Calcul Scientifique pour les Sciences de l’Ingénieur

Calcul Scientifique pour les Sciences de l’Ingénieur

Bruno Koobus

Franck Nicoud

Organisation du module

Date Horaire

Intervenant Lieu Séance

12/03/09 9h-12h

F. Nicoud Bat. 16

TD 02 Cours 1

19/03/09 9h-12h

F. Nicoud Bat. 18 TD 02

Cours 2

23/03/09 9h-12h

F. Nicoud Bat. 9 TD 33

Cours 3

25/03/09 8h-11h

B. Koobus Bat. 9

TD 32 Cours 4

30/03/09 8h-11h

B. Koobus Bat. 9

TD 33 Cours 5

02/04/09 15h-18h

B. Koobus Bat. 6

A préciser Cours 6

Trois familles de méthodes

• Éléments finis (B.

Koobus)

• Volume finis (non abordés dans ce module)

• Méthodes aux différences finies

MD "Calcul Scientifique" 4

Eléments finis en quelques mots

• A chaque instant, on cherche la solution de l’EDP sous la forme

• Les fonctions forment une base de l’espace de

dimension N dans lequel on cherche à approximer la

‘vraie’ solution f par fh.

• Les coefficients fi sont déterminés en imposant à fh

d’être la meilleure approximation de f dans l’espace de dimension N choisi.



 ^N

i

i i

h x f x

f

1

) ( )

(  

) (x

i 



Éléments finis en quelques mots

• Un choix classique est de prendre linéaire par morceaux et égale à 1 au nœud i du maillage, nulle partout ailleurs

) (x

i 



1 0

Nulle

MD "Calcul Scientifique" 6

Éléments finis en quelques mots

• On cherche à résoudre E(f)=0

• Avec l’approximation on commet une erreur E(fh)

• La méthode de Galerkin consiste à dire que cette erreur et orthogonale aux fonctions de forme

• N équations, N inconnues …



 ^N

i

i i

h x f x

f

1

) ( )

(  

) (x

i 



^1,2,..., ^{, ( ) ( ) 0}

1

 



 



 



 

 

x d x f

E x N

k ^N

i

i i

k    





ex :   0

 f K

Volumes finis en quelques mots

• Bien adaptés à des problèmes conservatifs du type

• On intègre l’équation sur chaque cellule du maillage et on utilise le théorème de la divergence

• Les inconnues sont les valeurs moyennes de f sur chaque cellules à l’instant n+1, soit





 

 div F f t

f 





 

 

Vi k

k k k n

i n

i

i F n dS

t f V f

defaces

1  

V f ^n1

MD "Calcul Scientifique" 8

Volumes finis en quelques mots

• Les flux sur les faces de sont calculés à partir des valeur de f dans les cellules voisines

V

^

Vi k

k k k n

i n

i

i F n dS

t f V f

defaces

1  

Vi

n1

n2

n3

Différences finies

• Contrairement aux éléments et volumes finis, cette technique n’est pas adaptée aux maillages non

cartésiens

• Mais elle est très intuitive

• En 1D, les trois méthodes sont équivalentes

• Permet d’appréhender beaucoup de concepts ou

MD "Calcul Scientifique" 10

Différences finies

• L’idée est de remplacer les dérivées partielles aux points de maillage par des développement de Taylor

• Plutôt que de chercher f(x), on cherche les

valeurs de f aux nœuds du maillage, soit f

=f(x

)

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

xi x

1

xi x_i2

1

xi

2

xi

3

xi

DERIVEES

PREMIERES

MD "Calcul Scientifique" 12

Dérivées premières

• Développement de Taylor au nœud i:

• Ces développements font apparaître les dérivées de f au nœud i uniquement

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

    2





2 2 1

1

1 2 _x ^{i i}

i i

x i

i i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i



 







 _ ^ _



    2





2 2 1

1

1 2 _x ^{i i}

i i

x i

i i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i



 







 _ ^ _



• Si les nœuds sont régulièrement espacés

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

x

 

2 2 2

1 2 o x

dx f d x dx

xdf f

f

i xi

x i

i   







 

 

2 2 2

1 2 o x

dx f d x dx

xdf f

f

i xi

x i

i   







 

Dérivées premières

MD "Calcul Scientifique" 14

• Si les nœuds sont régulièrement espacés, la dérivée de f au nœud i est approximée par

• Erreur d’approximation est

• Schéma centré d’ordre 2

x f f f

dx D

df

i

x_i 

 

 ^{ }

2

1 0 1

1

) ( x o 

Dérivées premières

• On peut manipuler les développements

limités pour obtenir d’autres approximations de la dérivée première

•

•

) 1 (

1 1

o

x f f f

dx D

df

i x_i

 

 

 ^{ }

Dérivées premières

) 1 (

1 1

o

x f f f

dx D

df

i 



 

 ^{ }

MD "Calcul Scientifique" 16

Maillage non uniforme

• Développement de Taylor au nœud i:

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

    2





2 2 1

1

1 2 _x ^{i i}

i i

x i

i i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i



 







 _ ^ _



    2





2 2 1

1

1 2 _x ^{i i}

i i

x i

i i

i o x x

dx f d x

x dx

x df x

f f

i i



 







 _ ^ _



1

1 

  

_i x_i x_i _i  x_i1  x_i

Maillage non uniforme

• Développement de Taylor au nœud i:

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

 

2 2 1 1

1 2 ^

 

   







 _i

x i

x i

i

i o

dx f d dx

f df f

i i

 

2 2 2

1 2 _x ⁱ

i x

i i

i o

dx f d dx

f df f

i i



 







 



_i1²



_i²



 

 



2

2 df o

f f

f               



MD "Calcul Scientifique" 18

• Maillage régulier

• En conservant plus de termes dans les

développements on obtient les schémas à l’ordre 4 et 6 suivants

•

•

) 12 (

8

8 _{1 1 2 3}

2 o x

x

f f

f f

dx

df _{i i i i}

x_i



 







  ^{   }

Ordres plus élevés

) 60 (

9 45

45

9 _{2 1 1 2 3 5}

3 o x

x

f f

f f

f f

dx

df _{i i i i i i}

x_i



 









 ^  ^{    }

• ordre 1 aval

• ordre 1 amont

• ordre 2 aval

Formules décentrées

) 1

1 o(

x f f

dx

df _{i i}

x_i

 

 ^ 

) 2 (

3 4 ₁

2 o x

x

f f

f dx

df _{i i i}

x_i



 





  ^{ } ) 1

1 o( x

f f

dx

df _{i i}

x_i

 

  ^

MD "Calcul Scientifique" 20

• Problème modèle 1D: Eq. de convection

• Conditions limites et initiale:

Comparaison des schémas

m/s 1 ,

m 8 m

2 ,

0 ₀

0     



 



 x U

x U f t

f





exp )

0 ,

(x   x² a² a 

f ^{f (2,t)  f (8,t)  0}

s

 0

t t  5s

Exemple de résolution analytique

• Equation de convection diffusion 1D dans un domaine infini

2C C

C  



? )

, ( x t C

0 ) , (

lim 



 C x t

x

U0

) ( )

0 ,

(x C₀ x

C 

MD "Calcul Scientifique" 22

Exemple de résolution analytique

• Si la concentration est initialement de la forme on peut obtenir la solution analytique …

 

  ^ _ ^

 





 

 

Dt a

t U x

Dt a

C a t

x

C

2 0 2

2

0

exp 4

) , (





0

0( ) exp /4

) 0 ,

(x C x C x a

C   

Exemple de résolution analytique

• Effet de la diffusion



 Re

20 Re 

200 Re 

2 Re 

MD "Calcul Scientifique" 24

• Équation semi-discrète

• On calcule les f

entre t=0 et t=5 s à partir des deux schémas

Test numérique

i Df

dt U df

i

i  ₀  0, 

0

1

0 



  ^

x f U f

dt

df_{i i i}

2 0

1 1

0 



 ^  ^

x f U f

dt

df_{i i i}

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

fi x

1

fi f_i2

1

fi

2

fi

3

fi

amont ordre 1 centré ordre 2

Test numérique

amont ordre 1

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

MD "Calcul Scientifique" 26

Ordre 2 centré / Ordre 1 amont

• Ordre 1 introduit de la diffusion … (cf solution analytique avec Re=2)

• Ordre 2 centré « exact » avec 400 points

• Ordre 2 centré déforme le signal si le nombre de points est plus petit

• Ordre 2 meilleur que ordre 1

Test numérique

aval ordre 1

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

MD "Calcul Scientifique" 28

Ordre 2 centré / Ordre 1 aval

• Ordre 1 aval ne permet pas d’obtenir de solution « acceptable » à t=5

• L’amplitude obtenue est très grande

• Le signal n’est pas la forme d’une Gaussienne

Test numérique

centré ordre 4

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

MD "Calcul Scientifique" 30

Ordre 2 centré / Ordre 4 centré

• Ordre 4 « exact » dans tous les cas considérés ici

• Ordre 2 centré « exact » avec 400 points

• Ordre 4 meilleur que ordre 2

Test numérique

amont ordre 2

centré ordre 2

400 noeuds 200 noeuds 100 noeuds

MD "Calcul Scientifique" 32

Ordre 2 centré / Ordre 2 amont

• Ordre 2 centré et amont « exacts » avec 400 points

• Ordre 2 centré et amont déforment le signal si le

nombre de points est plus petit, mais pas de la même manière

• Ordre 2 amont amortit plus le signal

• L’ordre ne dit pas tout sur un schéma …

Consistance/convergence/stabilité

• Tous les schémas testés sont consistants (ordre strictement supérieur à 0)

• Presque tous sont stables (solution bornée), à part le schéma aval d’ordre 1

• Le théorème d’équivalence de Lax permet alors d’assurer que mis à part le schéma aval d’ordre 1, tous les schémas testés sont convergents

MD "Calcul Scientifique" 34

ANALYSE

SPECTRALE

Analyse spectrale

• Cas d’une fonction harmonique

• Schéma centré d’ordre 2

exp( ) Re exp( )

Re )

( jk jkx

dx jkx df

x

f   

 

x f f

dx x df

jki

f ^{i i}

x i

i 

 



 ^{ }

, 2 ) exp(

Re ^{1 1}



 



 sin(  ) exp( )

Re jki x

x k

x jk k

dx df

xi

MD "Calcul Scientifique" 36

Signification de kx

• Sinusoïde de période L décrite avec N points

•  x = L / N, k = 2  /L donc kx = 2  / N

(exact)

 0

x

k 4

  kx

2

 

kx kx 

Analyse spectrale

• Tout se passe comme si on résolvait l’équation

• Les différentes longueurs d’onde ne se déplacent pas à la même vitesse

) 0 sin(

0 







 





x f x

k

x U k

t f

centré

MD "Calcul Scientifique" 38

Analyse spectrale

• Équation effective ₀ ( )  0



 

 



x x f

k E t U

f

SCHEMA

Centré ordre 2

Amont ordre 1

Amont ordre 2

Centré ordre 4





Re E kx ^Im





0

0 x

k

x k



 ) sin(

x k

x k



 ) sin(

x k

x k





 ) 1 cos(





)

sin( k x

x k

x

k  





x k

x k x

k











 cos(2 ) 4cos( ) 3





3

)

sin( k x

x k

x

k  





Analyse spectrale

MD "Calcul Scientifique" 40

Lien avec l’ordre du schéma

• Dans la limite kx → 0, la vitesse de propagation tend vers U0

• La vitesse avec laquelle l’erreur tend vers zéro dépend de l’ordre du schéma

• Au voisinage de 0, Re(E(kx)) = 1+O((kx)ⁿ), avec n l’ordre du schéma

• Au voisinage de 0, Im(E(kx)) = O((kx)ⁿ), avec n l’ordre du schéma

• Les schémas centrés sont non dissipatifs: Im(E(kx)) = 0

• Les schémas stables sont tels que: Im(E(kx)) ≤ 0

Dispersion

• La vitesse de propagation effective n’est égale à la vitesse théorique que dans la limite kx → 0

• Une perturbation peut donc être propagée trop lentement ou trop vite

• Les fonctions et ne sont pas propagées à la même vitesse en général

• Que se passe-t-il lorsque l’on convecte ?f (x) e jkx e ^jk'x,k  k'

MD "Calcul Scientifique" 42

Déformation du signal

• On peut décomposer cette fonction comme une somme de fonctions harmoniques (en rendant f périodique

éventuellement)

• La solution théorique après t s de simulation est

• Numériquement le mode devient

• La solution numérique est donc



 f_ke ^jkx x

f ( ) ˆ





 ₀ ) ˆ ^{( 0 )} (x U t f_ke ^{jk x U t} f

) ) (

(x E k x U₀t

e jk ^{ }

e jkx

ˆ ( )

)

( ₀ ^{( 0 )} ₀

)) 0 ( 1 (

t U x

f e

g t

U x

g ^{jk x U t}

e

k

t U x k E jk















DERIVEES

SECONDES

MD "Calcul Scientifique" 44

• Maillage régulier

• On utilise le fait que

• En appliquant l’opérateur à

Dérivées secondes

) 2 (

1 0

1 1

0 0 1

1 0 2 1

2

x x o

f D f

f D D

dx D f

d

i x_i



 

 

 ^{ }

i xi

x dx

df dx

d dx

f

d 



2 

2

f

D

0

D

) 4 (

2

2

2 2 2

, 0 2 2

2

x x o

f f

f f dx D

f

d

i x_i



 



 

 ^{ }

• Si les nœuds sont régulièrement espacés

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

x

Problème de localité

2

2 2

2 2

4 2

x

f f

f dx

f

d _{i i i}

x_i 



 ^  ^

x

MD "Calcul Scientifique" 46

• Déduire la dérivée seconde des développements de Taylor

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

 

3 3 3 2

2 2

1 2 6 o x

dx f d x dx

f d x dx

xdf f

f

i

i xi x

x i

i   

 







 

 

3 3 3 2

2 2

1 2 6 o x

dx f d x dx

f d x dx

xdf f

f

i

i xi x

x i

i   

 







 

Dérivées secondes

) 2 (

2

1 1 1

, 0 2 2

2

x x o

f f

f f dx D

f

d

i x_i



 



 

 ^{ }

• Si les nœuds sont régulièrement espacés

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

x

Problème de localité

2

1 1

2 2

x

f f

f dx

f

d _{i i i}

x_i 



 ^  ^

x

MD "Calcul Scientifique" 48

Analyse spectrale

• Cas d’une fonction harmonique

• Schéma centré d’ordre 2 à 2 

• L’erreur commise est

^{exp( )} ^Re





Re )

( ₂ ²

2

jkx dx k

f jkx d

x

f    

^{exp( )}^{, 2} ₂ ^{1 2} ₂ ¹

Re x

f f

f dx

f x d

jki

f ^{i i i}

x i

i 



 



 ^{ }



 





 cos(  ) 1exp( ) 2

Re ₂

2 2

x x jki

x k dx

f d

xi

2 2

) cos(

21

x k

x k







Analyse spectrale

• Schéma centré d’ordre 2 à 4

• L’erreur commise est

  ² ₂ ² ₂ ²

4 , 2

) exp(

Re x

f f

f dx

f x d

jki

f ^{i i i}

x i

i 



 



 ^{ }



 





 cos(2  ) 1exp( ) 2

Re 1 ₂

2 2

x x jki

x k dx

f d

xi

2

2 2

) 2

cos(

1

x k

x k







MD "Calcul Scientifique" 50

Analyse spectrale

• Les erreurs sont réelles uniquement, donc pas de convection numérique

 2

 4

• Si les nœuds sont régulièrement espacés

i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

Interprétation volumes finis

2

1 1

2

2 _{1/2 1/2} 2

x

f f

f x

dx df dx

df dx

f

d x x _{i i i}

x

i i

i 



 





 ^{   }

MD "Calcul Scientifique" 52

Retour sur le schéma amont ordre 1

• Rappel: ce schéma introduit beaucoup de dissipation par comparaison avec le centré d’ordre 2

• En effet:

• Utiliser ce schéma revient donc à résoudre

avec un schéma centré d’ordre 2

2

1 1

1 1

1 2

2

2

x

f f

f x x

f f

x f

f







 



 



 _{    }

2 2 0

0 2 x

x f U

x U f

t f

D





 



 











i i1 i 2

1 i

2 i

3

i x

Laplacien

2

2

f f f f f

f

j

1 j

2 j

1 j

 2 j

x

y

December, 2007 VKI Lecture 54

Another consequence of dispersion

• In practical computations, the solution may be polluted by high frequency numerical perturbations

• In practice, the numerical perturbations are not single harmonics

• Consider a simple wave packet :

 ^{jkx jKx}  ^{k K}

x

f ( )  Re exp(  ) , 

x 2/K

2/k