Calcul Scientifique pour les Sciences de l’Ingénieur

Calcul Scientifique pour les Sciences de l’Ingénieur

Franck Nicoud

MOTIVATION

M2 "Calcul Scientifique" 3

Motivation

• Les équations des sciences de l’ingénieur sont connues depuis longtemps …

– Eq. de la chaleur (Fourier, 1807)

– Mécanique des fluides (Navier-Stokes, 1822) – Elecromagnétisme (Maxwell, 1873)

• Les inconnues sont des fonctions scalaires ou vectorielles de plusieurs variables: x,y,z,t

• Ces fonctions sont solutions d’équations aux dérivées partielles (EDP) en général non-linéaires

Motivation

• Les cas où une solution analytique peut être trouvée sont très rares et simples:

– géométrie simple – équation linéaire

• Les solutions obtenues sont souvent très

lourdes même pour ces cas simplistes …

M2 "Calcul Scientifique" 5

Exemple de résolution analytique

• Equation de convection diffusion 1D dans un domaine infini

2 2

0 y

D C x

U C t

C

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

∂

? )

, ( x t C

0 ) , (

lim =

±∞

→ C x t

x

U0

) ( )

0 ,

(x C₀ x

C =

Exemple de résolution analytique

• Si la concentration est initialement de la forme on peut obtenir la solution analytique …

( )

( ) ^{   }

 





+

− −

= +

Dt a

t U x

Dt a

C a t

x

C

2 0 2

2

0

exp 4

) , (

(

)

0

0( ) exp /4

) 0 ,

(x C x C x a

C = = −

M2 "Calcul Scientifique" 7

Exemple de résolution analytique

• Effet de la diffusion

D a U ×

= ⁰ Re

+∞

= Re

20 Re =

200 Re =

2 Re =

Exemple de résolution analytique

• Equation de la chaleur dans une cavité rectangulaire

λ K y

T x

T = −

∂ + ∂

∂

∂

2 2 2

0 2

) , 0

( y T

T = T(L, y) = T₀

( ^{( , )} ) ⁰

) ,

( + × − ₀ =

∂

− ∂ x H h T x H T y

λ T

? ) , (x y T

y

0 0 H

M2 "Calcul Scientifique" 9

Exemple de résolution analytique

• Une méthode de séparation des variables permet d’obtenir la solution analytique de ce petit problème d’école …

∑

=



 



× 



















 



 −



 







 

 + 



 

 + 

=

1

0 sinh 2 cosh 1 sin

) , (

k

k

k x

L y k

L k L

k L y

A k T

y x

T π π

π π α



 

 + 



 



− 



 



 −



 



− 



 





=

L H h k

L H k L

k

L H k k

H hL L k k

A_k ^kL

π π

λ π

π π

λ π π α

sinh cosh

1 cosh

sinh ^{αk = 2}_kπλ^K0

[

]

Exemple de résolution analytique Effet des fuites par convection

= 0

h h = 0.01

M2 "Calcul Scientifique" 11

Passage à des configurations plus complexes …

• Les cas académiques sont très utiles pour

comprendre les phénomènes de bases, étudier les effets des différents termes des équations

• Les problèmes posés en pratique sont inaccessibles à la résolution analytique

• Il est alors naturel de faire des expériences …

Expériences …

• On imagine que l’on veut fabriquer un avion

• Il est exclu de réaliser toutes les mises au point de la forme extérieure à partir de réalisations à

M2 "Calcul Scientifique" 13

Expériences …

• On utilise donc des maquettes de taille réduites que l’on met dans une soufflerie

• Le nombre de Reynolds ne peut que très difficilement être respecté (10 à 100 fois trop petit)

• Extension des données acquises au cas du vrai avion ?

ν

L U ×

=

Re

Vitesse de l’avion ou de l’air dans la soufflerie

Mach ≈ 0.9 < 1

Taille de la maquette:

entre 1% et 10% du vrai avion

Viscosité cinématique de l’air.

En gros 1.5×10⁻⁵m²/s

Autre exemple …

Propergol solide

M2 "Calcul Scientifique" 15

Expériences: de moins en moins !

• La tendance actuelle est à la diminution des expériences à échelle 1 pour réduire les coûts de fabrication

• Les expériences sont réservées aux dernières mises au point avant la certification et la mise en production

• Les phases de mise au point préliminaires font de plus en plus appel à des « souffleries numériques »

• L’idée est de résoudre les EDP régissant le

fonctionnement du système numériquement puisque l’approche analytique est impossible

Simulation numérique

• Lorsque l’on résout les EDP analytiquement, on cherche les solutions dans des espaces fonctionnels de dimension infinie (e.g. L²)

• Si on y arrive, on a accès à la solution (e.g. la vitesse de l’air autour de l’avion) pour tout point de l’espace, et à chaque instant

• Puisque l’on y arrive presque jamais, on décide de simplifier le

problème en ne cherchant la solution qu’en un nombre fini de points de l’espace et pour un nombre fini d’instants

• On cherche alors les solutions de ce problème discrétisé dans un espace vectoriel de dimension finie.

(^{x, y, z,t})^{, ∀}(^{x, y, z,t})^∈Ω×[^0,+∞[

Vr

(^{x y z t} ) ( ) {^{i n N}} { ^M}

Vr _i, _i, _i, _n , ∀ , ∈ 1,2,..., × 1,2,...,

M2 "Calcul Scientifique" 17

Maillages: profil d’aile d’avion

structuré

non structuré

hybride

Maillages: pot d’échappement

M2 "Calcul Scientifique" 19

Maillages: injecteur + chambre

Maillages: injecteur + chambre

structuré

M2 "Calcul Scientifique" 21

Exemple de flamme turbulente stable

Simulation aux Grandes Echelles – CERFACS – A. Sengissen

Exemple en biomédical

Iliac bifurcation – CHU Toulouse

3D model from artheriography

M2 "Calcul Scientifique" 23

FUNCTIONAL IMAGING Iliac Bifurcation

Computational Grid Wall Shear Stress Tracers

NAVIER-STOKES

ET TURBULENCE

M2 "Calcul Scientifique" 25

MODELE MATHEMATIQUE

NAVIER-STOKES INCOMPRESSIBLE

u

et P tels que:

= 0

∂

∂

i i

x u

∂(ρ^u_i⁾

∂t + ∂

∂^x _j

(

)

i

+ ∂τ_ij

∂^x _j ^











 +

=

i j j

i

ij x

u x

u

∂

∂

∂ µ ∂ τ

ρ0

ρ =

MODELE MATHEMATIQUE

NAVIER-STOKES COMPRESSIBLE

ρ ^{, u}

, P et T tels que:

0 )

( =

∂ + ∂

∂

∂

i i

x u

t ρ

ρ

∂(ρ^u_i⁾

∂t + ∂

∂^x _j

(

)

i

+ ∂τ_ij

∂^x _j

( )

( )

) (

i ij j

i i

t i

i

t u

x x

T P x

e x u

t

e ρ λ τ

ρ

∂ + ∂









∂

∂

∂

= ∂

∂ + + ∂

∂

∂

ij k

k i

j j

i

ij x

u x

u x

u δ

∂ µ ∂

∂

∂

∂ µ ∂

τ 3

− 2











 +

=

rT P = ρ

M2 "Calcul Scientifique" 27

TURBULENCE: ELLE EST

PARTOUT …

Expérience de Reynolds - 1883

ν

D U . Re =

s

air ≈ 1.5×10⁻⁵ m² /

ν

s

eau ≈1.0×10⁻⁶ m² /

ν

M2 "Calcul Scientifique" 29

TURBULENCE

2000 Re <

3000

Re >

TURBULENCE

Le régime (laminaire/turbulent) dépend du nombre de Reynolds:

Re = Ud

ν

Vitesse Distance

Viscosité

laminaire turbulent

M2 "Calcul Scientifique" 31

TURBULENCE

Léonard de Vinci

TURBULENCE ET CHAOS

SOUFFLERIE ONERA

M2 "Calcul Scientifique" 33

CHAOS POUR PAS CHER

] 1 , 1 [ ,

2

1 ² ₀

1 = − ∈ −

+ v v

v_{t t}

66667 .

0 bien

ou 6667

.

0 ₀

0 = v =

v

TURBULENCE

• L’écoulement est très sensible aux conditions limites et initiales, d’où l’impression de chaos

• Cette sensibilité est liée aux termes non linéaires de convection

• La turbulence augmente le mélange

– Effet souvent positif (moteurs, …) – Effet parfois gênant (traînée, …)

• Besoin d’une situation académique représentative

M2 "Calcul Scientifique" 35

TURBULENCE HOMOGENE ISOTROPE (THI)

• Pas de frontières

• Domaine L-périodique

• Pas de direction privilégiée, pas de position privilégiée

L L

L

( )

e L

t φ ⁱ π

φ x =

∑

k

x k k

Ω

∫∫∫ ( )

Ω

⋅

= 1₃ , − _{1 2 3}

ˆ t e dx dx dx

L

i k

x

x k

φ φ

TURBULENCE HOMOGENE ISOTROPE (THI)

• Moyenne volumique

• Orthogonalité des fonctions de base

• Passage à la limite

∫∫∫ ( )

Ω

= 1_{3 1 2 3} )

( dx dx dx

t L φ x

φ

∞

→ L

∫∫∫

=

3

3 2 3 ˆ( ) 1

) 2 ( ) 1 (

R

i dk dk dk

e ^{k x} k

x φ

φ π

∫∫∫

=

3

3 2

) 1

( )

ˆ(

R

i dx dx dx

e ^kx x

k φ

φ

M2 "Calcul Scientifique" 37

BILANS EN THI

• Bilan de quantité de mouvement

• Bilan d’énergie (cinétique)

( )

)

( =

∂ + ∂

+

−

=

∂ +

∂

i i i

j ij i

j i j i

x f u

x S x

u P x u

t u

∂ ν ∂

∂

∂ ρ

∂

∂

i

i f

dt u

d =

i i i

j j

i i

f x u

u x

u dt

u

d  +











∂ + ∂

∂

− ∂

=

4 4 4 3 4

4 4 2 1 ε

ν ²

2

2 2

/

FLUX ENERGETIQUE

• Pour tout K>0 et toute quantité on définit

• Bilan d’énergie grandes échelles

• Les termes non linéaires sont responsables du transfert d’énergie des plus grandes échelles vers les plus petites

( )

:

, 2

, ˆ Z

e L t

K

i π

φ

φ =

∑

<

⋅

< x k

k k

x k k

<

> <

<

<

<

∂ +

− ∂

−

= _{i i}

j i j i

i u f

x u u

dt u u

d ^{/ 2} ε

2

M2 "Calcul Scientifique" 39

PHENOMENE MULTI-ECHELLE

SOUFFLERIE ONERA

TURBULENCE: UN SCENARIO

1. L’écoulement reçoit de l’énergie à grandes échelles (l₀)

• Doit se faire au taux

2. L’énergie est transférée vers les échelles de plus en plus petites (l)

• Doit se faire au taux

3. Lorsque les échelles sont assez petites (η^{), la} viscosité devient assez forte pour les dissiper

• Se produit à Reynolds unité:

0 3 0

l

≡ u ε

l u³ ε ≡

≡1 ν

η_K uK

M2 "Calcul Scientifique" 41

SEPARATION DES ECHELLES

• Échelles de Kolmogorov

• Séparation des échelles

4 / 1

4 / 3

ε

η_K ≡ν u_K ≡ν^1/4ε^1/4

4 / 3 0

0 R

l

K

η ≡

NOTION DE SPECTRE

( )

R_ij r = _i x _j x +r

• Tenseur des corrélations en 2 points:

• Tenseur spectre de vitesse

• Spectre d’énergie

( )

∫∫∫

3

3 2

3 ( ) 1

) 2 (

1

R

i ij

ij k R r e ^krdrdr dr

φ π

( )

∫∫∫

3

3 2

) 1

(

R

i ij

ij e dk dk dk

R r φ k ^{k r}

( )

k k

S

k dS k

E _ii

rayon de

sphère :

) (

) ( ) 2 (

1

∫

= φ k

i iu u dk

k

E 2

) 1 ( :

que on vérifie

0

∫

∞

M2 "Calcul Scientifique" 43

HYPOTHESE DE KOLMOGOROV

• Dans la zone inertielle (l₀<<l<<η), E(k) ne dépend que de ε et de l (c’est-à-dire de k). On en déduit alors:

3 / 5 3

/

)

( k ≡ k

E ε

(

)

ln E k k^−5/3

k ln

TURBULENCE ET SPECTRE

CANAL

SOUFFLERIE ONERA

JET

3 / 5 3

/

)

( k ∝ k

E ε

Bien vérifié

M2 "Calcul Scientifique" 45

TURBULENCE ET

NUMERIQUE

TURBULENCE ET NUMERIQUE

• Simulation Numérique Directe (DNS):

– Résoudre Navier-Stokes pour obtenir la turbulence, puis réaliser un traitement statistique de la solution

– Nombre de points en

• Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS):

– Réaliser un traitement statistique des équations, puis les résoudre

– Problème de fermeture

• Simulation aux Grandes Echelles (LES):

– Résoudre directement les grandes échelles, modéliser les plus petites

4 / 9

R0

M2 "Calcul Scientifique" 47

DNS vs RANS

RANS RANS

DNS DNS

SIMULATION AUX GRANDES ECHELLES

• Simulation aux Grandes Echelles (LES):

– Résoudre directement les grandes échelles, modéliser les plus petites

– On résout une version filtrée des équations

– Problème de fermeture moins crucial qu’en RANS

(

)

ln E k k^−5/3

M2 "Calcul Scientifique" 49

MOTEUR D’HELICOPTERE SUR BLUE GENE/L

• Mais l’expérimentation est très difficile, la visualisation quasi impossible …

40 millions de cellules

• On utilise donc la

simulation numérique pour voir et

comprendre …

MOTEUR D’HELICOPTERE SUR BLUE GENE/L

• Séquence d’allumage simulée (CERFACS)

M2 "Calcul Scientifique" 51

ANALYSE

NUMERIQUE

Trois familles de méthodes

• Éléments finis (B. Koobus)

• Volume finis (non abordés dans ce module)

• Méthodes aux différences finies

(F. Nicoud)

M2 "Calcul Scientifique" 53

Eléments finis en quelques mots

• A chaque instant, on cherche la solution de l’EDP sous la forme

• Les fonctions forment une base de l’espace de dimension N dans lequel on cherche à

approximer la ‘vraie’ solution f par f_h.

• Les coefficients f_i sont déterminés en imposant à f_h d’être la meilleure approximation de f dans

l’espace de dimension N choisi.

∑

=

= ^N

i

i i

h x f x

f

1

) ( )

(r r

φ )

(x

i

φ r

Éléments finis en quelques mots

• Un choix classique est de prendre linéaire par morceaux et égale à 1 au nœud i du

maillage, nulle partout ailleurs

) (x

i

φ r

Linéaire

1 0

Nulle

M2 "Calcul Scientifique" 55

Éléments finis en quelques mots

• On cherche à résoudre E(f)=0

• Avec l’approximation on commet une erreur E(f_h)

• La méthode de Galerkin consiste à dire que cette erreur est orthogonale aux fonctions de forme

• N équations, N inconnues …

∑

=

= ^N

i

i i

h x f x

f

1

) ( )

(^r φ ^r

) (x

i

φ r

{^1,2,..., }^{, ( ) ( ) 0}

1

=



 



∈ 

∀

∫ ∑

Ω =

x d x f

E x N

k

N

i

i i k

r r

r φ

φ





= +

∆ 0

:

ex λ

f K

Volumes finis en quelques mots

• Bien adaptés à des problèmes conservatifs du type

• On intègre l’équation sur chaque cellule du maillage et on utilise le théorème de la

divergence

• Les inconnues sont les valeurs moyennes de f sur chaque cellules à l’instant n+1, soit

( )

∂ +

∂ div F f t

f r

∑

−

∆ =

+ −

Vi

k

k k k n

i n

i

i F n dS

t f V f

de faces

1 r r

+

M2 "Calcul Scientifique" 57

Volumes finis en quelques mots

• Les flux sur les faces de sont calculés à partir des valeur de f dans les cellules voisines

V

^∑

+

Vi

k

k k k n

i n

i

i F n dS

t f V f

de faces

1 r r

Vi

nr1

nr2

nr3

Différences finies

• Contrairement aux éléments et volumes finis,

cette technique n’est pas adaptée aux maillages non cartésiens

• Mais elle est très intuitive

• En 1D, les trois méthodes sont équivalentes

• Permet d’appréhender beaucoup de concepts ou problèmes numériques communs aux

différentes méthodes

M2 "Calcul Scientifique" 59

Différences finies

• L’idée est de remplacer les dérivées

partielles aux points de maillage par des développement de Taylor

• Plutôt que de chercher f(x), on cherche les valeurs de f aux nœuds du maillage, soit f

=f(x

)

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

xi x

+1

xi x_i+2

−1

xi

−2

xi

−3

xi

DERIVEES

PREMIERES

M2 "Calcul Scientifique" 61

Dérivées premières

• Développement de Taylor au nœud i:

• Ces développements font apparaître les dérivées de f au nœud i uniquement

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

( ) ( ) 2

(

)

2 2 1

1

1 2 _x ^{i i}

i i

x i

i i

i O x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i

−

− + +

− +

= ₋ ⁻ ₋

−

( ¹ ) ( ¹ )^{2 2 2}

(

)

1 2 ^{i i}

x i

i x

i i

i

i O x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i

−

− + +

− +

= ₊ ⁺ ₊

+

• Si les nœuds sont régulièrement espacés

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

∆x

( )

2 2 2

1 2 O x

dx f d x dx

xdf f

f

i xi

x i

i₊ = + ∆ + ∆ + ∆

( )

2 2 2

1 2 O x

dx f d x dx

xdf f

f

i xi

x i

i₋ = −∆ + ∆ + ∆

( )

1

1 0 2 df 0 O x

x f

f_i+ − _i− = + ∆ + + ∆

Dérivées premières

M2 "Calcul Scientifique" 63

• Si les nœuds sont régulièrement espacés, la dérivée de f au nœud i est approximée par

• Erreur d’approximation est

• Schéma centré d’ordre 2

x f f f

dx D

df

i

x_i

∆

= −

≈

2

1 0 1

1

) ( x² O ∆

Dérivées premières

• On peut manipuler les développements limités pour obtenir d’autres

approximations de la dérivée première

•

•

)

1

(

1

O x

x f f f

dx D

df

i x_i

∆

∆ +

= −

≈

Dérivées premières

)

1

(

1

O x

x f f f

dx D

df

i x_i

∆

∆ +

= −

≈

M2 "Calcul Scientifique" 65

Maillage non uniforme

• Développement de Taylor au nœud i:

i i +1 i + 2

−1 i

−2 i

−3

i x

( ¹ ) ( ¹ )^{2 2 2}

(

)

1 2 ^{i i}

x i

i x

i i

i

i O x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i

−

− + +

− +

= ₋ ⁻ ₋

−

( ¹ ) ( ¹ )^{2 2 2}

(

)

1 2 ^{i i}

x i

i x

i i

i

i O x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i

−

− + +

− +

= ₊ ⁺ ₊

+

1

1 −

− = −

∆_i x_i x_i ∆_i = x_i+1 − x_i

Maillage non uniforme

• Développement de Taylor au nœud i:

i i +1 i + 2

−1 i

−2 i

−3

i x

( )

2 2 2

1 1

1 2 ⁻

− −

− = − ∆ + ∆ + ∆_i

x i

x i

i

i O

dx f d dx

f df f

i i

( )

2 2 2

1 2 ⁱ

x i

x i

i

i O

dx f d dx

f df f

i i

∆

∆ + +

∆ +

+ =

×

∆_i−1²

×

∆_i²

(

) (

) (

)

1 2 1

2

1 i i

x i

i i

i i

i i i

i i

i O

dx f df

f f

i

∆

∆ +

∆

∆ +

∆

∆ +

∆

−

∆

=

∆

−

∆ _{− + − − − − −}

(

)

( )

2 − ∆ −∆ − ∆

∆ f f f

df

M2 "Calcul Scientifique" 67

• Maillage régulier

• En conservant plus de termes dans les développements on obtient les schémas à l’ordre 4 et 6 suivants

•

•

) 12 (

8

8 _{1 1 2 4}

2 O x

x

f f

f f

dx

df _{i i i i}

x_i

∆

∆ +

+

− +

≈ − ^{+ + − −}

Ordres plus élevés

) 60 (

9 45

45

9 _{2 1 1 2 3 6}

3 O x

x

f f

f f

f f

dx

df _{i i i i i i}

x_i

∆

∆ +

− +

− +

≈ ⁺ − ^{+ + − − −}

• ordre 1 aval

• ordre 1 amont

• ordre 2 aval

• ordre 2 amont

Formules décentrées

)

1 O( x

x f f

dx

df _{i i}

x_i

∆

∆ +

≈ ⁺ −

) 2 (

3

4 _{1 2}

2 O x

x

f f

f dx

df _{i i i}

x_i

∆

∆ +

− +

≈ − ^{+ +}

) 3 (

4 _{1 2}

2 f f O x

f

df _{i i i}

∆

∆ +

+

≈ ⁻ − ⁻

)

1 O( x

x f f

dx

df _{i i}

x_i

∆

∆ +

≈ − ⁻

M2 "Calcul Scientifique" 69

• Problème modèle 1D: Eq. de convection

• Conditions limites et initiale:

Comparaison des schémas

m/s 1 ,

m 8 m

2 ,

0 ₀

0 = − ≤ ≤ =

∂ + ∂

∂

∂ x U

x U f

t f

(

)

exp )

0 ,

(x = − x² a² a =

f f ⁽−^2,t⁾ = f ^(8,t⁾ = ⁰

s

= 0

t t = 5s

• Équation semi-discrète

• On calcule les f

entre t=0 et t=5 s à partir des deux schémas

Test numérique

i Df

dt U df

i

i + ₀ = 0, ∀

1 0

0 =

∆

+ − ⁻

x f U f

dt

df_{i i i}

2 0

1 1

0 =

∆ + ⁺ − ⁻

x f U f

dt

df_{i i i}

i i +1 i + 2

−1 i

− 2 i

−3

i x

fi x

+1

fi f_i+2

−1

fi

−2

fi

−3

fi

M2 "Calcul Scientifique" 71

Test numérique

amont ordre 1

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

Ordre 2 centré / Ordre 1 amont

• Ordre 1 introduit de la diffusion … (cf solution analytique avec Re=2)

• Ordre 2 centré « exact » avec 400 points

• Ordre 2 centré déforme le signal si le nombre de points est plus petit

• Ordre 2 meilleur que ordre 1

M2 "Calcul Scientifique" 73

Test numérique

centré ordre 4

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

Ordre 2 centré / Ordre 4 centré

• Ordre 4 « exact » dans tous les cas considérés ici

• Ordre 2 centré « exact » avec 400 points

• Ordre 4 meilleur que ordre 2

M2 "Calcul Scientifique" 75

Test numérique

amont ordre 2

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

Ordre 2 centré / Ordre 2 amont

• Ordre 2 centré et amont « exacts » avec 400 points

• Ordre 2 centré et amont déforment le signal si le nombre de points est plus petit, mais pas de la même manière

• Ordre 2 amont amortit plus le signal

• L’ordre ne dit pas tout sur un schéma …