Forme « semi-classique » des raies de résonance cyclotron dans les semiconducteurs avec des surfaces d'énergie constante quelconque. Cas de la bande de valence du germanium

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Submitted on 1 Jan 1966

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Forme “ semi-classique ” des raies de résonance cyclotron dans les semiconducteurs avec des surfaces

d’énergie constante quelconque. Cas de la bande de valence du germanium

W. Mercouroff, P. Nozières

To cite this version:

W. Mercouroff, P. Nozières. Forme “ semi-classique ” des raies de résonance cyclotron dans les semicon- ducteurs avec des surfaces d’énergie constante quelconque. Cas de la bande de valence du germanium.

Journal de Physique, 1966, 27 (1-2), pp.45-50. �10.1051/jphys:01966002701-204500�. �jpa-00206365�

FORME ^«

SEMI-CLASSIQUE »

DES RAIES DE

RÉSONANCE

CYCLOTRON

DANS LES SEMICONDUCTEURS AVEC DES SURFACES

D’ÉNERGIE

CONSTANTE

QUELCONQUE.

CAS DE LA BANDE DE VALENCE DU GERMANIUM.

Par W. MERCOUROFF

(1),

Laboratoire de

Physique

^{du Solide de la Faculté des Sciences de Caen}

et P.

NOZIÈRES,

Laboratoire de

Physique

^de

^l’École

^Normale

Supérieure.

Résumé. ²⁰¹⁴ On donne une méthode de calcul de la forme des raies de résonance

cyclotron

à

partir

de la théorie

semi-classique

^{du mouvement des} porteurs ^de

charge

^en

présence

^d’une

induction

magnétique

constante, pour des surfaces

d’énergie

^constante

quelconques.

^La

méthode ^est

appliquée

^{à la bande} de valence du

germanium.

^{Le calcul}

numérique

^montre

qu’à

côté des raies «

principales

^{», il peut}

apparaître

^{des maxima}

d’absorption

^« secondaires _», liés soit à des masses effectives

cyclotron

extrêmales pour kz

~ 0,

^{soit à des masses}

limite.

^La confrontation ^avec

l’expérience

permet ^de

préciser

^les coeffcients de la bande de valence du

germanium (A

⁼

13,21; |B|

⁼

8,15 ; C = 13,2).

Abstract. ²⁰¹⁴ A method for

calculating

^the

shape

^of

cyclotron

^{resonance lines is worked out.}

The

starting point

^is the semi-classical treatment of

charge

^carrier

dynamics

^{in a cons-}

tant

magnetic

^{field for constant} energy surfaces of

arbitrary shapes.

This method is

applied

to the valence band of

germanium.

^{A numerical} calculation shows

that,

besides the "

prin- cipal

^"

lines, " secondary

^{" ones} may appear :

they

^{are linked to}

^either

^extremal

cyclotron

effective masses for kz

~ 0,

^or

limiting

^masses.

Experimental

^check

gives précise

coefficients for the valence band of

germanium (A = 13.21 ; |B|

⁼

8.15 ;

^C

= 13.2).

PHYSIQUE 27, 1966,

1.

Introduction.

^- Dans la théorie semi-clas-

sique

^{du mouvement des}

porteurs

^de

charge

^{dans un}

solide,

^en

présence

^d’un

champ

d’induction

magné- tique

^constant

B,

^on

néglige

l’effet de

l’induction

sur la forme des bandes

d’énergie (2),

^{et les}

trajec-

toires dans

l’espace

^{des vecteurs d’onde k sont des}

intersections des surfaces

d’énergie

^constante

E =

E(k)

par des

plans perpendiculaires

^{à B}

(fig. 1).

Si cette

section

de cote

kz

^et

d’énergie s

^est

fermée,

on sait que la

fréquence

^«

cyclotron

^{» mc, de circu-}

lation ^sur la

trajectoire

^est telle que

où e est la

charge

^du

porteur

^{et A} l’aire de la section.

Par

analogie

^avec des électrons

libres,

^on

peut

^intro-

duire

une ^« masse effective

cyclotron

^» telle que

Si on soumet les porteurs ^{à un}

champ électrique

haute

fréquence

^{(ù normal à}

B,

^{il se}

produit

^une

absorption cyclotron quand

^{w = (Oc. Pour des}

porteurs

^{de masse effective scalaire}

in*,

^{on véri fie}

immédiatement que ^{inc ==} m* et la raie

d’absorption

FIG. 1. ^- Orbites

électroniques

en

présence

d’une induction

magnétique.

est une raie lorentzienne telle que la

puissance

absorbée soit de la forme

[1]

où v ⁼

(’t’

⁼ temps ^de

relaxation)

^{et ; ~}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01966002701-204500

46

On a

supposé

^{dans cette formule} que le

champ électrique

^{a une}

polarisation circulaire ;

^le

signe + dépend

^{du sens de}

polarisation.

Dans le cas

général

de surfaces

d’énergie quel-

conques, la ^masse

cyclotron

^n’est pas

unique ;

^il y ^a

une distribution en fonction de a et

kZ

^et la raie n’est

plus

lorentzienne

(3).

II. Cas

général.

^{- Dans le cas}

général

^{où 1ne}

dépend

^{de a et}

ka,

la f orme des raies

peut

^{être obte-}

nue en calculant la conductivité

complexe

^du corps

en

présence

de l’induction.

Plaçons-nous

^{dans le cas}

des semiconducteurs où le

champ électrique polarisé circulairement,

^est uniforme dans l’échantillon. Si

f (E)

^est la fonction de

répartition

^des

porteurs (à l’équilibre thermique, f ( s)

^{est une}

répartition

^de

Boltzmann),

la conductivité

complexe

^est

avec

soit:

L’absorption

^est donnée par la

partie

réelle de la

conductivité ;

^elle

dépend

^non seulement des sur-

faces

d’énergie

constante, ^mais aussi de la

tempé-

rature

(même

si T n’en

dépend pas),

^{par l’inter-}

médiaire du facteur

f( a) .

On

peut prévoir

^{un maximum}

d’absorption,

^c’est-

à-dire une « raie ^»

quand

^{la masse}

cyclotron

^est

stationaire.

C’est le cas pour les sections _par un

plan

diamétral

passant

par ^{un centre} de

symétrie

^{0. Au}

voisinage

^de

^kZ

⁼

0,

^est

parabolique

^en

^k,

me passe donc _par un extremum

pour

k~

^{= 0 : il}

apparaît

^{une « raie » au}

voisinage de (J.

⁼

mt.

^En

général,

^{on ne considère} que ^ce

type d’orbites,

^{et on} lui attribue des raies

d’absorption

lorentziennes. Cette manière de

procéder

^{est incor-}

recte

puisque

^{la raie}

peut

^être fortement déformée par la distribution de ^masse

cyclotron (il peut

^même

apparaître

^d’autres

^maxima, correspondant

^{à des}

orbites non

extrémales).

Supposons

^{d’abord les surfaces}

d’énergie

^cons-

tante

ellipsoïdales,

^{mais non}

quadratiques

^en

)k) .

^En

rapportant

^les

ellipsoïdes

^{à leurs axes}

principaux, (3)

Si les surfaces

d’énergie

^sont

ellipsoïdes

^{et si l’éner-}

gie dépend quadratiquement

^de

Ikl,

^{la masse}

^cyclotron

est

indépendante

^{de E et kZ}

(bien

que variable ^avec l’orientation de

B),

^{et la raie est encore} lorentzienne.

on

peut

écrire leur

équation

^{sous la forme}

[2] (4)

où 2013~ s

lorsque s

^{- 0. Pour une direction}

donnée de

B,

^de cosinus directeurs _oej la masse

cyclotron

^est

égale

^à

où mo ^est la masse « en bas de bande

» ( e

^-~

0) . dépend

^de

l’énergie,

mais pas de

kZ.

En notant que

nous pouvons écrire la conductivité ^sous la forme

La forme de raie donnée par

l’intégrale (10) dépend uniquement

^{de la} distribution

/(s)y

^c’est-à-

dire de la

température.

^On

prévoit

^{une raie au}

voisinage

^de mo, favorisée à basse

température.

^A

température plus élevée,

la variation de

dylds peut

rendre la raie

large

^et

asymétrique.

L’autre cas intéressant

correspond

^à des surfaces

d’énergie

^constante

quadratique

^en

Ikl,

^{mais non}

ellipsoïdales. L’énergie

^des

porteurs

^est de la forme

où

k

dénote la direction de k. Introduisons la variable

et

repérons

^k par ^ses coordonnées

cylindriques (d’axe B)

p ^et

k.L

⁼⁼

ykz.

^{La masse}

cyclotron

peut

^s’écrire

[3].

⁰

est l’aire d’une section x ⁼ Cte de la surface réduite

en coordonnées

polaires y,

^{cp, x. La} conductivité se met sous forme d’un

produit

^{de deux}

intégrales :

(4)

^{C’est le cas} par

exemple

de la bande de conduc- tion des

composés

^AnI

Bv,

pour

laquelle

où mo ^et E~ ^sont des constantes.

Le

premier

^{facteur ne}

dépend

pas

de w

^{et fixe la}

valeur absolue de

l’absorption.

^Le second donne la forme de la raie à T

donné ;

^{dans la mesure où T est}

indépendant

^{de la}

température,

la forme de rai e l’est aussi. Les valeurs stationnaires de donnent des contributions

importantes

^à

l’intégrale

^{et con-}

duisent ^à des maxima

d’absorption.

^{Nous allons}

voir sur

l’exemple

de la bande de valence du _ger- manium _que ^ces extrema

peuvent

^se

produire

^en

dehors des orbites extrémales.

Ill. Cas de la bande de valence du

germanium.

-L’équation

^{des surfaces}

d’énergie

constante est de la forme

On étudie en

général

^{la résonance}

cyclotron pour B

dans un

plan

^{Il suffit d’écrire cette}

équation

en coordonnées

polaires

^réduites

~y,

ç,

x)

^{avec Oz}

dans ce

plan.

^En

appelant

⁰

l’angle

^{de B avec la}

direction 110 >, ^{on obtient}

[4]

Les sections x ⁼ Cte sont des courbes du 4e

degré

dont la forme

peut

^être discutée facilement

[4].

On peut alors f aire le calcul

numérique

^de

et du

f acteur

^de

forme

Choix des

coefficients

ABC : Ce choix ^est assez

délicat. Il en existe de nombreuses déterminations

[1, 5, 6J,

mais les valeurs

numériques

^{ne sont} pas

toujours concordantes,

^d’une

part

^{à cause des erreurs}

expérimentales,

^d’autre part ^{à cause de}

l’ignorance

sur le facteur de

forme, qui

^fausse

l’interprétation

des résultats. Dans un

premier ^calcul,

nous avons

utilisé les coefficients obtenus dans les références

[4],

calculés de telle mani ère _{que :}

(i)

^{Les masses}

cyclotron

^des orbites extrémales coïncident avec les raies

principales.

(ii)

^n2~

présente

^{un extremum} pour ^{Tnc =}

0,265

^rra

dans la direction 110 >,

permettant d’expliquer

la raie intense observée dans les échantillons très purs

(5) (même lorsque

les effets

quantiques

^ne

peuvent

^être

invoqués [4, 7]).

^En

^fait,

^{un calcul de}

forme montre que ^cette raie est décalée

(de

t-L ⁼

0,265

⁼

0,280).

^{Nous avons donc}

réajusté

nos coefficients aux valeurs

(6).

FiG. 2. ^- Variation de

rn~

^en fonction de x ⁼

pour les trous lourds.

(~)

Cette raie

n’apparaît

que dans les échantillons les

plus

purs ^et n’a pas été observée dans les pre- mières

expériences.

^Ceci peut

s’expliquer

^{de deux}

f açons :

^d’une part, ^{on constate}

expérimentalement

que l’intensité des raies de trous est très sensible à la

présence d’impuretés,

^{de sorte}

qu’elles

^{sont facilement}

marquées

par les raies d’électrons. D’autre part, ^le temps ^de relaxation sur les

impuretés

peut

dépendre

^de

l’énergie ;

^{en ce} cas, ^{on ne} peut

plus dégager

^{de factenr}

de

forme,

^et

l’intégration

^sur

l’énergie

défavorise le extrema secondaires de

m. (x).

(’)

^Ces dernières valeurs sont d’ailleurs

proches

^de

celles choisies _par

Stickler, et

^al.

[6]

^pour

interpréter

les effets

quantiques (A

⁼

^13,2 1 BB

⁼

^8,2;

^{C =}

^13,3).

48

Les

figures

^{2 et 3 montrent la variation de mec}

pour les trois directions

principales (’7).

^{Il existe}

toujours

^au moins deux

branches, correspondant respectivement

^{aux trous lourds}

(fig. 2)

^{et auX}

FIG. 3. ^- Variation de

m*c

^en fonction de x ⁼⁼ 2ms

/h2 kz

pour les ^trous

légers.

trous

légers (fig. 3).

^On vérifie bien _que les orbites

extrémales,

^sections par des

plans

^diamétraux

(x

^-

oo), correspondent

^{bien à des masses extré-}

males

(notées

^m_ pour les ^trous lourds et m+ pour les trous

légers).

^{Dans la direction 100}

>,

^la courbe _{pour les} trous lourds

possède plusieurs branches,

^en

particulier

^une branche de masses

négatives qui correspondent

^{en fait à des orbites}

«

électroniques

^{». Dans la direction 110}

>,

^la branche de trous

lourds, après

^{un accident}

qui

rend

mc infini (passage

par ^un

point col),

^{passe par un}

maximum _pour x ~

4, puis

^{tend vers la valeur m- ;}

il existe donc ^une seconde masse extrémale ^en

plus

de celle

correspondant

^{à x -~ oo. Dans la direc-}

tion 111 >, l’allure de la branche de trous lourds est

simple

^avec

cependant

^une

légère

^{inflexion vers}

son

départ,

que l’on

peut comprendre

^{comme un}

« souvenir )) du minimum dans la direction 110 >.

Les

figures 4,

^{5 et 6 donnent} les formes de raies calculées

(8) d’après

la formule

(18)

pour les trois directions

principales,

^{pour v = or =}

^10,

^{20 et 1~0.}

Ces résultats

appellent

^{un certain nombre de}

commentaires.

Ci)

^{Les raies les}

plus

^intenses

correspondent

^aux

masses ni, des orbites

extrémales,

^comme

prévu.

Il faut

cependant

^noter que, du fait de

l’asymétrie,

les raies sont

légèrement décalées,

^de

quelques

^pour

cent, ^{et ce} d’autant

plus

que v ^est

plus

^faible.

(ii)

Dans la direction 110 >, ^{on observe une} raie de trous lourds pour ^{mc =}

0,26, correspondant (1)

^Nous remercions M.

Fonteyn

du Centre de Calcul

numérique

des Laboratoires

Philips, Eindhoven,

pour les calculs

numériques

^de

(8)

Nous remercions NI.

Fayet

^du Laboratoire de

Physique

^de

^l’École

^Normale

Supérieure,

pour les calculs

numériques

^{sur machine.}

FIG. 4. ^-

Absorption (en

^unités

arbitraires)

^{dans la}

direction 100 > :

a)

^trous

lourds ; b)

^trous

légers.

au minimum de cette raie est presque aussi

marquée

^que celle de l’orbite extrémale

(me ==

A noter le

décalage appréciable

^{du maximum}

d’absorption

par

rapport

^au

minimum

^de l’ne

(N

⁶

%1, qui

^{nous a amené à modifier la valeur des}

paramètres ^{A, B,}

^C.

Dans les directions 100 > et 110 >, les orbites

multiplement

^{connexes donnent une con-}

tribution

négligeable

^à

l’absorption (c’est

^{le cas aussi}

FIG. 6. ^-

Absorption (en

^unités

arbitraires)

^{dans la}

direction 110 > :

a)

^trous

lourds ; b)

^trous

légers.

des orbites à ^« masse

négative »

^{de la direction}

100 >

correspondant

^{à un mouvement d’élec-}

trons).

(iiii)

Dans les trois

directions,

^la distribution de

masse des trous

légers possède

^{une borne infé-}

rieure

correspondant

^aux

points

^oc,

~3, y de la figure

^{3. De}

même, la

^branche

principale

^{de trous}

lourds

possède

^{une borne} inférieure dans la direction 111 >. Ces ^«

points

^{d’arrêt » donnent}

naissance à des accidents de la courbe

d’absorption,

v

FIG. 5. ^-

Absorption (en

^unités

arbitraires)

^dans’la

direction 111 > :

a)

^trous

lourds ; b),trous légers.

d’autant

plus marquée

que mi+ ^est mieux

séparé

^de

la valeur limite _m:i:’

Les

épaulements correspondants

^{se voient claire-}

ment pour les ^trous lourds 111 > ^et les trous

légers

100 > ; ^{ils se} devinent pour les deux

autres directions de trous

légers.

^{Ils sont}

légèrement

décalés _par

rapport

^{à la} valeur limite _ml::i:, et

s’estompent rapidement lorsque v

^{diminue. Dans le}

cas des trous lourds dans la direction 111 >,

cet accident est observé

expérimentalement [4].

50

IV.

Conclusion.

^- Il ressort de cette étude que la forme des raies de résonance

cyclotron dépend

^beau-

coup de la structure de bandes du semiconducteur étudié. En

plus

^{des raies} habituelles

correspondant

aux orbites

extrémales,

^il

apparaît

^des

irrégularités correspondant

^{aux extrema} secondaires de la distri- bution de masses

(extrema proprement dits,

^et

extrémités de la courbe En outre les raies

sont

asymétriques, légèrement

^{décalées et}

élargies

par

rapport

^au

simple

^modèle

lorentzien.

Les

spectres d’absorption

calculés pour le

germanium

sont en bon accord avec

l’expérience.

^{Des calculs}

préliminaires

effectués pour ^le silicium donnent des résultats

semblables,

avec encore

plus

d’accidents secondaires.

Manuscrit _reçu le 27

septembre

^1965.

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