MATHS Term FONCTIONS ET LIMITES EXERCICES
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1. DOMAINE, DERIVATION, LIMITES SIMPLES, ASYMPTOTES
Exercice 1.1
Soit la fonction f définie sur ℝ\
{ }
−2 par f x( )
x xx
− − +
= +
2 3
2 . 1) Montrer qu’il existe des réels a, b et c tels que f x
( )
ax b c= + + x
+2. Déterminer alors les limites de f en +∞ et en −∞ et prouver l’existence d’une asymptote d’équation y= − +x 1.
2) Dériver f , étudier le signe de f′
( )
x et établir le tableau de variation de f.Exercice 1.2
Soit la fonction f définie sur ℝ\
{ }
1 par f x( )
= x − −x(
x− x)
−3 2
4 4
2 1 et
( )
C sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.1) Déterminer les réels a, b, c et d tels que f x
( )
ax bx c d= + + + x
−
2
1.
2) Déterminer les limites éventuelles de f à chacune des bornes des intervalles de définition.
3) Montrer que
( )
C et la parabole P d’équation y=1x2−2 2 sont asymptotes en +∞ et en −∞. 4) Dériver f , étudier le signe de f′
( )
x et établir le tableau de variation de f.2. LIMITES ET THEOREMES DE COMPARAISON
Exercice 2.1
1) Montrer que pour tout réel x, cosx+sinx ≤2 .
2) A l’aide d’un théorème de comparaison, en déduire cos sin lim
x
x x
→+∞ x
+ .
Exercice 2.2
1) Montrer que pour tout réel x, si x≥1 , alors x
≤x ≤ +
1 1
2 1 .
2) A l’aide d’un théorème de comparaison, en déduire lim
x
x x
→+∞x+1 et
( )
lim
x
x
→+∞ x x+1 .
3. THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES
Exercice 3.1
1) Montrer que l’équation x3+ + =x 1 0 admet une unique solution α dans [-2 ; 2].
2) Déterminer un encadrement de α par ses valeurs approchées à 10-1 près.
Exercice 3.2
1) Montrer que l’équation − +x3 x2− +x 1 =
2 0
16 admet trois solutions en tout, l’une dans
0 ;1
2 , une autre dans
1; 1
2 et la dernière dans
1 ;3 2 .
2) Déterminer des encadrements de ces solutions par leurs valeurs approchées à 10-1 près.
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2 Exercice 3.3 : vrai ou faux ?
Soit la fonction f définie par f x
( )
x= x −
− 1
1 .
a. La restriction de f à l’intervalle [0 ; 1[ est une bijection de [0 ; 1[ sur [-1 ; +∞[.
b. La restriction de f à ]1 ; +∞[ admet une réciproque définie sur ℝ et à valeurs dans ]1 ; +∞[.
c. L’équation x
+ 1x =
1 admet une unique solution.
d. Pour tout a < 0, l’équation f x
