linéaires

Motivation

• Les cas où une solution analytique peut être trouvée sont très rares et simples:

– géométrie simple – équation linéaire

• Les solutions obtenues sont souvent très

lourdes même pour ces cas simplistes …

Exemple de résolution analytique

• Equation de convection diffusion 1D dans un domaine infini

2 2

0 y

D C x

U C t

C

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂

? )

, ( x t C

0 ) , (

lim =

±∞

→ C x t

x

U0

) ( )

0 ,

(x C₀ x

C =

Exemple de résolution analytique

• Si la concentration est initialement de la forme on peut obtenir la solution analytique …

( )

( ) ^{   }

 





+

− −

= +

Dt a

t U x

Dt a

C a t

x

C

2 0 2

2

0

exp 4

) , (

(

)

0

0( ) exp /4

) 0 ,

(x C x C x a

C = = −

Exemple de résolution analytique

• Effet de la diffusion

D a U ×

= ⁰ Re

+∞

= Re

20 Re =

200 Re =

2 Re =

Exemple de résolution analytique

• Equation de la chaleur dans une cavité rectangulaire

λ K y

T x

T = −

∂ + ∂

∂

∂

2 2 2

0 2

) , 0

( y T

T = T(L, y) = T₀

) 0 ,

(x T

T =

( ^{( , )} ) ⁰

) ,

( + × − ₀ =

∂

− ∂ x H h T x H T y

λ T

? ) , (x y T

x y

0 0 H

L

Exemple de résolution analytique

• Une méthode de séparation des variables permet d’obtenir la solution analytique de ce petit problème d’école …

∑

=



 



× 



















 



 −



 







 

 + 



 

 + 

=

1

0 sinh 2 cosh 1 sin

) , (

k

k

k x

L y k

L k L

k L y

A k T

y x

T π π

π π α



 

 + 



 



− 



 



 −



 



− 



 





=

L H h k

L H k L

k

L H k k

H hL L k k

A_k ^kL

π π

λ π

π π

λ π π α

sinh cosh

1 cosh

sinh ^{αk = 2}_kπλ^K0

[

]

Exemple de résolution analytique Effet des fuites par convection

= 0

h h = 0.01

Passage à des configurations plus complexes …

• Les cas académiques sont très utiles pour

comprendre les phénomènes de bases, étudier les effets des différents termes des équations

• Les problèmes posés en pratique sont inaccessibles à la résolution analytique

• Il est alors naturel de faire des expériences …

Expériences …

• On imagine que l’on veut fabriquer un avion

• Il est exclu de réaliser toutes les mises au point de la forme extérieure à partir de réalisations à

Expériences …

• On utilise donc des maquettes de taille réduites que l’on met dans une soufflerie

• Le nombre de Reynolds ne peut que très difficilement être respecté (10 à 100 fois trop petit)

ν

L U ×

=

Re

Vitesse de l’avion ou de l’air dans la soufflerie

Mach ≈ 0.9 < 1

Taille de la maquette:

entre 1% et 10% du vrai avion

Viscosité cinématique de l’air.

En gros 1.5×10⁻⁵m²/s

Autre exemple …

Propergol solide

Expériences: de moins en moins !

• La tendance actuelle est à la diminution des expériences à échelle 1 pour réduire les coûts de fabrication

• Les expériences sont réservées aux dernières mises au point avant la certification et la mise en production

• Les phases de mise au point préliminaires font de plus en plus appel à des « souffleries numériques »

• L’idée est de résoudre les EDP régissant le

fonctionnement du système numériquement puisque l’approche analytique est impossible

Simulation numérique

• Lorsque l’on résout les EDP analytiquement, on cherche les solutions dans des espaces fonctionnels de dimension infinie (e.g. L²)

• Si on y arrive, on a accès à la solution (e.g. la vitesse de l’air autour de l’avion) pour tout point de l’espace, et à chaque instant

• Puisque l’on y arrive presque jamais, on décide de simplifier le

problème en ne cherchant la solution qu’en un nombre fini de points de l’espace et pour un nombre fini d’instants

• On cherche alors les solutions de ce problème discrétisé dans un espace vectoriel de dimension finie.

(^{x, y, z,t})^{, ∀}(^{x, y, z,t})^∈Ω×[^0,+∞[

Vr

(^{x y z t} ) ( ) {^{i n N}} { ^M}

Vr _i, _i, _i, _n , ∀ , ∈ 1,2,..., × 1,2,...,

SIMULATION

NUMERIQUE

Maillages: profil d’aile d’avion

non structuré

hybride

Maillages: pot d’échappement

Maillages: injecteur + chambre

Maillages: injecteur + chambre

structuré

Exemple de flamme turbulente stable

Simulation aux Grandes Echelles – CERFACS – A. Sengissen

Exemple en biomédical

Iliac bifurcation – CHU Toulouse

3D model from artheriography

FUNCTIONAL IMAGING Iliac Bifurcation

Computational Grid Wall Shear Stress Tracers

Trois familles de méthodes

• Éléments finis (B. Koobus)

• Volume finis (non abordés dans ce module)

• Méthodes aux différences finies

(F. Nicoud)

Eléments finis en quelques mots

• A chaque instant, on cherche la solution de l’EDP sous la forme

• Les fonctions forment une base de l’espace de dimension N dans lequel on cherche à

approximer la ‘vraie’ solution f par f_h.

• Les coefficients f_i sont déterminés en imposant à f_h d’être la meilleure approximation de f dans

l’espace de dimension N choisi.

∑

=

= ^N

i

i i

h x f x

f

1

) ( )

(r r

φ )

(x

i

φ r

Éléments finis en quelques mots

• Un choix classique est de prendre linéaire par morceaux et égale à 1 au nœud i du

maillage, nulle partout ailleurs

) (x

i

φ r

Linéaire

1 0

Nulle

Éléments finis en quelques mots

• On cherche à résoudre E(f)=0

• Avec l’approximation on commet une erreur E(f_h)

• La méthode de Galerkin consiste à dire que cette erreur et orthogonale aux fonctions de forme

• N équations, N inconnues …

∑

=

= ^N

i

i i

h x f x

f

1

) ( )

(^r φ ^r

) (x

i

φ r

{^1,2,..., }^{, ( ) ( ) 0}

1

=



 



∈ 

∀

∫ ∑

Ω =

x d x f

E x N

k

N

i

i i k

r r

r φ

φ





= +

∆ 0

:

ex λ

f K

Volumes finis en quelques mots

• Bien adaptés à des problèmes conservatifs du type

• On intègre l’équation sur chaque cellule du maillage et on utilise le théorème de la

divergence

• Les inconnues sont les valeurs moyennes de f sur chaque cellules à l’instant n+1, soit

( )

∂ +

∂ div F f t

f r

∑

−

∆ =

+ −

Vi

k

k k k n

i n

i

i F n dS

t f V f

de faces

1 r r

Vi f ⁿ⁺¹

Volumes finis en quelques mots

• Les flux sur les faces de sont calculés à partir des valeur de f dans les cellules voisines

V

^∑

+

Vi

k

k k k n

i n

i

i F n dS

t f V f

de faces

1 r r

Vi

nr1

nr2

nr3

Différences finies

• Contrairement aux éléments et volumes finis,

cette technique n’est pas adaptée aux maillages non cartésiens

• Mais elle est très intuitive

• En 1D, les trois méthodes sont équivalentes

• Permet d’appréhender beaucoup de concepts ou problèmes numériques communs aux

différentes méthodes

Différences finies

• L’idée est de remplacer les dérivées

partielles aux points de maillage par des développement de Taylor

• Plutôt que de chercher f(x), on cherche les valeurs de f aux nœuds du maillage, soit f

=f(x

)

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

xi x

+1

xi x_i+2

−1

xi

−2

xi

−3

xi

DERIVEES

PREMIERES

Dérivées premières

• Développement de Taylor au nœud i:

• Ces développements font apparaître les dérivées de f au nœud i uniquement

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

( ) ( ) 2

(

)

2 2 1

1

1 2 _x ^{i i}

i i

x i

i i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i

−

− + +

− +

= ₋ ⁻ ₋

−

( ¹ ) ( ¹ )^{2 2 2}

(

)

1 2 ^{i i}

x i

i x

i i

i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i

−

− + +

− +

= ₊ ⁺ ₊

+

• Si les nœuds sont régulièrement espacés

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

∆x

( )

2 2 2

1 2 o x

dx f d x dx

xdf f

f

i xi

x i

i₊ = + ∆ + ∆ + ∆

( )

2 2 2

1 2 o x

dx f d x dx

xdf f

f

i xi

x i

i₋ = −∆ + ∆ + ∆

( )

1

1 0 2 0 o x

dx xdf f

f_i+ − _i− = + ∆ + + ∆

Dérivées premières

• Si les nœuds sont régulièrement espacés, la dérivée de f au nœud i est approximée par

• Erreur d’approximation est

• Schéma centré d’ordre 2

x f f f

dx D

df

i

x_i

∆

= −

≈

2

1 0 1

1

) ( x o ∆

Dérivées premières

• On peut manipuler les développements limités pour obtenir d’autres

approximations de la dérivée première

•

•

) 1

1

(

1

o

x f f f

dx D

df

i x_i

∆ +

= −

≈

Dérivées premières

) 1

1

(

1

o

x f f f

dx D

df

i x_i

∆ +

= −

≈

Maillage non uniforme

• Développement de Taylor au nœud i:

i i +1 i + 2

−1 i

−2 i

−3

i x

( ¹ ) ( ¹ )^{2 2 2}

(

)

1 2 ^{i i}

x i

i x

i i

i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i

−

− + +

− +

= ₋ ⁻ ₋

−

( ¹ ) ( ¹ )^{2 2 2}

(

)

1 2 ^{i i}

x i

i x

i i

i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i

−

− + +

− +

= ₊ ⁺ ₊

+

1

1 −

− = −

∆_i x_i x_i ∆_i = x_i+1 − x_i

Maillage non uniforme

• Développement de Taylor au nœud i:

i i +1 i + 2

−1 i

−2 i

−3

i x

( )

2 2 2

1 1

1 2 ⁻

− −

− = −∆ + ∆ + ∆_i

x i

x i

i

i o

dx f d dx

f df f

i i

( )

2 2 2

1 2 ⁱ

x i

x i

i

i o

dx f d dx

f df f

i i

∆

∆ + +

∆ +

+ =

×

∆_i−1²

×

∆_i²

(

) (

) (

)

1 2 1

2

1 i i

x i

i i

i i

i i i

i i

i o

dx f df

f f

i

∆

∆ +

∆

∆ +

∆

∆ +

∆

−

∆

=

∆

−

∆ _{− + − − − − −}

( )

(

)

∆

−

= ∆ ⁻ f ⁺ f ⁻ f ⁻ o df ²_{i 1 i 1 i} ²_{i 1} ²_i ²_{i i 1}

• Maillage régulier

• En conservant plus de termes dans les développements on obtient les schémas à l’ordre 4 et 6 suivants

•

•

) 12 (

8

8 _{1 1 2 3}

2 o x

x

f f

f f

dx

df _{i i i i}

x_i

∆

∆ +

+

− +

≈ − ^{+ + − −}

Ordres plus élevés

) 60 (

9 45

45

9 _{2 1 1 2 3 5}

3 o x

x

f f

f f

f f

dx

df _{i i i i i i}

x

∆

∆ +

− +

− +

≈ ⁺ − ^{+ + − − −}

• ordre 1 aval

• ordre 1 amont

• ordre 2 aval

• ordre 2 amont

Formules décentrées

) 1

1 o(

x f f

dx

df _{i i}

x_i

∆ +

≈ ⁺ −

) 2 (

3 4 ₁

2 o x

x

f f

f dx

df _{i i i}

x_i

∆

∆ +

− +

≈ − ^{+ +}

) 2 (

3 4 ₁

2 o x

x

f f

f dx

df _{i i i}

∆

∆ +

+

≈ ⁻ − ⁻

) 1

1 o( x

f f

dx

df _{i i}

x_i

∆ +

≈ − ⁻

• Problème modèle 1D: Eq. de convection

• Conditions limites et initiale:

Comparaison des schémas

m/s 1 ,

m 8 m

2 ,

0 ₀

0 = − ≤ ≤ =

∂ + ∂

∂

∂ x U

x U f

t f

(

)

exp )

0 ,

(x = − x² a² a =

f f ⁽−^2,t⁾ = f ^(8,t⁾ = ⁰

s

= 0

t t = 5s

• Équation semi-discrète

• On calcule les f

entre t=0 et t=5 s à partir des deux schémas

Test numérique

i Df

dt U df

i

i + ₀ = 0, ∀

1 0

0 =

∆

+ − ⁻

x f U f

dt

df_{i i i}

2 0

1 1

0 =

∆ + ⁺ − ⁻

x f U f

dt

df_{i i i}

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

fi x

+1

fi f_i+2

−1

fi

−2

fi

−3

fi

Test numérique

amont ordre 1

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

Ordre 2 centré / Ordre 1 amont

• Ordre 1 introduit de la diffusion … (cf solution analytique avec Re=2)

• Ordre 2 centré « exact » avec 400 points

• Ordre 2 centré déforme le signal si le nombre de points est plus petit

• Ordre 2 meilleur que ordre 1

Test numérique

centré ordre 4

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

Ordre 2 centré / Ordre 4 centré

• Ordre 4 « exact » dans tous les cas considérés ici

• Ordre 2 centré « exact » avec 400 points

• Ordre 4 meilleur que ordre 2

Test numérique

amont ordre 2

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

Ordre 2 centré / Ordre 2 amont

• Ordre 2 centré et amont « exacts » avec 400 points

• Ordre 2 centré et amont déforment le signal si le nombre de points est plus petit, mais pas de la même manière

• Ordre 2 amont amortit plus le signal

• L’ordre ne dit pas tout sur un schéma …

Analyse spectrale

• Cas d’une fonction harmonique

• Schéma centré d’ordre 2

• L’erreur commise est

[^{exp( )}] ^Re[ ^{exp( )}]

Re )

( jk jkx

dx jkx df

x

f = ⇒ =

[ ]

x f f

dx x df

jki

f ^{i i}

x i

i ∆

≈ −

∆

= ^{+ −}

, 2 ) exp(

Re ^{1 1}





∆ ∆

≈ sin( ∆ ) exp( )

Re jki x

x k

x jk k

dx df

xi

x k

x k

∆

∆ ) sin(

Signification de k ∆ x

• Sinusoïde de période L décrite avec N points

• ∆ x = L / N, k = 2 π /L donc k ∆ x = 2 π ^{/ N}

(exact)

→ 0

∆x

k 4

= π

∆x

k 2

= π

∆x

k k∆x = π

Analyse spectrale

• Tout se passe comme si on résolvait l’équation

• Les différentes longueurs d’onde ne se déplacent pas à la même vitesse

) 0 sin(

0 =

∂

∂

∆ + ∆

∂

∂

x f x

k

x U k

t f

centré

ordre 2 exact

Analyse spectrale

• Équation effective _{0 ( ) = 0}

∂

∆ ∂

∂ +

∂

x x f

k E t U

f

Amont ordre 2

Centré Amont ordre 1

Centré ordre 2 SCHEMA

[

]

Re E k∆x ^Im

[

]

0

0 x

k

x k

∆

∆ ) sin(

x k

x k

∆

∆ ) sin(

x k

x k

∆

−

∆ ) 1 cos(

(

)

)

sin( k x

x k

x

k − ∆

∆

∆

x k

x k x

k

∆

−

∆ +

∆

− cos(2 ) 4cos( ) 3

(

)

)

sin(k x k x

∆

∆ −

Analyse spectrale

Lien avec l’ordre du schéma

• Dans la limite k∆^{x →} 0, la vitesse de propagation tend vers U₀

• La vitesse avec laquelle l’erreur tend vers zéro dépend de l’ordre du schéma

• Au voisinage de 0, Re(E(k∆x)) = 1+O((k∆^{x)n), avec n} l’ordre du schéma

• La partie imaginaire de l’erreur n’est pas directement reliée à l’ordre du schéma

• Les schémas centrés sont non dissipatifs: Im(E(k∆^{x)) = 0}

Dispersion

• La vitesse de propagation effective n’est égale à la vitesse théorique que dans la limite k∆^{x → 0}

• Une perturbation peut donc être propagée trop lentement ou trop vite

• Les fonctions et ne sont pas propagées à la même vitesse en général

• Que se passe-t-il lorsque l’on convecte f (x) ?

e jkx ^{e jk'x,k ≠ k'}

Déformation du signal

• On peut décomposer cette fonction comme une somme de fonctions harmoniques (en rendant f périodique

éventuellement)

• La solution théorique après t s de simulation est

• Numériquement le mode devient

• La solution numérique est donc

∑

= f_ke ^jkx x

f ( ) ˆ

∑

=

− ₀ ) ˆ ^{( 0 )} (x U t f_ke ^{jk x U t} f

) ) (

(x E k x U₀t

e jk ^{− ∆}

e jkx

{ˆ ( ) )

(x U₀t g e ^{( 0 )} f x U₀t g − =

∑

∆

−

DERIVEES

SECONDES

• Maillage régulier

• On utilise le fait que

• En appliquant l’opérateur à

Dérivées secondes

) 2 (

1 0

1 1

0 0 1

1 0 2 1

2

x x o

f D f

f D D

dx D f

d

i x_i

∆

∆ +

= −

≈

i xi

x dx

df dx

d dx

f

d 



2 =

2

f

D

0

D

) 4 (

2

2

2 2 2

, 0 2 2

2

x x o

f f

f f dx D

f

d

i

+ ∆

∆

+

= −

≈

• Si les nœuds sont régulièrement espacés

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

∆x

Problème de localité

2

2 2

2 2

4 2

x

f f

f dx

f

d _{i i i}

x_i ∆

+

≈ ⁺ − ⁻

x

La dérivée seconde approximée de cette fonction est nulle !!

• Déduire la dérivée seconde des développements de Taylor

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

( )

3 3 3 2

2 2

1 2 6 o x

dx f d x dx

f d x dx

xdf f

f

i

i xi x

x i

i₊ = + ∆ + ∆ + ∆ + ∆

( )

3 3 3 2

2 2

1 2 6 o x

dx f d x dx

f d x dx

xdf f

f

i

i xi x

x i

i₋ = − ∆ + ∆ − ∆ + ∆

Dérivées secondes

) 2 (

2

1 1 1

, 0 2 2

2

x x o

f f

f f dx D

f

d

i

+ ∆

∆

+

= −

≈

• Si les nœuds sont régulièrement espacés

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

∆x

Problème de localité

2

1 1

2 2

x

f f

f dx

f

d _{i i i}

x_i ∆

+

≈ ⁺ − ⁻

x

La dérivée seconde approximée de cette fonction est non nulle, mais pas infinie …

Analyse spectrale

• Cas d’une fonction harmonique

• Schéma centré d’ordre 2 à 2 ∆

• L’erreur commise est

[^{exp( )}] ^Re

[

]

Re )

( ₂ ²

2

jkx dx k

f jkx d

x

f = ⇒ = −

[^{exp( )}]^{, 2} ₂ ^{1 2} ₂ ¹

Re x

f f

f dx

f x d

jki

f ^{i i i}

x i

i ∆

+

≈ −

∆

= ^{+ −}





∆ ∆

−

≈ cos( ∆ ) 1exp( ) 2

Re ₂

2 2

x x jki

x k dx

f d

xi

2 2

) cos(

21

x k

x k

∆

∆

−

Analyse spectrale

• Schéma centré d’ordre 2 à 4 ∆

• L’erreur commise est

[ ] 2

2 2

2 2

4 , 2

) exp(

Re x

f f

f dx

f x d

jki

f ^{i i i}

x i

i ∆

+

≈ −

∆

= ^{+ −}





∆ ∆

−

≈ cos(2 ∆ ) 1exp( ) 2

Re 1 ₂

2 2

x x jki

x k dx

f d

xi

2

2 2

) 2

cos(

1

x k

x k

∆

∆

−

Analyse spectrale

• Les erreurs sont réelles uniquement, donc pas de convection numérique

∆ 2

∆ 4

• Si les nœuds sont régulièrement espacés

• Utile pour les coefficients de diffusivité variables

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

Interprétation volumes finis

2

1 1

2

2 _{1/2 1/2} 2

x

f f

f x

dx df dx

df dx

f

d x x _{i i i}

x

i i

i ∆

+

= −

∆

−

≈ ^{+ − + −}

Retour sur le schéma amont ordre 1

• Rappel: ce schéma introduit beaucoup de dissipation par comparaison avec le centré d’ordre 2

• En effet:

• Utiliser ce schéma revient donc à résoudre

avec un schéma centré d’ordre 2

2

1 1

1 1

1

2

2

2 x

f f

f x x

f f

x f

f

∆

+

−

− ∆

∆

= −

∆

−

2 2 0

0 2 x

f x

U x

U f t

f

D

∂

∂

= ∆

∂ + ∂

∂

∂

3 2 1

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

Laplacien

) ,

2 ( 2

2

1 , ,

1 , 2

, 1 ,

,

1

o x y

y

f f

f x

f f

f f

x_i

+ ∆ ∆

∆

+ + −

∆

+

≈ −

∆

j

−1 j

−2 j

+1 j

+ 2 j

∆x

∆y

INTEGRATION

TEMPORELLE