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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Waelbroeck, L. (1960). Etude spectrale des algèbres complètes (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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3Mr

5 / 5 . V / ^

£-Ijttroductiojio

lo L«« •»p»c*M à Î5or«és coiaj»l«ts<, lo lo L«8 asf£.c«« à bornés. 2»

2c Sa^ac«s complets. 3o

3 , Goiabija.ai»o*s linéaires formallaso

4o £ou«-53ej»aces, quotieiits, soiiuae* cLir«ct«s, produit» t«A«oriela, 16o

5o Filtratioaa. 2Cc

6o Algèbr»» «t ia.od.al««o 25o 7o Exemples 2^o

lie FoACtioA» tem^éréas, 27c

8o FojictiojLS t«injséi''é®s GU«lcoHqM«8. 28,.

9-. Foactioas dif f éreatisbleœ 1;«la|^éré9a „ 32c

10, FojEctlos.!» d« filtratio* mégatiira. 41„ lloAlgèbre» «t modal*»o

12o RégularisatiûJià d« I o

IIIo Form«« Qxtéri«iir«i «t cohomaHogi», 5 1 .

1 3 . L'««#ac« ijyCsî S) 5 1 .

14, Homologi», 58»

15c Afplicatiois aultiM*éair«8. 61. 16, latégralas. 65e

17o Algèbras «t modulas^ 66^

'^"^IVo La 8j»ectr«. 71o

t> •>

S? 18;, LajŒuaa fojidame&tal. 71 o 19o La a^actra. 72.

21o Régulariiatiom d«« co«fficiamta. 76o 22o Propoaitioa auxiliaira. 80o

23» Orâra da graAdaar daa coafficlajita. 83. Vo Uaa claaaa da cohomologia. 83o

24. Laa aajtacaa **^o 85o

25o Uaa forma différaatialla axtériaura. 9 0 , 26o Um groujaa traaaitif aur S-(a; ^ j ir,'^) 91o 27o laTariaaca da la claaaè da cohomologia. 9^0 28o Com^ortcma&t aa foiîctioA da k. 98o

2 9 . La claaaa da cohomologia <o(a,a'; a,a'; iS* i â-/^) l O I o 3O0 Calcul da l(tj)o 103o

3 1 . Qualquaa ^rojiriétéa d« tj „ 10§o 32o Propriétés du s^actra, 106„

VIo La calcul aymboliqua, 10?,

33o Prajjriétéa élémaatairaa , 108r 3^0 Cas où l'uA daa a est aul. 1 1 0 . 35. itjtplicatioAs liaéairaa. 1 1 5 . 36. Profriété multiflicatira. IIS^ V I I o Ajflicatioafi. 1 1 9 .

37o Qualquao cas farticuliara. 119o 380 Laa algèbraa da Baaach. 121^

39o Léalgèbra das fomctioas tamféréea. 127« 40,, Foactioaa aaalytiquaa. 129o

41o Idampotaata caatraux. 132o

ti^O cHiAC L"C"(P v\

Dana cetta dissertationjnoua abordona l'étuda apactrala d'élé--manta d'una algèbra toyologiqua (ou paaudo-topologiqua) aticna auf--poaar qua la spectra aat un anaambla compactoBaa liana étroita

apfaraiaaant ^ici comma ailla.ura^antra èa a^actra^le calcul aymboliqua, at laa formulas "de Cauchy" parmettaat d'tsqpràmar laa ralaura d'una fonction holomarpha à l^intériaur d'un domaina au moyan daa Talaura do catta fonction aur la frontière,ou aur un roiainagc da cattc dCrontièra

A 1'origine daa travaux qui ont mené à cette diBseztationîon trouve la théorie de Gelfend des algèbras de Banach [i?] o H eat bon d'en rappeler certaine réaultata ascèdH^le

Soit k une algèbre de BanachsCommutatire^unitala^aur 1© corp» dea complezeaj 0 ^"^^^ Gelfand définit uiî ©apace com^^act S(A)jqu'il appelle le spectre do À,9t une r-epréaentaticn unitale a—^ âCm) de é dana l'algèbre dea fonctiona continuas aur C[(A^)oCette repré&ent&--tion eat continua ai l'algèbre dea fonctions continues sur l^i^') «^^st munie de la topologie de la convergence uniformeoL'idéal engendré dana it par des élémenta a^,...,a^ contient l'unité de it al,et uni--quement si les fonctiona âj^(m) ,,,. jâ^Cm) ne a'annulent par simul-tanément sur B(i^) o

G-alfand définit un calcai symbolique sn fonction d'un, élément de êsr, Dana ma thèae de Doctorat, je montre qu'un calcul aymbâ:olique plus général,en fonctiona de n élémenta peut être considérés

fCa^, • •. ,aj^) eat défini loraque f «st une fonction holomorphe sur un voisinage de l'ensemble dea (s^^, ». » ,8^) ^ tels que n^^ê^^im)

pour un m€:lil(Ar) et pou* i-1,., o ,noCet ensemble,S(a^, o^a^^) eat «uiasi ce 7. ui des ^t^^^ que 1 ^IdlCa^^-Si^, o «,. ax^^-s^) Ori

Loraqua n»l,on conatrult la calcul aymboliqua an aubatituant a dana la formula da Cauchy

f(2) -2ïïr" ^3 (a-z)"^ da

La aubatitution a un aana moyannant cartainaa hyjiothèaaa,at défiait un élémant da à dont laa projtriétéa aont tallaa qu'il aat norual da l'ai'palar f(a)oLoraqua n l^l* conatruction du calcul aymbaïqua aat plua difficila,mai8 alla reata baaéa aur la formula da Cauc\s', tout au mona dana ma thèaa da Doctorato

La théoria da Galfand a'appliqea aux algèbra.-î da BanachoDana ma thèaa da Doctorat ,J'étudia daa algèbre» plua généralaa,Piai8 las apactraa sont ancora compacta»Da nombreux opérataura à apactra non compact intarTiannant pourtant dana laa applicationa.il auffit da citar laa opérataura da dérivation partialla dea ^apacea da dia--tribution

C'aat aurtout aux opérataura à apactrax non compacts qua noua noua intéraaaaronaoOn paut aapérar qua laur étuda apactrala aura daa applicationa auaai intéraaaantaa qua la théori« des algèbraa

commutativas aalf-adjointaa d'opé.tataur8,ou qua la théoria da Galfando Un résultat préliminaira montra qua la point à l'infini

na Joua paa un rôla privilégié dana l'ansambla daa pointa frontièraa du apactra,La théosia apactrala na doit paa étudiar plua particuli» -èramant la voiainaga da 1'infini«Slla doit étudiar la voiainaga da toua laa pointa frontièraa.

un «nsambl* d« fonstiona aur ^'^o Caa fonctiona. aont réallaa non

négatl-raa. Noua dirona qu'allaa aont apactnalaaCpour a^^,...,*^) at qua l'anaambla ^ (a) ]^ 0 aat un anaambla apactral alé)(a) aat una fonction apactralaoL«xa anaamblaa ajiactraux conatituant un filtra aur

Noua obtiandrbna un apactra d'allura plua claaaiqua ai noua

diaiona qua ca filtra,ou aon adhéranca,aat la apactra.La apactra aarait alora,8oit una partia da B^^^aolt un filtra aur Maia la âonnéa

da l'anaambla daa fonctiona apactralaa fournit plua da ranaaignamanta au aujat da (a^^,.. » ,a^) ,at la calcul aymboliqua jparmant d'utiliier l'information aupplémantairaoCaat pourquoi noua arona donné du

apactra una définition qui paut aurprandra à pramièra vua»

Noua arona parlé da apactraa compacta,at da frontièra du cpactrao C'aat un abus da langaga,d'aprèa notra définitionoNoua aurions dû parlar d'élémants dont la apactra na contiant paa da fonctiona; à aupport compact,at da la frontièra daa anaamblaa apactrauxo

Una algèbra da fonctiona analytiquaa paui; âtra aasociéa au apactr< da (a-j^, • *. ,a^) ,paia un calcul aymboliqua défini:il axiata un

homo--morphlaBa unital borné da 1'algèbra da fonctiona analytiquaa dana it,qui appliqua la rariabla aur a^^Ci'l,... ,n) oBana la conatruction da ca calcul aymboliqua,noua utiliaona la claaaa da cobomologia définia at étudiéa au chapitra VoCatta «laaaa aambla aroir daa liana

étioita arac l'intégrais da Cauchy à n rariablaa complaxaa ,iKktx

talla qu'alla aat définia par AoWail \yj ,L„Fantappiè l^J ,at JoLarayfj^^ °

C'«at jiourtant aux algèbraa à bornéa complètaa qua j'ai aongé an démontrant laa réaultata ci-daaaoua oCaux--ci jpauTant d'aillaura a'appliquar à da nombrauaaa algèbraa imj»ortantaa da catta catégoria, graca à una yropoaition dont noua rajijtalona la démonatration au nu--ffléro 7 o ^ : Soit à una algèbra localamant conTaxa^quaai-com^lètaçà

produit aéjfarémant continu (cf Bourbaki\i\ ,ou chafitra I,no 7 o 3 »

7o^« j»our la définition da cea tarmaa) oL'anaambla daa partiaa da A-qui aont bornéaa pour la atructura d'algèbra topologiqua définit aur à una atructura d'algèbra à bornés compléta.

Da plu^laa algèbraa à bornés complètaa aont miaux adaptéaa à noa raiaonnamants qua laa algèbraa topologiquaa:

Laa théorèmaa démontréa na dépendant qua da l'acaambla des partiaa bornéaa da éroll aat natural da charchar las conditions laa plua généralaa qua caa bornéa doivent rérifiar pour qu'on puisaa leur appliquer la théorieo

Houa da-rrona conaidérer daa algèbraa auxiliaireseUne structure à bornés complète s'introduit immédiatement sur cellea-aioll aat moins natural d'y définir une structure tppologique,mime lorsque l'algèbre doimée initialement était topolo^ique.CJe ne aaia mima paa s'il est toujourv possible de le ^aire),

Dana la plupart dea applicatlona,il aat plua facile de montrer que lea conditions conaidéréea ici sont rérifiéaa,que de montrer que lea conditiona toplologiquea uauellea le aont»

Caa diTaraea raiaona m'ont incité à prendre la théorie dea algèbraa à bornéa complétée comme cadre,m€me a'il aemble que lea applicationa las plua importantea aoient aux algèbraa localement conYexeao

éléments de A «ur lesquels nous portons principalement notre atten--tion aont dana £• centre«La théorie est ainai eaaentiellement com--mutative oMaia, la généraliaation apportée permettra dea aimplifica»--tiona dana certainea applicationa,

Soien': à une algi^re,it' une aous-algèbre,et m^f»t»^ des éléments qui appartiexment à *' et au centre de AryLes résultata obtenus en appliquant la théorie apectrale à (a^^,.., ,a^,A') aeront moins forts que ceux que l'an obtient en appliqu^ant cette mime théorie à (aj^,o..,a^5 *)oCe fait apparaîtra par la aui*e,

Conaidérona une algèbre quelconque *Q»«t dea éléments a2^,.,,,a^ de *^,qui commutant entre «ux»et sont autrement qualconqueaoLes élé--ments a2^,,..,a^ seront par exemple dea opérateura continua commuta»--tifa d'un espace,et l'algèbre de toua lea opérateura continua de cet eapace.Houa ne pourrona appliquer la théorie à (a^,... «a^^ir^) « maia à (a^^,.. • «a^^ir^^) si à^^ est l'ensemble des éléments de A-^ qui commutent avec a^^,... ,8^^'^^ est maximum parmi les sous'-algèbrea de ir^ dont le centre contient a-,,...,a„c

Si notre étude avait été limitée aux algèbres commutatirea^nous n'aurions pu appliquer la théorie qu'à (a-j^» o. « ,a^,A^) ,où St^ est une

quelconque ôtxK sous-algèbrax commutative maximale de contenant il

a.j^,.., ,a^oLe8 réaultats obtenus auraient été moina :^ortB,et auraient dépendu du choix arbitraire de A^, j \

i

3» La théorie spectrale abordée ici est "relajbiTe" ,|[ous considérons

1

une algèbre é,un idéal bilatère ^,et étudiona djea élémîenta a-j^,..,^«^^ du centre de A,modulo ^oUn paaaage au quotient ne ramèxLe pas cette théorie à une théorie abaolut^^puisque kA> n'e8^%|pa8 une algèbre à bornéa complèteo /

Comme A'habitude, une théorie absolue p ^ t êtv déduite de la

théorl* ralativ* «n posant %»0o D'autra fart,cartains théorèmzas abaolua samblant dirflcilaa à établir dana la cadra"abaola" gioaia sont daa conaéquancaa isunédiataa da théorèmaa ralatifaoSnfin,la thé--orla ralaMva aambla itra utila dana l'étuda daa idéaux daa algèbraa à bornéa conplètaa,at j»lus jBarticulièramant daa idéaux da fonctiona analytiqueso

Ca n'aat qu'à partir du chapitra 17 qua noua étudiona réallamant la théoria apactralaoDana las tois pramiars chapitraa,noua nous

iatéraaaons surtout aux aapacas à bornéa complata.Las propriétés daa algèbraa qua noua éJbabliaaons sont daa conséquancas immédiatas daa propriétéa daa applications multilinéairaa bornéaso

La catégorie d*aapacas at d'algèbraa étudiée est définie au

chapitre I«qui est consacré à la théorie élémentaire de ces espaces «, Nous aurons besoin d'eapaces (et d'algèbrea) de fonctions locs'»--lement bornéea ,ou r foia continûment différentiableajqui rérlfiant daa conditiona de croiaaance à la frontière,arec celles dea dérivées que nous supposons sxisteroLee conditions de croissance sont

associées à une fonction Lipschitzienne ^(s)o

Un élément d'un de ces espaces est dit ^-tampéré; érentuellement continu et ^-^-tempéré,ou r foia continûment différentiable et

tempéréoL'espaça des fonctions localement bornéea ^-tempértsst appelé (a ; 4$ S) «celuîi dea fonctiona r foia continûment différentiablea et 4 -tempérées S) o

à la définitioA «t à l'étud* d« certains •apmcm» d« cohomologla absolu* at ralatira corraayondantSo

i)ana caa trois yramiars chapitra a, noua avons an Tua laa ayplica-"•tiona à la théoria spactrala.Laa démonatrations na a ont faa dif--ficilas,Maia la théoria daa aaj^acaa à bornéa comjslata n'aat axj^oaéa nulla part dana la littérature (at pour cauaa') Noua daTrona dons donner daa définitions et des démonstrationa complétéeo

5o Lea théorèmea principaux sont démontrés dans laa chapitrée

IV, V et VIo

Le apectre de (a^^scja^) modulo % est défini au chapitre IV» Tel que défini,le apectre est évidemment un filtre sur le treillis des fonctions réelles non négatiraSoCe filtre a une base composée de fonctions Lipischitziennes, o ^et m£m« aussi aouTont dériT«bl«a que

l'on reutoCcs propriétés,et d'autres«sont établies au chapitre IV« Une propriété importante n'eat établie qu'à la fin du chapitre V, maia doit être citée ici:1a constante nulle ne peut appcrtenir au apectre que dans le cas(trivial) où 1 ' idi^I^ï^propre «Le spectre est un filtre propre si l'idéal B est propre.Cette propMété généralis divera théorèmea clasaiques disant qu'un spectre ne peut Itre vide. On peut d'autre part en déduire comme corrolaire les relationii exis--tant entre le spectre de (aj^,..c,a^) et celui de (a^^,... ,a^, ) lor--aque n' / no

\/t te 9«ut~ttr« m£m« dans l'étude da certaines algèbx-as de fonctions

holomorpheso

Slle est en tout cas utile dana la définition du calcul aym--bolique du chapitre VIo Une algèbre de fonctions analytiques est aasociée au spectre de a modulo %i une représentation unitale de cett algèbre dans A/h est définie,qui appique les fonctions liolomorplies coordonné<^s s^ sur les images quotieknts des a^^o

Kous n'arons pas étudié complètement ce calcul symbolique »Une telle étude noua mènerait trop loinoNous noua sommes contentés de construire la représentation unitale en question.

Un chapitre VII termine cette diasertetion^On y trou^er^ quel--ques applications de la théorieeCertainaa indicationa relatiTes à d'autres applications érantuelles se trourent également dans ce chapitre o

m •

«

60 Certaines notations seront utilisées constamment dana cette dissertaltion : H désignera l''ensemble des sntiers strictement

positifs,ë celui des entiers rationnelsrHous appellerons R le corps des réeJs^et 9 celui des complexes.

Un ensemble &* sera défini,contenant ë,et ayant un élément sup--plémentaiire appelé -oOeSur &*,nous mettons la structure de demi--groupe ordonné qui prolonge la structure de group*(additif) or--donné d* & et telle que -oo'oi'b un élément minimumoUne telle structure peut itre définie d'une manière unique:

- Co + û » û + (-Cb)» - Cb , a Oçi\ qu«l qa« «oit n e B * . \ \

Nous diron* qu« é •»t un» algèbra ânitala al * aat una algèbre à unité.L'unité aara aourent identifiée a.r&c le acalaire l,aon

Texi produit par le acalaire a,arec a lui-mimao Moyennant cea condtfctiona irèôoPar définition,une algèbre unitale de * ae^a une aoua-algèbre de à qui contient l'unité de *.L'aoua-algèbre A peut aroir dea aoua-algèbrea,qui aont unitalea«aana itre des aous-alg^brea unitalea (al à a dea idempotenta non trlTiauz) .Un liDomomorphiame ^ i t a l de l'algèbre unitale dana l'algèbre unitale ^ lio;ivomorpiii»m«

de dana A2 qui applique l'unité de A^ aur l'unité de

AgoL'appli--cation identique eat par exemple,un monomorphiame unital d^.une «soua--algèbre unitale de A dana A, \

Il aera pratique de normer at 9^^^ arec la norme euclidienne Suppoaona que s 4 . 8 ^ et que a'€; H*^ .Alora ( a , 8 ' ) ^ H'^'*'^ ,et

D'autre part ,nous coiisidérerona sur lea eapacea b'^ et la fonction

réelle poaitire 4^(8) définie par _{A 0}

4^(a) .

(1

*

K .

J« r«nds égal«m«iit hoaunaga à Monaiaur la Profaaaaur Lapaga qui a guidé maa pramiara paa aur la voia ^parfoia j»éjaibla»da la racharcha mathématiqu*?^st a'aat conatamment intésaaaé à maa rachar--chaa ultérieuramaiit s

Ja ramarcia Monaiaur la Profaaaaur Papy jpour l'étuda attentiTa qu'il a bian TOUIU faira da mon travailo

Touta ma Sratituda va à l'Inatituta for M v a n c e d Study^at au Fonds National da la Racharcha Sciantifiqua,|>our l'aida matérialla dont J'ai bénéficié fandant l'élaboration da catta dissertations

i

at pour laa axcellantaa conditiona danis leequallaa ilà m'ont permis de travaillerr

k •i\

Cheap yt'r^I

Las espaças à bornés coapletfl.

Divers types de structures peuvent être définies sur un en-semble, et sur un espace vectorieà au moyen d'une faiaille de par-ties bornéeso Noue définissons ici certains tels types de structureç et étudions particulièrement l'un d'elitre eux; Ghe structure de ce type sera dit© être une structure d'espace à bornés completKa

Nous comiaençons x^ar définir des ensembles à bornés^ et de» espaces (vectorialfi coiaplsrea) à bornée ^ Une pseudo-topologle «st défini© sur sm espaça a bornés. Lss espaces à bornés complets sent des espaces â bornés qui vérifient une condition plus forte qas 1^ stacond critère d® Cauchy pour la pstudo-topologin considérés,,

STouÊ ét?idlons qualauas propi'létés d-ô ia caté^orlîï des ospaoss eosplats. Les applications linéaires bornées sont les liaao'» •ng;i.'»phi3a®sa Itas sous-espaees, les quotients d'un, cspase., le® somsfîî^ :;iAX°«cteËj et produits ts.D.3or,l©ls eomplêts dau^i* espa^îss; sc-nt

dé-finie 0

Une filtration sur un espace coxaplet^ ïï, est une application ' ~ ' fiasemble des parties bornées dQ S dans 3* qui -Férifiâ SÊr^taini&.i

(Y)

iditione^ . Eoy-S ccssidérong la st-raotura eappléraantaiz/e défini© par un© filtration sur Se

Les algèbres à bornés complètes sont des espaces à bornés corn-" pletfi sur lesquels une multiplication bilinéair® bornée assoeistivs est définie. Saules quelques i,^ropriétés simples de ces aigèbraa sant établies ici. Nous n'étudierons ceâftes-ci d'une manière détaillé© qu'aœ cheptireaîS IV, V, VI, et Vîlo

2.. lo L*a •apacgs à bornés.

Les ensembles à bornés, les espaces à bornés (en général non complet) sont définis ici, ainsi que les sous-structures, les ±xx structures produits, et les structures quotient d'une structure d'espace à bornés.

Les hoBoaorphisroes de structure à bornée sont les applications bornées. Une structure à bornés est définie sur l'ensemble (3(Z,X') des applications bornées d'un ensemble à bornés X dans un autre X'o

Les notations f(x)-0(c(3:)), f(x)»o(c(x)) qui sont définies alaa-siquement poar les fonctions à vah lies ou complexes S9

géné-ralisent d'uns ma.Q^.ère naturelle aux fonctions à valeurs dans un eS'» pace (vectoriel) à bornés.

Une pseudo-topologio est définie sur im espace à bornés,

1. Définition. Une gtTttctiire è bsi-née est définie sur un ensemble iS par un ensemble B de parties de E qui a les trois propriétés sali-vantes ;

a^^o Toute p ' sTi-oi ' ' ppartrient à

^ réunion de deux éléments de ^ appartient à a-^o Toute partie d'un élément de S appartient à

Un élément de lit êtrs iiae partie? borné© de E pour la struc-ture considérésfl

De deux structures à bornés définies sur un mêsM ensemble. In première sera dite être plus fiji« que la seconde sft tout® parti© <i&

fiixies dt Il en est u^e. taoirM fine gue toutes les atAtr^S^ toutes

l«s partlas de E, y compris £ lui-rnSme, sont bornées pour cette struc' ture,

Un ensemble, muni d'une structure à bornés, sera encore appelé un ensemble à bornés.

Un espace à bornés est un espace sectoriel complexe sur lequel une structure à bornés est définie, d'une m a M è r e telle que:

b||^e Soient B^i B2 deux bornés, ^1**2 scalaires et 2^8^-1-2282

l'ensemble des Zx^l'^'2^2 ^^-^^ ^* b^^tB^, b2<B2o L'ensemble K^B2-t-22^2 est bornéo

b2o La fermeture convexe d'un borné est bornée, b^s Aucun sous-espace non nul de S n'est borné,

La fermeture convexe équilibrée d'un borné est évidemment bornée. (B est équilibré si e ^ ^ B ^ pour tout u réel)^

N i la structure d'ensemble à bornés la plus fine, ni la moins fine que l'on puisse définir sur un espèce vectoriel ne définissent des. structures d'espace à bornéso Soit S un espace vectoriel. La moins fine dee structures d'espace à bornés définies sur £ est celle pour laquelle les parties bornées sont contenues dans les fermetures convexes d'ensembles finis.

Considérons un espace vectoriel bormé» L'ensemble des parties de S qui sont bornées pour la norme définit sur £ tme structure d'es-pace à bornés,

2o Structure produit. Soient E^.» ^2 ensembles à bornés. Une partie B de E^^XEg sera dite bornée pour la structure produit si les projections de B dans "S-^ et dans B2 sont toutes les deux

bor-nées. Un borné de £ 2 X 8 2 contenu dans le produit cartésien d'un

Las eonditlioiis a^, ag» a^ soux» évid«iaffi«at vérlfiéaB; la straop' tara produit aat «ffeetivamant une structura d'ansambla à bornés «

Supposons ansoita qua S^^, ^oiant dauz «apaeas à bornés»

Considérons sur laur Banni produit la structura d'aspaoa vactorial soBAa diraeta das structuras de Sj^, La structure à bornés

proi-duit ast una structura d'aspaea à bornés sur 5j^^S2o L'aspaea à bornés 'Sj^@'S2 ainsi défini sera dit étra la somma directs des a8<" paaes Ij^? Ego

3o dotations 0« @t> isolent X on ensemble, S on espace à bornés, o(x) une fonction réelle non négative définie sur X, et a(x) une fonction définie sur X à valeurs dans Eo Sous dirons que

e(x) « 0(c(x)) le

sur X si u(:£)!sô(x)'r(E), i'aaseabl© des valeurs d© T(X) (X^X) étant bornéo Soit ^ un filtre sur Xo Nous dirons que (1) est vrai selon

si cette relation est vraie sur or. élément d« 'iTo Soit de nouv«sii 3^ un filtr® S'or Xo Hous dirons que

«(x) - o(c(x)) 2o

@selon ^ si nous pouvons tronver une fonction réelle non négative, d(x)^ qui tend vers zéro seloo '3='et «st tslls qae uCx)«0(c(x)d(x))

:..f'

selon ^ o

Les propriétés des relations 1 et 2 dont nous aurons besoin sont évidentes. Sous ne les expliciterons pas ici.

Limites, Soit X un ensemble, et ^ an filtre sur X, Soit u(x) une application de X dans un espace à bornés S, et v un élément de So Hous dirons que aCx) tend vers v selon ^ si u(x)r^«e(l) selon Nous écrirons encore

«(x)-^*'»' selon 3o

5^-D« a(x) —^Tj^ «t u(x) — n o u s tirons Vj^»v2» ^ a±t«t, ii «xist*

alors un borné B, une fonction réelle positive c(x) qui tend rers zéro selon ^ , et un élénent Y de qui sont tels que u(x)r^2

et u(x)i-V2 appartiennent tous deux à c(x)B lorsque 3DgYo Soit 3' la fermeture convex® équilibrée de B| Vj^-V2& 2c(x)B* pour tout xçYo Mais c(x) 0, l'intersection des ensembles c(x)B' est un espace vectoriel borné, et donc nul. Le résultat «st démontré puisque '^i'^2 appartient à cette intersectiono

Supposons la structure à bornés d« E associée à une structure d'espace normé} la convergence définie est équivalente à la conver-gence pour la structure topologique d« Far contrs, «i la

str'ao-ture à bornas d® 1 n'®st sîiaocié© à aucune normej cetta convarg^nce ne peut ftrs équivalente à aucune convergence d'espace vectoriel

topologiqueo

5(5 Applications bornées„ Bùlerx < !-> daux ensoiables â bornés. Une application a de dang sera dite bornée si l'imago de tout©

par-tie bornée de B^, est une parpar-tie bornée de Bgo Un ensemble B d'appli-cations de S, dsins ^2 est égaleEsnt borné si l'ensemble BCB^) des u(b) tels qu3 neB^ hê.B-i est borné dans

Soit (K^Sj^flÊg) l'ensemble das applications bornées de E-j^ dans Ego L'ensemble das parties également bornées de fCE^^jSg) vérifie évidemment les conditions a^^a^^^^ définit ear l'KS^sEg) Q»e

structure d'ensemble à bornés.

Supposons par exemple que ^2 soit muni de la structura à bornés la moins fine, ou que soit muni de la structure à bornés la plus

finèo Toutes les applications de dans B2 sont bornées, Banfii le premier cas, |!^(E2^»Ë2) muni de la structure à bornés la mcins

Si iauni de la struccux'e à jc/xi^^^» ^ù^U.^ ^±jxtà^ one af

plicatipn a de S^^ dans un espace à bornés quelconque sera bornée si

u ( B p est borné, Bs^CEj^.Bg) borné si B(E^) l'est»

Soient E^, Bg, B^ des ensembles à bornés. L'espace ^C^-^^i^^^^^^^ est canoniqaeaent isomorphe à ^ i^2.X^2^^^^ ^ 1 'isomorphisae étant établi en identifiant une fonction de à valeurs dans un espace

de fonctions de X2 a"»"®© une fonction de (x^^^-x^ „

Une structure d'espacé vectorial complexe eet définie sur ^(E^sEg)»! E2 est un espaça à bornés * La stsructure à bornés de

^(B|j^,E2) est une structure d]|espaee à bornés»

Soient ensuite E» F deux espaces è bornés» Une application linéaire bornée de E dans P est une appMcation de B dans P qui est à la fois linéaire pour la structure d'espace vectoriel, et bornée pour les structures à bornés. De mêsie, si E2^,.e.,£^,F sont des

es-paces à bornés, une application aultilinéaire bornée de E-j^X ^ » r. XB^^^ dans F est à la foie aultilinéaire pour les structure d'espace

vec-toriel, at bornée pour la structure à bornés produit; un tel ^ sera donc aultilinéaire, et tel que 'f (B^^, „. e ^B^) soit bornés lorsque Bj^ 5 o 8 • »B^ s ont bornés ,

60 Sous^espaces. quotients. Soit E un ensemble à bornés, et F une partie de B» Une partie de F sera bornée pour la structure induit© par celle de E si ello est bornée pour la structure de B, La struc-ture induite est une strucstruc-ture d'espace à bornés si B est un espace à bornés et F est un sous-espace vectoriel.

Soit £ un espace à bornés. Une partie F de £ sera dite fermée si elle contient la limite de tous ses filtres convergents. Pour cela il suffit que u£F lorsque ueE, et est tel qu'il existe une

feriaé de â est un soub—e&pace vùiauC*-.-wvii ù.^ ^ ^^i. Iv>*"itvi j^oui' -a structure à bornés «

-Soit B on espace à bornée, et soit F un sous-espace fermé. Une partie de S/P sera dite bornée si elle est l'image d'une partie bor-née de S par l'application quotient, La structure ainsi définie sur B/P est une structure d'espace à bornés,

Bn fait, il est évident que l'ensemble des parties bornées ainsi défini vérifie les conditions &2^,8i2t^^* ®* conditions bj^jbjo Nous devoxis moatrer que cet ensemble vérifie également la condition ^2 si F est fermé»

Supposons la condition b2 fausse, Hous avons un vg£/P qaé est

différent de séro, et tél que nv soit borné indépendamment de n € & o

La SQite v, 2v,»oo,nv,c«o sst l'image quotient d'jme suite bornée

u^,,, o ,a^, ce » de 3, L'image quotient de u^'-Ujjj/n est nulle, Uj^f-u^n^P Et ^} puisque u^/n«o(l)o L'espace P est fermé, u-j^«P, son

image quotient est nulle. Mais nous avions supposé vj^OÎ

B/F, avec Ist atructare à bornés ainsi définie, sera appèlé l'espace vectoriel quotient de B par F»

•Soient S,F deux espaces à bornéso L'ensemble des applications linéaires bornées de B dans F est im sous-espaoe fermé de f'(Es,F)o Be même, si B^i^i r , ,S^,F sont des espaces à bornés, l'ensemble des

applications multilinéaires bornée><3 de E ^ X C . O X B ^ dans F est un fioas-espaee fermé de ^(B^^X « . « X E ^ f)j

2o Bapacea complets

Un espace à bornés B est muni d'une pxseudoi-topologle» Le second critère de Caucb^ a un sens évident pour cette pseudo-topologie. Hous dirons que E est complet si l'espace à bornée

à bornés X«

Soit B un espace complet.. A tout borné B de B nous associons un espace de Banaoh B^, dont l'espace vectoriel soua-Jacent est un aous*-espace vectoriel de B, et dont la sphère unité est la fermeture convexe fermée pour la topologie de Eg, de l'ensemble B.

Nous établissons un certain nombre de critères suffisants (et évidemment nécessaires) pour qu'un espace à bornés B soit coaiplet, lo Définition„ Soit B un espace à bornés. La suite u^»»»»»"!!'* * d'éléments de B esu mie auifce de Gaucîiy ai u^ru^-i^ 0 lorsque m^n tendent simultanément vers l'infJjaio E vérifia le second critère de. Cauchy si toute suite de Cauchy a une limite. HCBUS dirons que

B est ViQ. espace à bornés completj ou un espace complet si l'espace p(X,B) des applications bornées de X dans B vérifie le second cri-tère de Gauchy quelque soit l'ensemble à bornés Xo

La structure d'espace à bornés définie sur un espace normé est une structure d'espace complet . . J.qtiement si l'espace normé

considéré est un espace de Banaeh,

L'espace ^ (X,B) est un espace complet, si B est un espace com-plet, X étant un ensemble à bornés quelconque. En effet, p(ï,p (X,B))

2, L'espace de Danach Bg. Soit B une partie bornée de l'espace cofli~ plet B, Soit B' sa fermeture convexe équilibréej et soit l'ensemble des uùB tels que ueaB* pour un E complexe. Alors est le sons-espace

vectoriel de S qui est engendré par B,

La fonction ù.^ définie sur B^^ par la relation n^Cu) = inf | |zè I zge-, uezB'j

est une semi-norae puisque B' est conve't ^ ' Mibré et engendre B^„ Cette semi"norme est M e une norme puisque B' ne contient paw d'es-pace \rectoriel non nul.

Considérons l'espace S^^, normé par n^^ son complété et 1« nor-me n associée è n sur S ae 1 ^ est dense dans S» Il existe uns

o 0

suite fpî*-* d'applications de S dans B^ qui est telle que

Chaque application iy,(u) sppartilent à ^'CS^S) puisque

et que par conséquent

^^(a)€ [n(u) '.2-^l 3^

La suite vf^,, a ,t • •• oent r - - r ' "e d? Ga?3«h;^ de puisçi.ae ^JjfjS^^^i^ - n k ^ ( u ) ' gCu)/ / 2"^ + 2^^

ai bien que

M'yC»)- «fgCuÔ ^

B est un espace cosplet: la suite vp^(u) convertis vers an f(u)fe^(B,B) pour la asructure à bornés (S^E). Cette limite

ne dépend pas du choix arbitraire de ^j.» • * » ^ r * • ^ • ^^^^1®''"^®^*o De plus, if(tt) est une application linéaires

et

Les expressions entre crochets tendent vers zéro lorsque r tend vers l'infini quelques soient 2tU,v donnés, puisque '^p—* ^ o Quant aux expressions entre accolades, elles appartiennent à et tendent vers zéro puisque

r^JCîJ.'^^)-^'fjX^)] - n[^y(zu)-zVj,(u)

^ n[<fj.(zu)-zu7 + tzi n[^P^(u)-u] l ( U i z O » 2"^

et, en vertu de càlculs analogues,

n^[^^(u-Hv)- f^(u)- if ^(v| /. 3 .

Les expressions 'f< 2u)~zf(u), <f(u+v)~Ki?-)-"f(v) sont indépendantes de r et tendent vers zéro lorsque r iend vers l'infini» Ces expressions sont donc nulles, ^ est une application linéaire»

Le noyau de l'application linéaire borné© f est un souSî^espac© fermé de l'espace de B anach So Soit 1 ce noyau. L'application 9 induit un isosiorphisme d'espace vectoriel de !E/P avec ^(B)» L'image «f(2) sera appelée Eg, et munie de la structure d'espace de Banach quotient de S modulo F,

L'espace de i-.^ a les propriétés suivantes:

c^^o Son espace vectoriel sous-jacent est un sous-espace de celui de E^ Cgo Sa sphère unité est la fermeture convexe formée (pour la

struc-ture d'espace vectoriel topplogioue de 3^) de l'ensenhle B« Cjo L'application identique de Eg dans B est bornée»

B étant donné, est caractérisé par ces trois propriétés s

Soit B borné, et soient B', B" deux espaces de Banach qui véri-fient chacun las conditions Cj^, ^j» Soit n' la norme de B' et

n" la norme de B",

Soit xéB' et £ arbitrairement petit. Alors x»î z_ u„ avec u„eB n n n

pour tout n, %^ complexe, ï\z^l/ (1+^) n'(x)o

\l . puisque u^'fB, et que donc n"(Ujj^)41« Maxs ia somme de cette série pour la structure de B" est évidemment égale à sa somme-«pour la structure de E, celle-ci étant aussi égale à la somme de cette sé-rie pour la structure de B*, donc à z. Par conséquent xeB", et

n"(x) - n"(î u^) ^ ?iz^\^n'(x)4 1 ) quelque soit & , soit n"(x)Zn*(x).

Par conséquent E ' î « B " , n ' \ n " sur S ' o Les inclusion et inégalité inverses se démontrent de ha même manière, B ' « B " , et ont la même structure d'espace de Banach.

5o L'espace à bornés B est complet si p(X,B) vérifie le second

critère de Cauchy chaque fois que X ast un ensemble muni de la struc-ture à bornés la moins fine.

Supposons la condition vérifiée. Soit Y un espace à bornés quel-conque, et 2 une partie bornée èe Y-^ La structure à bornés induite sur X est la structure la moins fine^

Soit Uji^, o e » ,u^,. a o une suite de Gauchy de f(Y,B)a La suite

1*'***^

suite de Cauchy de p(X,S)o Par hypothèse, cette suite a une limite, soit VjB

Soient X', X" deux parties bornées de Y„ Las limites v^» et v^;» coïncident sur X'nX"Il existe donc une application v de Y dans B qui a v-j pour restriction à X, lorsque X est borné dans Y. Montrons que Uj^,o«6,u^,».» tend vers v dans f(Y,B). (Il est évident que v^pCY^E))»

ttj^, « •. ,u^, » o • est une suite de Cauchy de f3(Y,B), Il exista une suite tj^i^oot £^t « o 1 de réels positifs què tend vers zéro et un bor-né B de (Y,B) qui sont tels que u^-u^,e C^B lorsque u ' ^ n . jte chaque

11-. La suite converge d'autre part vers v^ pour la structure de P(X,B)o II existe donc une suite e'j^,o.., £\,»oo de réels posi-tifs tendant vers zéro et un borné B'(X) de: B tels que «x.n^^^'^X^*^ e £'^B'(x), ou encore que u^(x)-v(x)e £'^B'(X) si xsX»

Soit X donné, A tout n nons pouvons associer un n ' ( n ) ^ n tel ^•^^ ^'n'(n) ^^n« ®^

u^(x)-v(x) - [ttn^x)-u^,(^)(x)) 4-[a^,(^)(x)-v(x)] ^ ^ n + ^'n'Cn) B'(X)££^B"(X)

si B"(X) est la fermeture convexe équilibrée de B(X)+B'(X),

A tout borné X de Y nons associons ainsi un borné B"(X) qui est tel que j(u^^v)/£ j £ B " ( X ) si xeX, Par conséquent u^--»v dans p(Y,E)o 4o Soit E un espace à bornés. L'espace B est complet itfi à tout bor-né B de B nous pouvons associer un espace de Bsna^^'^^nt l'espace vectoriel .iacent est un espace de l'espace vectoriel

sous-Jacent de B, et dont la sphère unité est une partie bornée de B qui contient B»

Soit en effet S »in ensemble muni de le structure à bornés la moins fine, et soit u^^, •,. ,u^,,. ,une suite de Cauchy de ^(X,B)o Nous pouvons trouver un borné B de B et une suite £3^,. ». ,£^,. « n de réels positifs qui tend vers zéro et est telle que u^(x)-a^i(x)'6. e^B lorsjque n ' ^ n »

La suite Uj^,. „. «àj^j^î, c » est une suite de Cauchy de ?.CX;F(B))o Sa limite,

V, dans cet espace, est a fortiori une limite de cette suite dans f(X,B

5o L'ensemble YBO Soit B un espace à bornés qui vérifie le second cri-tère de Cauchy, Soit B une partie bornée de B. Considérons une suite £2^,,..,z^,.,, de nombres complexes telle que S {zj ^ 1 et une suite

• • • «^ji^f • • • d'éléments de B . La suite des sommes partielles de la série l b^ est une suite de C%uchy de B. La série ^ z^^^ converge,

tellaa que z^^^ S-, 2 | s J ^ 1, «t telles que ùj^â pour tout Hpus allons montrer que S est complet si et uniquement si KB est borné chaque fois que B l'est»

La condition est nécessaire; / B est contenu dans la sphère uni-té de S^, qui est bornée dans S» ai S est complète

Montrons que la condition est suffisante^ Soit F(B) l'ensemble des u«£ tels que a^sv avec ze^{ vs^B, et soit

Ag(a) - inf {izij aesïb, ££0-|

VB est évidemment convexe équilibré? F(B) est donc un espace vecto-riel, et n^ une semi'-ixorme sur F ( B ) « > I ï D U S supposons VB borné, il ne

contient pas d'espace non nul, et n^ est donc une norme. Appliquant le résultat démontré au paragraphe 2.4, il suffira de montrer que XL^ est une norme d'espace de Banaoh sur F ( B ) .

P(B) sera un espace de Banach si toute série î u^ telle que ng(u^)^2~^ converge pour la structure de F ( B ) . La suite des sommes partielles de Su^ est une suite de Cauchy de E puisque Uj,€2~^ VBO Cette série a une somme dans S, Nous devons montrer que la somme appartient à F(B) et que la convergence a lieu pour la structure de

F ( B ) o

Hous savons que aj,€2*"'/B, et par conséquent

^J/'^Q

pour a^s'^^rs convenables, avec 2*"^, "^rs^®' ^rs^^ra^

£ l TT^ «IPar conséquent i^^ z^g v^^ a «ne somme pour la structure

à bornés de B, cette somme appartient à JfBc Soit w»2 'ra"

La séràe t z^^ v^g converge vers w pour la structure normée de F ( B ) . Soit en effet P «ne partie finie de » X 5 telle que ^^g^p |Zpa|

Un raisonnement analogue montre que £g z^^g v^.^ tend vers pour la structure de F(B)o Bt par conséquent

^r «r - ^r^^s *rs ^rs^ " ^ra *rs ^rs

puisque la série double converge, et que chaque tenme de la série itéréB a un sens. (F(B) est un espace vectoriel topologique). La séria Z a ainsi une limite dans F(B), cet espace est un espace de Banach, Le résultat annoncé est ainsi démontré,

3« Combinaisons linéaires formelles.

Soit Z un ensemble à bornés. Nous allons définir un espace à bornés complet, fCX), qui contient X, induit sur X la structure à bornés donnée à priori, et est telle qu'une application bornée de X dans un espace complet ait un prolongement linéaire borné unique à rXX). Ces cojiditions déterminent r(X) à un isomorphisme près.

L'ensemble X est immergé dans l'espace complet, r(X)» Les élé-ments de r(X) seront appelés des combinaisons linéaires formelles convergentes d'éléments de X.

1, Commençons par montrer que r(X) est déterminé à un isomorphisme près. Soient i^.* ^2 espaces complets qui vérifient les

condi-tions énéncéesl L'application identique de X dans ^ est bornée.

Prolongeons cette appMcation à r^; nous construisons une application linéaire bornée y^, '® ^ dans qui laisse X fixe.

Nous pouvons définir de même une application linéaire bornée

^2 ^2 ^ laisse X fixe. La composée ^2 o ^

endo-morphisme borné de qui laisse X fixe. Hais l'application iden-tique de X dans n'a qu'un lemk prolongement à f^, et l'applica-tion identique de en lui-même est déjà un tel ptolongement.

lul-fliémeo De même la composée V^. Q V2 x teppi.icatxuii Identique de en lui-même. Les applications y^. ^2 ^^'^^ inverses l'une de

l'autre. Chacune est un isomorphisme. ^

2o Soit A l'ensemble des fonctions u(x) « qui sont définies sur X, à valeurs complexes, nulles en dehors d'un borné de X, et telles que Z^^^jaCx)!^ ooo (L'ensemble des x où u C x ) / 0 est fini ou dénombrable) e

est un sous-espace vectoriel de celui de toutes les applications de X dans les complexes.

Une partie B de A sera dite bornée si nous pouvons trouver un borné X^^ de X et un réel positif M, tels que u(x)=»0 si u6B, x ^ ^ , et que SjuCx){/M si uéB. L'ensemble des parties bornées de àk dé-finit évidemment sur cet ensemble une structure à bornés. Il est de plus évident que le second crifcère de Cauch^r est vérifié et que ÏB est borné lorsque B est borné» Â est un espace complet.

^ ne contient ]^as X„ Mais nous avons une injection (y-^ f J) de X dans A qui applique chaque yeX sur la fonction 'f^Cx) qui

s'annule lorsque x / y et est égale à l'unité lorsque x-y» Une par-tie B de X est bornée si et uniquement si son image par <f est bornée dans ù o

Hous appellerons r(X) un espace qui contient X, est en ^corres-pondanee biunivoque avec i^, l'application binnivoque de PCX) dans

£^ prolongeant \f o Nous définissons sur fCX) une structure d'espace complet telle que cette application biunivoque H' soit un isomor-phisme. Ainsi défini, r(X) est un espace à bornés complet qui con-tient X et induit sur X la structure donnée a priori,

3o Deux applications linéaires bornées, tj-^ et ^® ^C^) dans un espace à bornés coïncident aur un sous-espace fermé de r(X)o Mais

api 6

-plicatioxis 2^ et ^2 coiûcident donc sur tout r(X) si elles

oin-eident sur X. Une application de X dans un espace à bornée ne i)eut avoir au Kazimum qu'un prolongement à r(X),

Il reste à construire un prolongaaaent linéaire borné de lorsque -»} est une application borii§l'^^ans un espace complet B„ Soit u(x)6 jû o La série

-7 '(u) - tt(x) -^(x)

converge dans B» L'ensemble des 7 ( x ) tels que u(x) / 0 est en rffet borné et £îu(x)i /oo» la série est donc absolument convergente. L'ap-plication ^' est évidemment une apL'ap-plication linéaire bornée de A dans E, Posons enfin

1 1 - '^'0 t

Âlors est une application linéaire bornée de r(X) dans B xui prolonge

L'ensemble des résultats énoncés est. ainsi démontré»

Sous-espaces, quotients, sommes dj.rectes, produits tensoriela» La structure induite par un espace complet sur un sous-espace fermé, et la structure quotient d'un espace complet par un sous-es-pace fermé sont des structures d 'essous-es-pace complet. La sommes diracte de deux espaces complets est un espace complet.

lo Soua-espaees. Soit S un espace complet, F un sous-espace vecto-riel de S. Pour que^ la structure à bornés induite par S sur F soit une structure d'espace complet, il faut et iaa& il suffit que F soit un sous-espace fermé,

La condition est évldem!|ent nécessaire: Si F n'est pas fermé, nous pouvons trouver une suite d'éléments de F qui tend vers un

élément de E n'appartenant pas à F. Cette suite est une suite de Cauchy de F qui ne peut avoir aucune limita dans F, D'espace F ne vérifie pas

le second critère de Cauchy, et n'est a fortiori pas complet.

Supposons alors F fermé. Une suite do Cauchy de F converge pour la structure de B vers un élément de E qui doit appartenir à F puis-que F est fermé, La convergence a un sens pour la structure à bornés de Fj la suite ( u - u ) / £ est bornée dans B si u^ est la suite don-née, a sa limite, et une suite réelle positive t^eadant vers aéro| mais (u^-u)/fc^^ € P., @"c une suite d'éléments de F qui est bornée pour

la structure de S est bornée pour la structure induite). L'espace F vérifie donc le second critère de Cauchyo

Soit ensuite B une partie bornée de F^ L'ensemble IfB calculé pour la structure de F est égal à l'ensemble ÏB calculé po«œ la structure de 3o Le second est borné, le premier l'est donc aussi-F est complet, en vertu du paragraphe 2.5.

2e Espaces quotients. Soit E un espace complet, et soit F un sou3~

eopaeo fermé da S„ Hous aaons défini une stiructtire d'espace à bornés sur Ïï/Fo Nous allons montrer que cette structure est une stractaca d'espace complet. Il suffira de montrer que pCXjB/F) vérifie se-cond critère de Cauchy si X est un ensemble muni de la structure à bornés la moins fine.

exCraxx'è dit .cenos suxoti une eux\;«» ^«^ bla^^o u ' • • • »^ • o a '««tiXJLtii ^ue tt'j.^i-tt'r«'0(2'"^) pour la structure à bornés de pCXsB/ï). La

S'il te donnée convergera si cette suite partielle converge,

Hous supposons donc que 2^{a^^j^(x)-u^(x)J est borné dans E / F indépendamiaent de r,x« L'ensemble des valeurs de cette expression est l'image quotient d'une partie Aornée de S. Il existe une suite bornée, Vj^Cx) ,.., ,Vp(x),... d'éléments de p(X;B) te Ils que l'applà-cation quotient de B sur B/P applique Vj,(x) sur 2^|^u'^^2^(x)-a'j.(x)| De même, a'j^(x) est l'image quotient d'une fonction û'2(3c)€, p (X,B).

Posons

û(x) - û'i(x) + v^(x)

Alors tt€^(X,E), la série étant absolument convergente dans cet es-pace. L'image quotient de û appartient à p(ZjB/P). Bt u'^ converge évidemment vers oettè image quotient dans pCXjB/P). L'espace B/P est donc complet,

3o Sommes directeso Hous avons défini une structure d'espace à bor~ nés sur la somme directe de deux espaces à bornés. Cette structure est une structure d'espace compleit si les deux espaceA considéréo. sont complets» C'est évidents une suite de Caucby de a^VyB/g^

^ ( X f B ^ F ) est la somme directe d'une suite de Caucby de ^ X , B ) et d'one suite de Caucby de |5(x,P) « Bile converge vers la somme di-recte de ses facteurs directs.

(e+e',f)-(e,f)"(e',f)5 (e,f+f•)-(e,f)-(e,f') 2o

avec e,e' dans B, f,f' dans K, et z complexe. Soit P ce sous-ea-pace. Le produit tensoriel complet, B ^ F sera par définition le

quotient r ( B X F ) / r ' avec sa structure d'espace complet quotient, Hous avons B X F ^ F C E X F ) » L'application quotient envoie (e,f) ç S X F sur un élément de B ^ F que nous appellerons eSft, L'applica-tion ( e , f ) ~ 4 e ® f est évidemment bilinéaire bornée.

Soit ensuite G un troisième espace complet» et soit ^If^une application bilinéaire bornée de B X F dans G. L'application a un prolongement linéaire borné Vj/j^ à r(B X F) o Le noyau de

con--tient les diverses expressions (l),(2)et concon--tient donc P ' . L'cation v^^ est la composée de l'appliL'cation quotient par une appli-cation ^2 ^® Go Bt Y 2 vérifie la relation

y g ^ e g f ) » yCe.f) 3.

L'application ^2 vérifiant la relation (3) est unique», Bn eiTfet, deux applications linéaires bornées de B S F dans G qui vé-rifient la ralation (3) coïncident sur l'ensemble des éléments e<^ f

(eeB, fËF), et B S F n'a pas de sous-espace fermé propre contenant tous ces éléments.

Deux espaces complets, B, F étant donnés, nous pouvons construire on troisième espace cooqplet B U F et une application (e,f)-^e9'f de B X ? dans B ^ F qui est bilinéaire bornée et telle qu'à toute appli-cation bilinéaire bornée s' de B X F dans un espace complet G corres-ponde une application linéaire bornée 1^' de B ^ F dans G, et une seule, telle que

y(«,f) - y ' ( e ^ f )

2 0 .

5o Filtratlons o

Une filtratlon sor on espace couplet, B, eftt une application de l'ensemble des parties bornées de B dans &* • ftw£-a^j qui a cer-s

I taines propriétés généralisant les propriétés des filtratioxus usuel» ! leSo Par abus de langage, nous appellerons "filtratlon d'un élément

<

1 de B" la filtratlon de la partie de B qui est réduite à ce seul ; élément.

{ Soit ksfi^o Les éléments de B dont la filtratlon est au maximum

égale à k constituent un sous-espaee vectoriel, ^ de B , Les parties bornées de B dont la filtratlon est au maximum égale à k définissent sur ^ une structure d'espace complet.

Soient B^,eo»»B^des espaces complets filtrés, et ^ une appli-cation multilinéaire bornée de B^^X O O C X B ^ dans un nouvel espace complet filtré F. La filtratlon de ^ est définie et inférieure ou àgale à N si la filtratlon de ^Bj|^,o«o»B^) est inférieure ou égale à kjj+o.o+l^+H lorsque kj^,po»,k^ sont les filtratlons de Bj^^^ocB^o La restriction de tf au produit des espaces jc^l application

multilinéaire bornée de ce produit dans

lo Hous appellerons le demii^groupe ordonné obtenu en adjoignant

l'éloâment minimufl» -oo^ au groupe ordonné ^ dea entiers rationnels o La structure de est déterminée ai l'on veut que P*OD soit un élé^

ment minimum^ et que la structure de Aemi-groupe ordonné de 9^ pro-> longe la structure de groupe (additif) ordonné de iàt

r*eo ^ û , r-oo + n » 1-00 ai n est un élément quelconque de fi*o

Il.

les propriétés suivan^seat

ftj^o ^CBjUBg) « supi^CB^^), ^^CBg)] Age ^ B ) ^ ^(B') ai B2B'o

e^^o XiiB^**2^2^^ Btx^Q(B{), ^(^B^^ a± z^.z^ sont scalaires, B^,B^ étant bornés.

«2» - ^CB)

•36

9(

(Hoos appelons { o ] l'ensemble réduit au seul élément nul)» Nous

ne supp&aons pas g.ue X B ) ^ — » »i B est un borné qui a des éléments

non nolSo

Les filtretions stjnt définie» sur l'ensemble des parties bor-nées de S, et pas sur B lui'-mâme, Hous parlerons toutefois de la

filtration d'un éUément de B, celle-ci étant par définition égale à la filtration de la partie réduite à cet élémentt

>)(u) - ^>({u}) S)(a) a les propriétés suivantes}

9 (B) • ^00 1»

) i sap[^(tt)s i>(a')J 2o

Se plus,

9 M ^ ï?(B) si ttSB 3o

2^ L'espace Soit k6&*„ Appelons ^ l'ensemble des a€B dont la

filtration est au maximum k, et ^ l'ensemble des parties bornées de B dont la filtration est au plus k, L'esnemble ^ est un sous-espace vectoriel de B (inégalité 2), Bt l'inégalité 3 montré que chaque élément de ^ est une partie de II est évident que

définit une structure d'espace à bornés sur Sous allons mon-trer que '^^e-tte a-^icture est une structure d'espace complet o

2 1 .

partielle, u^^^ « * <, ^Vi^f e « ^ lislie Q.UQ i'enseable tà ayant les élécienta S^diy^^rîSy) (r«l,«*«.)appartienne à jjBo la suite donnée converge

ai dette aaite partielle eonverge.

Posons Vjp«2^(ay^3^r«^)fl et «-Hj^+S^* 2 ^ V y . Alors, B, et a 2 B< Mais 9(2/B)^ ï^(B)^k9 et par confléqaent 9(tt)^k» n&^<, Ensuite^

a est le limite de tei^ pour la strootcD Tiéa de iliaque

L'espace ^ ^ - - ^ icond cr: -^ucby,

Koua ac stration en observant que l'ensemble fB

défini à partir de B à l'aide de la structure & bornée de ^ est le mêmB que l'ensemble XB défini à partir de B à l'aide de la structure à bOTAés de S , Le >iid ensemble ÏB est borné dans Le premier

l'est donc aussio

3o Applications linéaires et mttltiiiaér'1???»So Soient Sj^^ooo^B^iP des espaces «omple ~ ' ^ les filtrations respeei^ives,

ous dirons que la filtration de l'application multilinéaire bornée j û0t définie si l'o. ^c^t trouver un Et8^ tel que l'inégalité sui-vante soit vrc sont borné i»**»»^!!

peotivement s

ne inférieî rte inégal:» riltre - . .

ou de filtrati' " ' - oua-entendrons toujours que iltrati.on de ^ est o

Soit f multili au plus .

S respactitreinent»

» « • 9 "

_{. V ^ ® * ^ ^i}

daxus jf^j^o D® fli^ sB^to.osB^j est burne dans jj^^jji^ si ^i»"«»«>»^a

sont respectivement bornés dans j^S^^tooo^j^S^o

La restriction d'une application multilinéaire bornée de filtra-tion au plus H, de B ^ ^ X a « . X B j ^ dans

9<t

multi-linéaire born<^- k j ^ ^ l ^ Xjj;^^ • ^

Loraqi^

...iore val&<. . ^ ^^^ -69 Algèbres et mcidnlea.

Smontrés ici sont .ations linéaires,

Nous défiu . . . . j, éventuel:

' r et les modulas complets, éventuellement filtrés sur o ?9S, Nous établissons quelques propriétés simples de ces r

Hae sar l'espae vectorlî

laqu^ i. . . ï'init une structure d'espace à bornés duit • T'née, L'algèbre

^eenl? est eomp ;.. bornés. îi^. . \ bornés est un

SQtoriel -aal on définit une

si sa sti-uui.. ju-'ti

gèbre e.s , , si toute suite conve. ^ d'é3>^ents ^ la sous-alr" ^ - ,. -s^,. ,„.. -r,, ...

algèb

^, bre comp

-De même un idéal, ou un sous-modi''^ " " 3 ai chacun ites oonve: lel'idéal ou du

• ... . ,,... a& idéal bij

14.

Soit u^ une suite d'éléments d'une algèbre à bornés, et soit v^ une suite d'éléments de cette même algèbre ou di|nn modul* à bornés sur cette algèbre. Alors «>j.^r*0(©yd^) si u^-OCOy)» Tjp«0(dy), et Uj,Tp—•UV si U y — > U , Tj,—^Vo

Une algèbre complète est filtrée si une filtration est définie sur son espace vectoriel sous-|aeent, de manière telle que le produit (a,b)—^ab ait une filtration négative ou nulle. Un A-module comp&et complet filtré est un ifr-module coorplet sur l'espace vectoriftl duquel l'on définit une filtration telle que le produit (a,m)—^am soit de filtration négative ou nulle.

La restriction du produit est alors une application l}ilinéaire bornée de ^ ÉrXv A dans ^ . h et û.e ^ AXI,. M dans v .v. *o

*1 *2 ^ 1 + ^ ^1 *2 *^1**2

7o Bxemplea.

Hous doni temples d'espaces complets et d'algèbres

complètes, Nous définissons notamment une structure d'algèbre comr-pljKte sur une catégorie impor pjèbrea localement convexes

à l'alinéa 4. Le. _ , y'je dissertation

pour-ront être appliquér ' ~ ''-nient conveàtes de cette caté-SoriOo

1. iftpac 3ible de définir qu'nne

seule structure d'c.^.i .3 à borni - m espace à im nombre fini de dimensions» L'espace étant identifié avec une partie de cet es-pace sera bornée si et uniquement si elle est contenue dans une boule de rayon fini*

donc bornée poux* toa'c^' sox'uctiujii-u û i^^^-^L-jiH >i,ux '«

Réciproquement, un convexe équililsré, B, de est contenu dans une boule s'il ne contient aucun espace vectoriel non nul. L'ensemble de& ufjS''^ tels que tt»lim(v^/n) avec Vjf^^B est en effet un sous-espace vectoriel de qui est contenu dans B et ne serait pas nul si B n' était pas contenu dans une boule.

Un borné, B^, est contenu dans sa fermeture convexe équilibrée, B| colle-ci est bornée et ne contient donc pas d'espace vectoriel non nul. L'ensemble B^ est donc contenu dans une boule.

2. Structure la plus fine. Parmà toutes les structures d'espace à bornés définies sur un espace veotoriâl, £, il en est une plus fine

que toutes les autrese C'est celle pour laquelle les seules parties bornées sont celles qui sont contenues dans les fermetures convexes d'ensembles finis. L'espace à bornés ainsi défini est isomorphe à

f(X), si Z est une base de S, sur laquelle on met la structure d' ensemble à bornés la moins fine. L'espace B est donc complet.

Soient S X 9 « « « « S Q <1O8 espaces vectoriels, munis chacun de la

structure d'espace à bornés la plus fine. Soit f un espace à bor-nés quelconque. Une application multilinéaire de B^XO.CXB^^ dans P

est toujours bornée. Soit par exemple £ une algèbre « La structura à bornés la plus fine est une structure d'algèbre complète.

On dit qu*un espace localement convexe est quasi-complet si la structure uniforme de cet espace induit sur les parties bornées fer-mées une structure d'espace uniforme complet» Toute suite da Caucby pour la topologie converge alors» Une suite de Cauchy pour la struc-ture d'espace à bornés converge a fcrtiori» De plus^ l'ensemble /B est contenu dans la fermeture de B »t est donc borné si B l'est,

La atruc»ure à bornés aâsociée à une structure d'espace locale-ment convexe quasi-complet est une structure d'espace à bornés complet. 4-0 Algèbres localement convexes» Soit é une algèbre complexe. Supposons définie sur l'espace vectoriel sous-;}acent de é une structure d'espace localement convexe quasi-complet, et supposons le produit (a,b)-^ab séparément continu, La structure à bornés associée est une structure d'algèbre à bornés complàt^oll suffit pour cela de montrer que BB' est borné si B et B' le sont»

Un ensemble d'applications d'un eopace vectoriel quasi-complet S dans un espace vectoriel topologique P est en effet borné pour la convergence uni.! bornés s'il est borné pour la convergence

simple IpQe Soit e.ions à chaque b^B l'homolihétie gauclie

a^t a — 4 b a , L'ensemble des bomothéMes g^ (beB) est borné pour la convergence simple^ et donc pour la convergence uniforme sur les

gonctiojis tempéréeso

Dans l'étude spectrale des algèbree complètes, nous devrons considérer des espaces, et des algèbres de fonctions de plusieurs variables complexes, à valeurs dans l'algèbre considérée, ou dans des espaces complets, associés. Le chapitre II est consacré à la dé-finition, et à l'étude préliminaire de ces espaces et de ces algèbres»

Les propriétés que nous établissons dans ce cÀbpitre relèvent de la théorie des fonctions de va±iables réelles, et pas de celle des fonctions de variables complexes. Les raisonnements auront une allure plus simple si nous considérons des fonctions de variables réelles à valeurs dans une algèbre. Il sera passible d'appliquer les propositions établies ici, lorsque nous en aurons besoin, en identi-fiant «"^ avec iè^.

fiotations. Chaque espace Sr*^ (et ultérieurement sera normé par la norme Suclidéenne

Nous définissons sur cet espace la fonction

qui est analytique-réelle, positive, et tend vers zéro à l'infini !—1

comme \a\ o Hous ne rappelons pas dans les notations sur quel es-pace nous considérons les fonctions \a\ ^ ^gC^)» nombre n

pou-vant toujours être déterminé par le contexèo. Supposons par exemple que séS^, a'«S^', alors (s,8')g»'*'*"^' et »J«(s,s')P -fs|^+|8'j^„

80 FonctAons tempérées queleonqaes, ^

Soient S u4 espace complet, a^^yoe.tS^ des rariables réelles, •t l(s) une fonction bornée, réelle non négative définie sur

de ees variables» Nous appellerons |$B) l'espace des fonctions a(a), de a»(aj^,ooo,8^), qui sont définies lorsque ^(a)^0, et à va-leurs dans 5o Un élément de ^(af i |5) est par définitions une fonc-tion ^ -tempérée à valeurs dans 5.

Une structure d'espace à bornés complet filtré est définie 8ur^(a| ^ }S)o Des espaces à bornés ocuaplets, Sj^ioo.fB^tF et une application multilinéaire bornée, if, de B^.^'*»^^]!! «^^^ ^ étant donnés, nous pouvons trouver oanoniquement une application

multi-linéaire bornée, f* ayant une filtration Lo du produit des espaces 0 ( 8 } / dans ^(s{ i|;F)o Par abus de langage, nous écririons

souvent^ pour if*c

Nous m33.tronjs enfin comment les espaces complets 6^(8} é j ^(t;^'|£ et ^ 8 « t $ i/ * ;S) peuvent être identifiés canoniquameoit «

le Définition. Soient Si^,• r^,8^ des variables réelles indépendantes, a»*(8^,«,,.,s^), et soit i(s) une fonction bornée, réelle non négative de s quàest définie sur Soit B un espace complet, et u une

fonc-tion de s à valeurs dans B« La foncfonc-tion u(s) sera dite It-ten^rée ai aon domaine de définition est l'ensemble K 8 ) } ^ 0 et ai l(8)^tt(s)

est borné indépendamment de s pour N suffisamment grand.

L'ensemble des fonctions ^^tempérées à valeurs dans B est on espace vectoriel complexe que nous appellerons ^(s^ S iS)„ Une par-tie B d e ^ 8 ; ^ | B ) sera dite bornée s'il existe un N«^fir tel que

S M reste borné dons B indépendamment de usB et de aeB^,

/ ( 8 ) ^ 0 o La filtration de B sera dite être inférieure ou égale

à