Exercice 1 - Déterminer les racines demandées, en utilisant l’écriture cartésienne : a.

(1)

Exercice 1 -

Déterminer les racines demandées, en utilisant l’écriture cartésienne : a. 1 5i+

On pose : ^z²⁼

(

^x⁺^iy

)

²^{= +}¹ ⁵ⁱ. On développe : x²−y²+i xy.2 = +1 5i On identifie, ainsi on obtient un système d’équations à deux inconnues :

2 2 1

2 5

x y

xy

 − =

 =

 d’où il vient :

4 2 25

4 0 5 2

x x

y x

 − − =



 =



On pose : X =x², forcément positif, d’où : ² 25 4 0

X − −X = qui a pour solutions :

1

1 26

2 0

X = + > et ₂ 1 26

2 0

X = − < ; seule la première convient.

On a donc pour x deux racines réelles :x= ± X₁ , donc deux solutions à notre problème :

; ;

1 1 2 2

1 2

1 26 5 1 26 5

2 2 ou 2 2

x y x y

x x

 +   + 

 = =   = − = 

   

   

b. 6 2i+

deux solutions : ₁ ₁ ₂ ₂

1 2

1 1

3 10 ou 3 10

x y x y

x x

= + = = − + =

c. 1+i

1 2

1 2 1 1 2 1

2 2 ou 2 2

x y x y

x x

+ +

= = = − =

d. i

deux solutions : ₁ ² ₁ ₁ ou ₂ ² ₂ ₂

2 2

x = y =x x = − y =x

e. −i

deux solutions : ₁ ² ₁ ₁ ou ₂ ² ₂ ₂

2 2

x = y = −x x = − y = −x

f. 1 2 1 4 i i +

−

1 2

7 85 3 7 85 3

34 17 ou 34 17

x y x y

x x

− + − +

= = = − =

Exercice 2 -

Déterminer les racines demandées, en utilisant l’écriture polaire ou exponentielle : a. ^z⁼

( )

¹^,^π

En coordonnées polaires, le module de la racine est égal à la racine du module et l’argument de la racine est égal à l’argument divisé par le degré de la racine, ainsi :

(2)

[ ]

, 2 ,

1 1

2 2 2

z  π π   π 

=   = π . On obtient donc deux nombres complexes distincts :

[ ]

0 1, 2

z  2π 

= π 

  et ^z¹⁼^^_¹^,³₂^π

[ ]

²^π ^^_, soit en représentation cartésienne :z0 =i et z1 = −i. b. z=³eⁱ³^π

2

eⁱ 3

z

π

 

π 

= . On obtient donc trois racines distinctes :

0 eⁱ 1

z = ^π = − , ₁ ³ 1 3

e 2 2

z i i

−π

= = − et ₂ ³ 1 3

e 2 2

z i i

= π = + .

c. z ⁵eⁱ²

= π

2 10 5

eⁱ z

π π

 

 

= , soit cinq racines distinctes : z₀ eⁱ¹⁰

= π , z₁ eⁱ² i

= π = ,

9 10 2 eⁱ z

= π,

13 10 3 eⁱ z

= π et

17 10 4 eⁱ z

= π

Exercice 3 -

On note M(z) un point quelconque du plan complexe, d’affixe z, et g l’application du plan qui, à M(z), associe le point N( z). En se servant de l’écriture exponentielle d’un nombre complexe, on se propose de répondre à la question suivante : quelle est l’image par g du demi-cercle de centre O, de rayon 2, formé par les points d’abscisses x positives ?

1) Donner l’écriture exponentielle des complexes z des points M de ce demi-cercle (vous donnerez en particulier le ou les intervalles que décrivent les arguments de ces nombres complexes).

L’écriture exponentielle du complexe affixe d’un point quelconque de ce demi-cercle est z = 2eⁱ^θ, avec θ∈ [− + ππ 2k

2 ; π + π2k

2 ].

2) Décrire alors le module et l’argument des complexes z. Celle de sa racine carrée est alors f (z) = 2 eⁱ^θ^/2,

avec θ/2 ∈ [− + ππ k

4 ; π + πk

4 ].

Les points N correspondants sont ceux de deux quarts de cercle, de rayon 2 , dans les intervalles d’angles cités.

3) Représenter sur un schéma l’ensemble des points M(z) et de celui des points N( z).

4) Calculer précisément les coordonnées d’un des points N (au choix) situés aux extrémités de leur domaine.

Les abscisses et ordonnées des points N situés aux extrémités du domaine sont obtenues grâce aux angles correspondants. Par exemple en haut, à droite :

( ) ( )

.cos .cos . .sin .sin .

x=r θ = ^π ^= = y=r θ = ^π^= =

   

1 1

2 2 1 ; 2 2 1

4 2 4 2

(3)

Exercice 4 -

Résoudre dans ℂ les équations suivantes : a. z² - 6z + 20 = 0

∆ = 36 – 80 = -44, strictement négatif. Les deux solutions de cette équation sont les deux complexes conjugués i

− = −i 6 2 11

3 11

2 ^et3+i 11. b. z² - 6z + 3 = 0

∆ = 36 - 12 = 24, strictement positif. Les deux solutions de cette équation sont les deux réels

− = − 6 2 6

3 6

2 ^et3+ 6. c. z² - iz + i = 0

C’est une équation à coefficients complexes. Dans le corps des complexes, la méthode générale est la même que pour les réels : ∆ = b² - 4ac, puis, cette fois quel que soit ∆, b

z a

− ± ∆

= 2 , la difficulté rési- dant dans la recherche de ∆. ∆ = (-i)² - 4i = -1 - 4i. Recherche de − −1 4i :

( )

2 4 2

2 2 2

2

4 1 4 0

1 4 1 2

2 4 2

x x x

x y x

x iy i

xy y

y x x

 − = −  + − =

 − = −  

+ = − − ⇔  = − ⇔  =− ⇔  =−

On aboutit à une équation bicarrée, que l’on résout en notant X = x² : X² + X – 4 = 0 ; ∆ = 17 ; X = 1 17

2

− + (forcément positif)

x = 1 17

2

± − + et y =

( )

( )( )

2 1 17

2 2 1 17 1 17

2 2 2

8 2

1 17 1 17 1 17

x

− = = + = + = +

− + − + +

∓ ∓ ∓ ∓

Nous avons le choix entre deux complexes opposés pour citer − −1 4i, prenons par exemple :

1 17 1 17

2 i 2

− + +

∆ = −

Solutions de l’équation :

1 17 1 17

2 2

i i

z b

a

− + +

− ± ∆ ±

= =

∓

d. z² = iz

C’est une équation à coefficients complexes.

* Avec le discriminant :

∆ = -1 – 0 = -1 et les deux solutions sont

2 2

b i i

z a

− ± ∆ ±

= = , soit 0 et i.

* On peut aussi, dans des cas simples et si on s’ennuie un peu, tenter une identification. En posant z = x + iy, l’équation devient :

(x + iy)² = i(x + iy) ⇔

2 2

2

x y y

xy x

 − = −

 =

 (séparation des parties réelle et imaginaire) Cas n°1 : x = 0 (qui vérifie la seconde équation)

La première équation devient alors − = −y² y, dont les solutions sont 0 et 1. Les nombres complexes 0 et i sont solutions de l’équation initiale.

(4)

Cas n°2 : x ≠ 0

La seconde équation donne y = 1/2 et donc la première équation devient ² 1

x = −4 , qui n’admet pas de solution réelle. Ce second cas ne produit donc pas de solution pour l’équation initiale.

Conclusion : les solutions de l’équation z² = iz sont 0 et i.

e. z² - iz + 20 = 0

C’est une équation à coefficients complexes.

* Avec le discriminant :

∆ = -1 – 80 = -81 et les deux solutions sont 9

2 2

b i i

z a

− ± ∆ ±

= = , soit 5i et -4i.

* Avec la méthode d’identification, posant z = x + iy, l’équation devient : (x + iy)² - i(x + iy) + 20 = 0 ⇔

2 2 20 0

2 0

x y y

xy x

 − + + =

 − =

 (séparation des parties réelle et imaginaire) Cas n°1 : x = 0 (qui vérifie la seconde équation)

La première équation devient alors − + +y² y 20=0, dont le discriminant vaut 81 et dont les deux solutions réelles sont 5 et -4. Les nombres complexes 5i et -4i sont solutions de l’équation initiale.

Cas n°2 : x ≠ 0

La seconde équation donne y = 1/2 et donc la première équation devient ² 81 4 0

x + = , qui n’admet pas de solution réelle. Ce second cas ne produit donc pas de solution pour l’équation initiale.

Conclusion : les solutions de l’équation z² - iz + 20 = 0 sont 5i et -4i.

Exercice 5 -

Déterminer, dans l'ensemble ℂ , les racines du polynôme : ^{P z}

( )

^{= + +}^z² ^iz ²ⁱ₄⁻¹

Calcul du discriminant : ^{∆ = − −}¹

(

²ⁱ^{− = −}¹

)

²ⁱ, de forme exponentielle : 2e ⁱ²

−π

∆ = ^, d’où une racine carrée : _2e ⁴ ₂ ² ² ₁

2 2

i i i

−π  

∆ = =  − = −

 

Racines du polynôme :

( )

1

1 1

2 2

i i

z − − −

= = − et

( )

2

1 1 2 1

2 2 2

i i i

z =− + − = − = −i

Exercice 6 -

Soit le polynôme complexe P(z) = z³ – z² + (1 – 3i)z + 2(–1 + i).

1) Montrer que 1 + i est une racine de ce polynôme.

P(1 + i) = (1 + i)³ – (1 + i)² + (1 – 3i)(1 + i) + 2(–1 + i)

= 1 + 3i - 3 - i - 2i + 1 + i -3i + 3 - 2 + 2i

= 0

2) Factoriser ce polynôme par (z – 1 – i)

P(z) est un polynôme du troisième degré et dont le premier coefficient est 1. Il peut donc être écrit comme le produit d’un polynôme de degré 1 (par exemple, celui qu’on nous propose ici) et d’un poly- nôme de degré 2 (dont le premier coefficient vaut par conséquent 1).

P(z) = z³ – z² + (1 – 3i)z + 2(–1 + i) = (z – 1 – i)(z² + bz + c)

⇔ z³ – z² + (1 – 3i)z + 2(–1 + i) = z³ + bz² + cz – z² – bz – c –iz² – ibz – ic)

(5)

⇔

1 1

1 3 1 1 3 2

2 2 2 2 2 2 ok

b i b i b i

c b ib i c i i c i

c ic i c ic i c ic i

− − = − = =

  

  

− − = − ⇔ − + = − ⇔ = −

  

− − = − + − − = − + − − = − +

  

Finalement : P(z) = z³ – z² + (1 – 3i)z + 2(–1 + i) = (z – 1 – i)(z² + iz – 2i) 3) Déterminer alors les deux autres racines de ce polynôme

Ce sont donc les racines du polynôme z² + iz – 2i.

∆ = i² + 8i = –1 + 8i Recherche de − +1 8i :

( )

2 4 2

2 2 2

2

16 1 16 0

1 8 1 4

2 8 4

x x x

x y x

x iy i

xy y

y x

x

 − = −  + − =

 − = −  

+ = − + ⇔  ⇔  ⇔ 

= =

  = 

On aboutit à une équation bicarrée, que l’on résout en notant X = x² : X² + X – 16 = 0 ; ∆ = 65 ; X = 1 65

2

− + (forcément positif) et donc x = 1 65 2

± − +

D’où : y =

( )

( )( )

2 1 65

4 2 1 65 1 65

4 4 4

32 2

1 65 1 65 1 65

x

+ + +

= ± = ± = ± = ±

− + − + +

Nous avons le choix entre deux complexes opposés pour citer − +1 8i, prenons par exemple :

1 65 1 65

2 i 2

− + +

∆ = +

Les deux racines supplémentaires cherchées sont :

1 65 1 65

2 2

i i

z b

a

− + +

− ± ±

− ± ∆

= = (soit deux signes +, soit deux signes –).

Exercice 7 -

1) Déterminer, dans ℂ, les écritures cartésiennes des racines carrées du nombre complexe 2i (on pourra passer par l'utilisation de l'écriture exponentielle des nombres complexes, ou alors rechercher les nombres z = a + ib tels que z² = 2i).

Avec l'écriture exponentielle :

( )

/

. .

/ .

1 2

1 2 2 2 4 2 2 2 2

2 2e 2 e 2 1 ou 2 1

2 2 2 2

i k i k

i i i i i

π π

 + π  + π

   

   

     

=  = =  + = + − − = − −

   

 

Avec l'écriture cartésienne :

( )

² ² ² ² ⁰ ² ² _/ ¹^ou ¹

1 1 1

2 2 1

a b a a

a b a b

a ib i

b a b b

ab ab

= ± = = −

 − =  =   

+ = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 

= = = −

= =   

 

2) Résoudre, dans ℂ, l'équation du second degré z² – (1 + 3i)z – 2 + i = 0 (on donnera les écritures car- tésiennes de ses solutions).

(

^{1 3}ⁱ

)

² ⁴

(

² ⁱ

)

^{1 9 6}ⁱ ^{8 4}ⁱ ²ⁱ

∆ = + − − + = − + + − = . Grâce à la question 1, on pourra prendre ∆ = +1 i^.

Solutions : ₁ 1 3 1 ; ₂ 1 3 1

2 2 2 2 1 2

b i i b i i

z i z i

a a

− − ∆ + − − − + ∆ + + +

= = = = = = +

(6)

Exercice 8 -

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1) On se propose de résoudre dans ℂ l'équation : ²^z²^{− +}

(

³ ⁱ ³

)

^z^{+ +}¹ ⁱ ³⁼⁰^.

a. Montrer qu'une racine carrée de son discriminant est 2e ⁱ³

− π

.

( )

²

( )

²³

3

3 3 4 2 1 3 9 6 3 3 8 8 3 2 2 3 4e

2e 1 3

i

i i i i i

i

− π

−π

∆ = + − × × + = + − − − = − − =

∆ = = −

b. En déduire les deux solutions de l'équation posée.

( )

3

( )

1 2

3 3 1 3 2 2 3 1 3 3 3 1 3 4

e ; 1

4 4 2 2 4 4

i i i i i i

z i z

+ − − + π + + −

= = = + = = = =

2) Dans le plan complexe, on considère le point C d'affixe 3 3 2 +i

et le point A d'affixe 1 3 2 +i

. Déterminer les coordonnées du point B, image du point A par la rotation de centre C et d'angle

3 π .

( ) ( )

( )

i i i

z z z z i i

z i i

π  + +    

− = − × = −  + = −  + 

    

  +

= − + + =

 

3

B C A C

B

1 3 3 3 1 3 1 3

e 1

2 2 2 2 2 2

1 3 3 3

1 B 1 , 0

 

L'équation admet pour solutions : ^{3 5}

(

¹

)

2

i i

z − ± −

= , soit z₁ = −2 3i et z₂ = −1 2i

Exercice 10 -

1) Déterminer les racines du polynôme ^{P z}

( )

^{= +}^z²

(

^{3 3}⁻ ^{i z}

) (

⁻^{2 1}⁺ⁱ ³

)

(

³ ³ⁱ

) (

² ^{8 1} ⁱ ³

)

^{3 9 6}ⁱ ³ ⁸ ⁸ⁱ ³ ^{2 2}ⁱ ³ ⁴^¹₂ ⁱ ₂³^ ^4eⁱ³^π

∆ = − + + = − − + + = + =  + =

 

dont une racine carrée est 2eⁱ⁶ 3 i

π = + . Les deux racines cherchées sont :

( )

1

3 3 3

2 2 3

i i

z b i

a

− + − +

− − ∆

= = = − + et

( )

2

3 3 3

2 2 2

i i

z b i

a

− + + +

− + ∆

= = =

(7)

2) Soit le nombre complexe z₁ eⁱ³

= π et, dans le plan complexe d'origine O, le point A d'affixe z_A=2i. Donner l'écriture cartésienne de zB, affixe du point B image du point A par la rotation de centre O et d'angle

3 π.

3

B A

1 3

.e 2 3

2 2

z z i i i i

π  

^.

Il s'agit du polynôme ^{P z}

( )

de l'énoncé, ce qui n'est pas étonnant, puisque z_A et z_B sont ses racines.