Devoir de vacances de Math´ ematiques
Bonjour et bienvenue en Classe Pr´eparatoire ATS !
En math´ematiques, vous allez pouvoir renforcer vos bases, combler vos lacunes et d´ecouvrir de jolis th´eor`emes.
En attendant, il est tr`es important de vous pr´eparer afin d’optimiser votre ann´ee.
Je vous propose un devoir maison en plusieurs parties : 1. Kit de survie !
Tout ce que vous apprendrez cet ´et´e vous fera gagner du temps les premi`eres semaines de l’ann´ee, et en classe pr´epa, le temps c’est pr´ecieux !
2. Devoir maison sous forme d’exercices
Cette partie sera r´edig´ee sur copie double et ramass´ee le jour de la rentr´ee.
remarque
Pour toute question, je suis joignable par mail : [email protected]
Exercice 1 (ATS 2015).
Exercice optionnel Soient z1 = √
3−i et z2 = 1−i, apr`es avoir calculer z = zz1
2, donner la valeur exacte de sin 11π12 . Indication
Passez par les formes exponentielles.
Exercice 2 (Ensea, ATS oral 2018).
R´esoudre dans R: p
cos(x) +p
sin(x) = 1 Indication:
Etudier la fonction´ x 7→p
cos(x) +p
sin(x) sur R et chercher une solution ´evidente.
Exercice 3 (Ensea, ATS oral 2018).
Calculer la d´eriv´ee de x 7→ exp x−1x2
.
Exercice 4 (ATS 2014).
Etudier les fonctions´ x et y d´efinies sur : (x(t) = exp 1 + 1t
y(t) = exp 1 + 1t avec t∈ R∗. Exercice 5 (ATS 2015).
Etude de la fonction´ f(x) = lnxx et trac´e du graphique . En d´eduire la r´esolution de xy = yx sur N2.
1
Exercice 6
1. Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances.
On suppose connu le r´esultat suivant :
La fonction x 7→ ex est l’unique fonction ϕ d´erivable sur R telle que ϕ0 = ϕ, et ϕ(0) = 1.
Soit a un r´eel donn´e.
(a) Montrer que la fonction f d´efinie sur Rpar f(x) = eax est solution de l’´equation y0 = ay.
(b) Soit g une solution de l’´equation y0 = ay. Soit h la fonction d´efinie sur R par h(x) = g(x)e−ax. Montrer que h est une fonction constante.
(c) En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation y0 = ay.
2. On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E) : y0 = 2y+ cosx.
(a) D´eterminer deux nombres r´eels a et b tels que la fonction f0 d´efinie sur R par : f0(x) =acosx+ bsinx
soit une solution f0 de (E).
(b) R´esoudre l’´equation diff´erentielle (E0) : y0 = 2y.
(c) D´emontrer que f est solution de (E) si et seulement si f −f0 est solution de (E0).
(d) En d´eduire les solutions de (E).
(e) D´eterminer la solution k de (E) v´erifiant k π
2
= 0.
2
Exercice 7
1. On consid`ere la fonction f1 d´efinie sur [0 ; +∞[ par f1(x) = 2x−2 + ln x2 + 1
. (a) D´eterminer la limite de f1 en +∞.
(b) D´eterminer la d´eriv´ee de f1.
(c) Dresser le tableau de variations de f1.
2. Soit n un entier naturel non nul. On consid`ere la fonction fn, d´efinie sur [0 ; +∞[
par
fn(x) = 2x−2 + ln x2 + 1
n .
(a) D´eterminer la limite de fn en +∞.
(b) D´emontrer que la fonction fn est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
(c) D´emontrer que l’´equationfn(x) = 0 admet une unique solutionαn sur [0 ; +∞[
(d) Justifier que, pour tout entier naturel n, 0 < αn < 1.
3. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, fn(αn+1) > 0.
4. Etude de la suite (αn)
(a) Montrer que la suite (αn) est croissante.
(b) En d´eduire qu’elle est convergente.
(c) Utiliser l’expression αn = 1 − ln α2n + 1
2n pour d´eterminer la limite de cette suite.
3
