Calcul Scientifique pour les Sciences de l’Ingénieur

Calcul Scientifique pour les Sciences de l’Ingénieur

Bruno Koobus

Franck Nicoud

MOTIVATION

Objectifs

• Techniques et outils de base

• Culture de base sur le calcul scientifique - Exemples

• Résolution d’un problème académique

Motivation

• Les équations des sciences de l’ingénieur sont connues depuis longtemps …

– Eq. de la chaleur (Fourier, 1807)

– Mécanique des fluides (Navier-Stokes, 1822) – Elecromagnétisme (Maxwell, 1873)

• Les inconnues sont des fonctions scalaires ou vectorielles de plusieurs variables: x,y,z,t

• Ces fonctions sont solutions d’équations aux dérivées partielles (EDP) en général non-linéaires

Motivation

• Les cas où une solution analytique peut être trouvée sont très rares et simples:

– géométrie simple – équation linéaire

• Les solutions obtenues sont souvent très

lourdes même pour ces cas simplistes …

Exemple de résolution analytique

• Equation de convection diffusion 1D dans un domaine infini

2 2

0 y

D C x

U C t

C



 



 





? )

, ( x t C

0 ) , (

lim 



 C x t

x

U0

) ( )

0 ,

(x C₀ x

C 

Exemple de résolution analytique

• Si la concentration est initialement de la forme on peut obtenir la solution analytique …

 

  ^ _ ^

 





 

 

Dt a

t U x

Dt a

C a t

x

C

2 0 2

2

0

exp 4

) , (





0

0( ) exp /4

) 0 ,

(x C x C x a

C   

Exemple de résolution analytique

• Effet de la diffusion



 Re

20 Re 

200 Re 

2 Re 

Exemple de résolution analytique

• Equation de la chaleur dans une cavité rectangulaire

 K y

T x

T  



 





2 2 2

0 2

) , 0

( y T

T  T(L, y)  T₀

) 0 ,

(x T

T 

 ( , )  0 )

,

(    ₀ 



  x H h T x H T y

 T

? ) , (x y T

x y

0 0 H

L

Exemple de résolution analytique

• Une méthode de séparation des variables permet d’obtenir la solution analytique de ce petit problème d’école …







 



 



















 



 



 







 



 



 



 



1 2

0 sinh cosh 1 sin

) , (

k

k

k x

L y k

L k L

y k L A k

T y

x

T  









 



 



 



 



 



 



 



 



 







L H h k

L H k L

k

L H k k

H hL L k k

A_k ^kL





 





 





sinh cosh

1 cosh

sinh k ^{ 2 0}





k K

 

Exemple de résolution analytique Effet des fuites par convection

 0

h h  0.01

Passage à des configurations plus complexes …

• Les cas académiques sont très utiles pour

comprendre les phénomènes de bases, étudier les effets des différents termes des équations

• Les problèmes posés en pratique sont inaccessibles à la résolution analytique

• Il est alors naturel de faire des expériences …

Expériences …

• On imagine que l’on veut fabriquer un avion

• Il est exclu de réaliser toutes les mises au point de la forme extérieure à partir de réalisations à

Expériences …

• On utilise donc des maquettes de taille réduites que l’on met dans une soufflerie

• Le nombre de Reynolds ne peut que très difficilement être respecté (10 à 100 fois trop petit)



L U 



Re

Vitesse de l’avion ou de l’air dans la soufflerie

Mach ≈ 0.9 < 1

Taille de la maquette:

entre 1% et 10% du vrai avion

Viscosité cinématique de l’air.

En gros 1.510^5m²/s

Autre exemple …

Propergol solide

Expériences: de moins en moins !

• La tendance actuelle est à la diminution des expériences à échelle 1 pour réduire les coûts de fabrication

• Les expériences sont réservées aux dernières mises au point avant la certification et la mise en production

• Les phases de mise au point préliminaires font de plus en plus appel à des « souffleries numériques »

• L’idée est de résoudre les EDP régissant le

fonctionnement du système numériquement puisque l’approche analytique est impossible

Simulation numérique

• Lorsque l’on résout les EDP analytiquement, on cherche les

solutions dans des espaces fonctionnels de dimension infinie (e.g. L²)

• Si on y arrive, on a accès à la solution (e.g. la vitesse de l’air autour de l’avion) pour tout point de l’espace, et à chaque instant

• Puisque l’on y arrive presque jamais, on décide de simplifier le

problème en ne cherchant la solution qu’en un nombre fini de points de l’espace et pour un nombre fini d’instants

• On cherche alors les solutions de ce problème discrétisé dans un espace vectoriel de dimension finie.

 ^{x, y,z,t}^{, } ^{x, y, z,t} ^^0,

V

 ^{x y z t}    ^{i n N}  ^M

V _i, _i, _i, _n ,  ,  1,2,...,  1,2,...,

SIMULATION

NUMERIQUE

Maillages: profil d’aile d’avion

non structuré

hybride

Maillages: pot d’échappement

Maillages: injecteur + chambre

Maillages: injecteur + chambre

structuré

Exemple de flamme turbulente stable

Simulation aux Grandes Echelles – CERFACS – A. Sengissen

Exemple en biomédical

Iliac bifurcation – CHU Toulouse

3D model from CT images

artheriography

FUNCTIONAL IMAGING Iliac Bifurcation

Computational Grid Wall Shear Stress Tracers

Trois familles de méthodes

• Éléments finis (B. Koobus)

• Volume finis (non abordés dans ce module)

• Méthodes aux différences finies

(F. Nicoud)

Eléments finis en quelques mots

• A chaque instant, on cherche la solution de l’EDP sous la forme

• Les fonctions forment une base de l’espace de dimension N dans lequel on cherche à

approximer la ‘vraie’ solution f par f_h.

• Les coefficients f_i sont déterminés en imposant à f_h d’être la meilleure approximation de f dans

l’espace de dimension N choisi.



 ^N

i

i i

h x f x

f

1

) ( )

(  

) (x

i 



Éléments finis en quelques mots

• Un choix classique est de prendre linéaire par morceaux et égale à 1 au nœud i du

maillage, nulle partout ailleurs

) (x

i 



Linéaire

1 0

Nulle

Éléments finis en quelques mots

• On cherche à résoudre E(f)=0

• Avec l’approximation on commet une erreur E(f_h)

• La méthode de Galerkin consiste à dire que cette erreur et orthogonale aux fonctions de forme

• N équations, N inconnues …



 ^N

i

i i

h x f x

f

1

) ( )

(  

) (x

i 



^1,2,..., ^{, ( ) ( ) 0}

1

 



 



 



 

 

x d x f

E x N

k ^N

i

i i

k    





ex :   0

 f K

Volumes finis en quelques mots

• Bien adaptés à des problèmes conservatifs du type

• On intègre l’équation sur chaque cellule du maillage et on utilise le théorème de la

divergence

• Les inconnues sont les valeurs moyennes de f sur chaque cellules à l’instant n+1, soit





 

 div F f t

f 





 

 

Vi k

k k k n

i n

i

i F n dS

t f V f

defaces

1  

Vi f_i^n1

Volumes finis en quelques mots

• Les flux sur les faces de sont calculés à partir des valeur de f dans les cellules voisines

V

^

Vi k

k k k n

i n

i

i F n dS

t f V f

defaces

1  

Vi

n1

n2

n3

Différences finies

• Contrairement aux éléments et volumes finis,

cette technique n’est pas adaptée aux maillages non cartésiens

• Mais elle est très intuitive

• En 1D, les trois méthodes sont équivalentes

• Permet d’appréhender beaucoup de concepts ou problèmes numériques communs aux

différentes méthodes

Différences finies

• L’idée est de remplacer les dérivées

partielles aux points de maillage par des développement de Taylor

• Plutôt que de chercher f(x), on cherche les valeurs de f aux nœuds du maillage, soit f =f(x )

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

xi x

1

xi x_i2

1

xi

2

xi

3

xi

DERIVEES

PREMIERES

Dérivées premières

• Développement de Taylor au nœud i:

• Ces développements font apparaître les dérivées de f au nœud i uniquement

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

    2





2 2 1

1

1 2 _x ^{i i}

i i

x i

i i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i



 







 _ ^ _



    2





2 2 1

1

1 2 _x ^{i i}

i i

x i

i i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i



 







 _ ^ _



• Si les nœuds sont régulièrement espacés

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

x

 

2 2 2

1 2 o x

dx f d x dx

xdf f

f

i xi

x i

i   







 

 

2 2 2

1 2 o x

dx f d x dx

xdf f

f

i xi

x i

i   







 

 

1

1 0 2 0 o x

dx xdf f

f

xi

i

i_  _      

Dérivées premières

• Si les nœuds sont régulièrement espacés, la dérivée de f au nœud i est approximée par

• Erreur d’approximation est

• Schéma centré d’ordre 2

x f f f

dx D

df

i

x_i 

 

 ^{ }

2

1 0 1

1

) ( x o 

Dérivées premières

• On peut manipuler les développements limités pour obtenir d’autres

approximations de la dérivée première

•

•

) 1 (

1 1

o

x f f f

dx D

df

i x_i

 

 

 ^{ }

Dérivées premières

) 1 (

1 1

o

x f f f

dx D

df

i x_i

 

 

 ^{ }

Maillage non uniforme

• Développement de Taylor au nœud i:

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

    2





2 2 1

1

1 2 _x ^{i i}

i i

x i

i i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i



 







 _ ^ _



    2





2 2 1

1

1 2 _x ^{i i}

i i

x i

i i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i



 







 _ ^ _



1

1 

  

_i x_i x_i _i  x_i1  x_i

Maillage non uniforme

• Développement de Taylor au nœud i:

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

 

2 2 1 1

1 2 ^

 

   







 _i

x i

x i

i

i o

dx f d dx

f df f

i i

 

2 2 2

1 2 _x ⁱ

i x

i i

i o

dx f d dx

f df f

i i



 







 



_i1²



_i²

  

 



2 2

1 2

2 1 1

2 1

2

1 i i

x i

i i

i i

i i i

i i

i o

dx f df

f f

i































 _{      }

 









  ^ f ^ f ^ f ^ o df ²_{i 1 i 1 i} ²_{i 1} ²_i ²_{i i 1}

• Maillage régulier

• En conservant plus de termes dans les

développements on obtient les schémas à l’ordre 4 et 6 suivants

•

•

) 12 (

8

8 _{1 1 2 3}

2 o x

x

f f

f f

dx

df _{i i i i}

x_i



 







  ^{   }

Ordres plus élevés

) 60 (

9 45

45

9 _{2 1 1 2 3 5}

3 o x

x

f f

f f

f f

dx

df _{i i i i i i}  











 ^  ^{    }

• ordre 1 aval

• ordre 1 amont

• ordre 2 aval

• ordre 2 amont

Formules décentrées

) 1

1 o(

x f f

dx

df _{i i}

x_i

 

 ^ 

) 2 (

3 4 ₁

2 o x

x

f f

f dx

df _{i i i}

x_i



 





  ^{ }

) 2 (

3 4 ₁

2 o x

x

f f

f dx

df _{i i i}

x



 



 ^  ^

) 1

1 o( x

f f

dx

df _{i i}

x_i

 

  ^

• Problème modèle 1D: Eq. de convection

• Conditions limites et initiale:

Comparaison des schémas

m/s 1 ,

m 8 m

2 ,

0 ₀

0     



 



 x U

x U f t

f





exp )

0 ,

(x   x² a² a 

f ^{f (2,t)  f (8,t)  0}

s

 0

t t  5s

• Équation semi-discrète

• On calcule les f

entre t=0 et t=5 s à partir des deux schémas

Test numérique

i Df

dt U df

i

i  ₀  0, 

0

1

0 



  ^

x f U f

dt

df_{i i i}

2 0

1 1

0 



 ^  ^ x

f U f

dt

df_{i i i}

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

fi x

1

fi f_i2

1

fi

2

fi

3

fi

Test numérique

amont ordre 1

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

Ordre 2 centré / Ordre 1 amont

• Ordre 1 introduit de la diffusion … (cf solution analytique avec Re=2)

• Ordre 2 centré « exact » avec 400 points

• Ordre 2 centré déforme le signal si le nombre de points est plus petit

• Ordre 2 meilleur que ordre 1

Test numérique

centré ordre 4

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

Ordre 2 centré / Ordre 4 centré

• Ordre 4 « exact » dans tous les cas considérés ici

• Ordre 2 centré « exact » avec 400 points

• Ordre 4 meilleur que ordre 2

Test numérique

amont ordre 2

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

Ordre 2 centré / Ordre 2 amont

• Ordre 2 centré et amont « exacts » avec 400 points

• Ordre 2 centré et amont déforment le signal si le nombre de points est plus petit, mais pas de la même manière

• Ordre 2 amont amortit plus le signal

• L’ordre ne dit pas tout sur un schéma …

Analyse spectrale

• Cas d’une fonction harmonique

• Schéma centré d’ordre 2

• L’erreur commise est

exp( ) Re exp( )

Re )

( jk jkx

dx jkx df

x

f   

 

x f f

dx x df

jki

f ^{i i}

x i

i 

 



 ^{ }

, 2 ) exp(

Re ^{1 1}



 



 sin(  ) exp( )

Re jki x

x k

x jk k

dx df

xi

x k

x k



 ) sin(

Signification de kx

• Sinusoïde de période L décrite avec N points

•  x = L / N, k = 2  /L donc kx = 2  / N

(exact)

 0

x

k 4

  kx

2

 

kx kx 

Analyse spectrale

• Tout se passe comme si on résolvait l’équation

• Les différentes longueurs d’onde ne se déplacent pas à la même vitesse

) 0 sin(

0 







 





x f x

k

x U k

t f

centré

ordre 2 exact

MD "Calcul Scientifique" 54

Analyse spectrale

• Équation effective _{0 ( )  0}



 

 



x x f

k E t U

f

SCHEMA

Centré ordre 2

Amont ordre 1

Amont ordre 2

Centré ordre 4





Re E kx ^Im





0

0 x

k

x k



 ) sin(

x k

x k



 ) sin(

x k

x k





 ) 1 cos(





)

sin( k x

x k

x

k  





x k

x k x

k











 cos(2 ) 4cos( ) 3





)

sin(k x k x



 



Analyse spectrale

Lien avec l’ordre du schéma

• Dans la limite kx → 0, la vitesse de propagation tend vers U₀

• La vitesse avec laquelle l’erreur tend vers zéro dépend de l’ordre du schéma

• Au voisinage de 0, Re(E(kx)) = 1+O((kx)ⁿ), avec n l’ordre du schéma

• La partie imaginaire de l’erreur n’est pas directement reliée à l’ordre du schéma

• Les schémas centrés sont non dissipatifs: Im(E(kx)) = 0

Dispersion

• La vitesse de propagation effective n’est égale à la vitesse théorique que dans la limite kx → 0

• Une perturbation peut donc être propagée trop lentement ou trop vite

• Les fonctions et ne sont pas propagées à la même vitesse en général

• Que se passe-t-il lorsque l’on convecte ?f (x) e jkx e ^jk'x,k  k'

Déformation du signal

• On peut décomposer cette fonction comme une somme de fonctions harmoniques (en rendant f périodique

éventuellement)

• La solution théorique après t s de simulation est

• Numériquement le mode devient

• La solution numérique est donc



 f_ke ^jkx x

f ( ) ˆ





 ₀ ) ˆ ^{( 0 )} (x U t f_ke ^{jk x U t} f

) ) (

(x E k x U₀t

e jk ^{ }

e jkx

ˆ ( )

)

( ₀ ^{( 0 )} ₀

)) 0 ( 1 (

t U x

f e

g t

U x

g ^{jk x U t}

e

k

t U x k E jk















DERIVEES

SECONDES

• Maillage régulier

• On utilise le fait que

• En appliquant l’opérateur à

Dérivées secondes

) 2 (

1 0

1 1

0 0 1

1 0 2 1

2

x x o

f D f

f D D

dx D f

d

i x_i



 

 

 ^{ }

i xi

x dx

df dx

d dx

f

d 



2 

2

f

D

0

D

) 4 (

2

2

2 2 2

, 0 2 2

2

x x o

f f

f f dx D

f

d

i  





 

 ^{ }

• Si les nœuds sont régulièrement espacés

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

x

Problème de localité

2

2 2

2 2

4 2

x

f f

f dx

f

d _{i i i}

x_i 



 ^  ^

x

La dérivée seconde approximée de cette fonction

• Déduire la dérivée seconde des développements de Taylor

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

 

3 3 3 2

2 2

1 2 6 o x

dx f d x dx

f d x dx

xdf f

f

i

i xi x

x i

i   

 







 

 

3 3 3 2

2 2

1 2 6 o x

dx f d x dx

f d x dx

xdf f

f

i

i xi x

x i

i   

 







 

Dérivées secondes

) 2 (

2

1 1 1

, 0 2 2

2

x x o

f f

f f dx D

f

d

i  





 

 ^{ }