Transmission de puissance Notes de cours pour les élèves de CPGE PT

Transmission de puissance Notes de cours pour les élèves de CPGE PT

Version 1.0

1^eravril 2014 écrit sous L^ATEX 2ε

Elric THOMAS

Table des matières

1 Transmission de puissance 1

1.1 Généralisation. . . 2

1.1.1 Aspect cinématique - Définitions . . . 3

1.1.2 Aspect énergétique . . . 3

1.2 Les principales solutions constructives . . . 4

1.3 Transmission de puissance par poulie-courroie . . . 4

1.4 Transmission de puissance par chaîne et pignons . . . 5

1.5 Transmission de puissance par engrenage . . . 6

1.5.1 Principe . . . 6

1.5.2 Géométrie des dentures . . . 6

1.5.3 Caractéristiques de la transmission . . . 7

1.5.4 Conditions à respecter . . . 8

1.5.5 Fabrication des engrenages . . . 8

1.6 Comparatif entre les systèmes de transmission . . . 10

1.7 Réducteurs de vitesse à engrenages . . . 11

1.7.1 Réducteurs à engrenage élémentaire . . . 11

1.7.2 Réducteurs à trains d’engrenages . . . 13

1.7.3 Réducteurs épicycloïdaux . . . 14

1.8 Train sphérique - Différentiel . . . 18

1.8.1 Le différentiel . . . 18

1.9 Actions mécaniques exercées sur les dentures. . . 21

1.9.1 Cas des engrenages droits à denture droite . . . 21

1.9.2 Cas des engrenages droits à denture hélicoïdale . . . 21

A Réducteurs et différentiels 23

B Pignon d’attaque de différentiel 27

Chapitre 1

Transmission de puissance

D

ans de nombreuses applications industrielles, on est amené à choisir, pour des raisons économiques, comme actionneur un moteur dont le couple nominal et/ou la vitesse nominale ne correspondent pas aux conditions de l’application.

Exemple 1 Groupe turbopropulseur du TUCANO EMB 312 FF.

Figure 1.1 – TUCANO EMB 312 FF

L’actionneur est ici un turbopropulseur¹ qui transmet sa puissance mécanique à l’hélice.

Figure 1.2 – Schéma de principe du turbopropulseur PT6A

1. Le terme français turbopropulseur est en fait dérivé du mot anglais turboprop composé de turbo et de propeller (hélice) et qui signifie littéralement moteur à hélice entraîné par une turbine.

⇒ La vitesse en bout de pale ne doit pas atteindre la vitesse du son ; ce qui impose une vitesse de rotation de l’hélice de : ωhélice= 3 200tour/min.

⇒ L’arbre de la turbine de puissance tourne à :ωturbine= 33 000 tour/min.

On constate que les vitesses de rotation ω_hélice et ω_turbine sont différentes. On ne peut donc pas relier directement l’hélice à l’arbre de la turbine de puissance.

Pour satisfaire le besoin, le concepteur a intercalé entre le turbopropulseur et l’hélice un réducteur de vitesse à engrenages. La figure (Fig.1.6, p.5) présente la chaîne fonctionnelle de la transmission de puissance et l’annexe (Fig. A.1, p. 23) représente le schéma du réducteur de vitesse à engrenage du groupe turbopropulseur sur TUCANO EMB 312 FF.

T u r b o p r o p u l s e u r R é d u c t e u r à

e n g r e n a g e s H é l i c e

C o u p l e

m o t e u r C o u p l e

d e s o r t i e

V i t e s s e a d a p t é e V i t e s s e d e

r o t a t i o n

A d a p t a t e u r d ' é n e r g i e M é c a n i q u e

Figure 1.3 – Chaîne fonctionnelle de la transmission de puissance

Un réducteur de vitesse réalise deux fonctions principales au sein de la chaîne fonction- nelle :

1. Transmettre la puissance mécanique du moteur (turbopropulseur) vers le récepteur (hélice).

2. Adapter cette puissance mécanique pour obtenir les caractéristiques désirées (couple et vitesse de rotation).

Ainsi, pour l’exemple choisi, on obtient :

• ω_hélice<< ω_turbine

• C_hélice>>C_turbine

1.1 Généralisation

Les réducteurs et multiplicateurs sont des transmetteurs de puissance. Leur place dans la chaîne d’énergie est la suivante :

M o t e u r

C 1,w 1 R é d u c t e u r o u

m u l t i p l i c a t e u r

C 2,w 2

R é c e p t e u r

Figure 1.4 – Chaîne fonctionnelle d’une transmission de puissance

L’actionneur associé aux réducteurs et multiplicateurs, est principalement un moteur électrique, thermique, hydraulique ou pneumatique.

1.1Généralisation 3

1.1.1 Aspect cinématique - Définitions

La norme ISO 1122-1 de 1998, ainsi que la norme NF E 23-001 définissent la notion de rapport de transmission.

Définition 1 Rapport de transmission

Le rapport de transmission est défini comme étant le quotient de la vitesse angulaire de l’arbre d’entrée ω₁ par celle de l’arbre de sortie ω₂ du système transmetteur de puissance.

i= ω₁ ω2

(1.1) Le rapport de transmission est positif lorsque les vitesses angulaires sont de même sens et négatif lorsqu’elles sont de sens inverse.

Remarque 1 Très souvent, on utilise l’inverse du rapport de transmission pour déter- miner les lois d’entrée-sortie dans un système de transmission de puissance. En effet, on connaît très souvent la vitesse de rotation à l’entrée et on recherche celle de sortie.

r= 1 i = ω2

ω₁ = ωs

ω_e (1.2)

Lorsque l’on a|r|=|^ω_ω²

1|<1, on parle de système réducteur et de rapport de réduction.

Lorsque l’on a |r| = |^ω_ω²

1| > 1, on parle de système multiplicateur et de rapport de multiplication.

On parle aussi d’inverseur lorsqu’il y a inversion du sens de rotation.

1.1.2 Aspect énergétique

Si le rendement du réducteur ou du multiplicateur est idéal, on a la relation de conser- vation de la puissance mécanique entre l’entrée et la sortie du système de transmission de puissance :

P =C₁·ω₁ =C₂·ω₂ (1.3)

On en déduit alors :

C₂ C₁ = ω₁

ω2

(1.4) Dans le cas d’un réducteur de fréquence de rotation, il y a multiplication du couple. Dans le cas d’un multiplicateur de fréquence de rotation, il y a réduction du couple.

Si l’on prend en compte le rendement η de la transmission , on a : η= P₂

P₁ = C₂·ω₂ C₁·ω1

= C₂

C₁ ·r (1.5)

1.2 Les principales solutions constructives

Dans le cas du groupe turbopropulseur du TUCANO, l’organe de transmission et d’adap- tation de la puissance est un réducteur à engrenages. Le réducteur à engrenages n’est pas la seule solution constructive qui permet de réaliser les fonctions désirées. On classe géné- ralement l’ensemble des solutions en deux familles.

• Les transmissions de puissance par adhérence parmi lesquelles on distingue :

— Les transmissions de puissance par poulies - courroie.

— Les transmissions de puissance par roues de friction.

• Les transmissions de puissance par obstacle parmi lesquelles on distingue :

— Les transmissions de puissance par pignons et chaîne.

— Les transmissions de puissance par engrenage.

Il est clair que la transmission de puissance par engrenage est la transmission phare des systèmes techniques industriels du fait de sa compacité et des rendements associés.

1.3 Transmission de puissance par poulie-courroie

C’est certainement la transmission de puissance la plus ancienne ; elle est utilisée depuis le début de l’époque industrielle. Elle permet de véhiculer l’énergie mécanique entre deux arbres parallèles et relativement éloignés². Ce type de transmission de puissance est encore énormément utilisé, par exemple dans l’industrie automobile (courroie d’accessoires, courroie de distribution, courroie d’alternateur).

2

3

1 0 R 2

R 1 a

a w

2 / 0

w _{1 / 0}

Figure 1.5 – Système poulie-courroie Ce type de transmission est constitué (Fig. 1.5, p.4) :

• d’une poulie motrice (1), assemblée à l’arbre moteur,

• d’une poulie réceptrice (2) liée à l’organe à entraîner,

2. En fait, on peut avoir aussi des montages de courroie entre des arbres inclinés ou perpendiculaires.

1.4Transmission de puissance par chaîne et pignons 5

• d’une courroie (3) qui s’enroule sur chacune des poulies.

Le mouvement est transmis de l’arbre moteur à l’arbre récepteur par l’adhérence de la courroie sur les deux poulies. Les courroies peuvent être plates, trapézoïdales, striées ou synchrones³.

Au passage sur les poulies, la courroie se déforme et provoque un glissement dit “fonction- nel” (différent du patinage). Ce glissement introduit une variation, et donc une imprécision, du rapport de transmission. Si on admet que la transmission s’effectuesans glissementet que lacourroie est inextensible, alors on peut définir le rapport de transmission par :

r= ωrécepteur

ω_moteur = ω_2/0 ω_1/0 = R1

R₂ (1.6)

1.4 Transmission de puissance par chaîne et pignons

Seule l’architecture ressemble à celle de la transmission par poulies - courroie, car la transmission de puissance par pignons et chaîne s’effectue par obstacle (Fig. 1.6, p. 5).

L’arbre moteur et l’arbre récepteur sont aussi relativement éloignés. La première figure représente l’engrènement de la chaîne sur une roue denté. La deuxième figure montre la constitution d’une chaîne à rouleaux qui sont les chaînes les plus couramment utilisées.

Figure 1.6 – Schéma descriptif d’un système chaîne-pignon

Les systèmes de chaîne-pignon sont utilisés en automobile pour la distribution, pour la transmission de puissance des cycles (vélo, moto), pour les systèmes de convoyage dans l’industrie.

Il n’y a pas de glissement entre la chaîne et les roues dentées, ce qui garantit un rapport de transmission constant. Il s’exprime par :

r= ωrécepteur

ω_moteur = ω_2/0 ω_1/0 = dp1

d_p2 = Z1

Z₂ (1.7)

3. Une courroie synchrone est un système de transmission de puissance par obstacle !

1.5 Transmission de puissance par engrenage

1.5.1 Principe

La transmission de puissance par engrenage véhicule l’énergie mécanique entre deux arbres sans éléments supplémentaires etpar obstacles (contact direct). L’arbre mo- teur et l’arbre récepteur peuvent être parallèles, sécants ou orthogonaux. Ce mode de transmission de puissance est vieux de plus de 2000 ans, il était ainsi possible d’observer des roues possédant des dents faites de bâtons de bois en vue de transmettre un mouvement de rotation dans les puits à eau.

Un engrenage est la constitution d’un pignon et d’une roue dentée(le terme pignon est réservé pour la roue munie du plus petit nombre de dents).

On parle aussi de pignon arbré lorsque le pignon est directement usiné sur l’arbre et n’est pas rapporté. La figure (Fig.1.7, p.6) représente le schéma cinématique d’une transmission par engrenage à contact extérieur. La figure (Fig.1.8, p. 6) représente l’engrènement entre le pignon 1 et la roue 2. On notera les caractéristiques suivantes (pour le pignon 1 par exemple) :

• cercle primitif, cercle de centreO₁ et de rayonr₁,

• rayon primitifr₁ = [O₁I],

• pasp₁, distance entre deux profils consécutifs,

• Z₁ le nombre de dents.

021 y x

y

z I O 1O 2 r1 r2

w 1 / 0

w 2 / 0

O 1O 2 I

Figure 1.7 – Schéma cinématique

O 2O 1

p2 p1

P i g n o n 1 Z d e n t s₁

R o u e 2 Z d e n t s₂

w _{2 / 0} w _{1 / 0} I

Figure 1.8 – Schéma de principe Les dents sont taillées de telle sorte qu’il existe sur les roues dentées un diamètre fictif, appelé primitif, sur lequel les roues engrènent (presque) sans glisser (Fig. 1.8, p. 6). On considère donc que les deux primitifs roulent sans glisser l’un sur l’autre.

1.5.2 Géométrie des dentures

Les premiers systèmes d’engrenage utilisaient des parallélépipèdes en guise de denture.

Le temps aidant, les utilisateurs se sont aperçus que les dents ainsi utilisées s’usaient suivant

1.5Transmission de puissance par engrenage 7

une forme qui ne s’apparentait ni à un parallélépipède, ni à un cercle. Il a fallu attendre le 19éme siècle pour affiner la formulation mathématique de ces courbes : La développante de cercle était née. La courbe à développante de cercle est le profil tracé par l’extrémité d’un segment de droite roulant sur un cercle de base. Concrètement, une développante de cercle s’obtient en enroulant un fil autour d’un cylindre de diamètre donné (cercle de base). Si un crayon est attaché à l’extrémité du fil, et si ce dernier est ensuite tendu vers l’extérieur, la pointe du crayon décrira une courbe à développante.

Figure 1.9 – Profil en développante de cercle

1.5.3 Caractéristiques de la transmission 1.5.3.1 Rapport de transmission

La transmission par obstacle assure un roulement sans glissement au point I (Fig.1.7, p.6) et (Fig. 1.8, p.6), ce qui donne un rapport de transmission constant défini par :

r= ωrécepteur

ω_moteur = ω_2/0

ω_1/0 =−r1

r₂ =−Z1

Z₂ (1.8)

Le signe moins indique un sens de rotation différent pour la roue et le pignon (significatif pour un engrenage à contact extérieur).

1.5.3.2 Puissance transmissible - Rendement

⇒ la puissance transmissible peut être très élevée (plusieurs centaines de kW),

⇒ le rapport de transmission peut difficilement être inférieur à 1/8,

⇒ le rendement de la transmission est de l’ordre de 0,98.

1.5.3.3 Particularités de la transmission

Certainement la transmission la moins économique car elle nécessité un usinage soigneux des roues et un entraxe précis des deux arbres. Elle nécessite une lubrification, ce qui permet notamment d’obtenir une durée de vie élevée. Les avantages majeurs de la transmission par engrenage par rapport au deux précédentes sont :

— la possibilités de transmettre la puissance quelle que soit la position relative des deux arbres,

— la précision,

— les couples et les puissances transmissibles sont élevés.

1.5.4 Conditions à respecter

1.5.4.1 Condition d’engrènement (ou condition géométrique)

Pour garantir l’engrènement, il faut que le pas du pignon (1) et celui de la roue (2) soient égaux :p1=p2. C’est la condition géométrique ! Les dents sont uniformément réparties sur la roue, on a donc :

⇒p₁ = 2π·r₁ Z1

= π·d₁ Z1

⇒p2 = 2π·r2

Z2

= π·d2

Z2







⇒p₁=p₂⇒ d₁ Z₁ = d₂

Z₂ (1.9)

Ce rapport caractérise l’aptitude à l’engrènement des diverses roues entre-elles. Il est appelé module m. Pour une roue donnée :

m= d Z = p

π (1.10)

Deux roues dentées qui n’ont pas le même module ne peuvent donc pas engrener ! Le module est une caractéristique très importante dans la définition d’une roue dentée :

⇒ sa valeur est déterminée à partir d’une étude de résistance de matériaux, puis il est choisi dans une liste de valeurs normalisées,

⇒ il définit ensuite toutes les dimensions de la roue dentée (diamètre primitif, pas, hauteur de la dent, épaisseur de la dent, entraxe, etc...).

1.5.4.2 Condition de continuité

Pour assurer la continuité de la transmission, un couple de dents doit entrer en contact avant que le précédent ne perde le contact.

1.5.5 Fabrication des engrenages

Il existe plusieurs modes d’obtention des engrenages, le choix dépend de la qualité de la transmission, des matériaux utilisés, de la taille de la série, du type de système, etc.

Pour les grandes séries, les ébauches des roues dentées peuvent être obtenues par moulage (au sable, pour les roues en fonte ou en acier, sous pression pour roues en alliages légers, ou en matières plastiques). Les dentures sont très souvent achevées sur une machine à tailler.

Les ébauches de roues dentées ou les pignons arbrés peuvent être aussi obtenus par forgeage (méthode très souvent utilisée dans l’industrie automobile).

Les techniques de taillage d’ébauche des dentures sont multiples. Elles vont de la méthode artisanale à la méthode de production de masse, nous pouvons les décomposer en quatre grandes familles :

— Fraisage de forme à la fraise 2 ou 3 tailles sur fraiseuse conventionnelle avec plateau diviseur ou sur centre d’usinage 5 axes, dénommée aussi fraise module (productivité très faible, petite série, facile à mettre en œuvre, coût élevé) ;

1.5Transmission de puissance par engrenage 9

Figure 1.10 – Fraisage par fraise module Figure1.11 – Taillage par outil crémaillère

— Taillage à l’outil crémaillère (très petite série et prototypes, outils facilement réali- sables, machines spécifiques MAAG), l’outil crémaillère est animé d’un mouvement de coupe alterné vertical et “engrène” avec le pignon à tailler ;

— Taillage à l’outil pignon (intéressant pour les problèmes d’encombrement, machines spécifiques Fellows), l’outil pignon est animé d’un mouvement de coupe alterné verti- cal (mortaisage), l’outil et la pièce à usiner sont animés d’un mouvement de rotation synchronisé (engrènement) ;

Figure 1.12 – Taillage par outil pignon

— Taillage à la fraise-mère (le plus utilisé, grande productivité, principe de la roue-vis sans fin, taillage de toutes les dents en continu), les deux pièces sont entraînées en rotation et la fraise mère est animée d’un mouvement d’avance selon la génératrice de la denture à créer.

Figure 1.13 – Taillage par fraise mère

Il est cependant souvent nécessaire d’ajouter une phase de parachèvement afin d’obtenir

la qualité définitive des dentures (shaving, rodage ou rectification).

Remarque 2 L’industrie automobile est l’industrie qui taille le plus de roues dentées (en- viron 80 % de la production européenne de roues dentées), essentiellement pour les boites de vitesse ou pour les différentiels. La majorité des roues sont obtenues grâce à l’utilisation de fraises mères. Dans le cas ou l’encombrement de la fraise mère empêche l’usinage, le taillage par outil pignon est utilisé.

Figure 1.14 – Cas d’un arbre primaire de boite de vitesse PSA

1.6 Comparatif entre les systèmes de transmission

Système de

transmission Avantages Inconvénients

Variation d’entraxe possible Conditions de travail (eau, Souplesse de transmission poussière)

Limiteur de couple (glisse- ment possible)

Rapport de transmission va- riable...

Poulie-Courroie Grande durée de vie Encombrement

Coût réduit Puissance limitée

η >95%

Silencieux

Puissances importantes Vibrations

Variation d’entraxe possible Nécessité de lubrification Synchronisme (obstacle) Nécessité d’un carter Chaîne - Pignon Conditions de travail rudes Bruit important

Coût inférieur aux engre-

nages r > ¹₈

η >98%

Puissance très élevée Nécessité de lubrification Durée de vie élevée Nécessité d’un carter Engrenages Orientation des arbres quel-

conques

Usinage soigneux et entraxe très précis

Précision de la transmission Coût important η >98% r > ¹₇

1.7Réducteurs de vitesse à engrenages 11

1.7 Réducteurs de vitesse à engrenages

1.7.1 Réducteurs à engrenage élémentaire

Un réducteur élémentaire ou train simple assure directement la transmission de puissance entre l’arbre d’entrée (moteur) et l’arbre de sortie (lié au récepteur) par l’intermé- diaire d’un seul engrenage. Le tableau ci-dessous propose une classification des réducteurs élémentaires en fonction de la position relative de l’arbre moteur et de l’arbre récepteur.

Remarque 3 On appelle train simple un couple de roues dentées en liaison pivot avec la même classe d’équivalence. Cette classe d’équivalence cinématique n’est pas nécessairement le bâti (cela aura son intérêt pour l’étude des trains épicycloïdaux).

Position relative des axes des arbres moteur et récepteur

Type d’engrenage assurant la transmission

Schéma de principe Rapport de transmission

Axes parallèles (d₁//d₂)

Cylindrique à denture droite ou

hélicoïdale à contact extérieur

12 d 1d 2 r= ω_2/0

ω_1/0 =−Z1

Z₂

Axes parallèles (d1//d2)

Cylindrique à denture droite ou

hélicoïdale à contact intérieur

12 d 1 d 2

r= ω_2/0

ω_1/0 = +Z₁ Z₂

Axes concourants (d1 ⊥d2 par

exemple)

Conique à contact extérieur

1 2

d 1 d 2

r =

ω_2/0 ω_1/0

= Z₁ Z2

Axes orthogonaux Roue et vis sans fin

1

2 d 1

d 2

r =

ω_2/0 ω_1/0

= Z₁ Z2

Z₁ : nombre de filets de la vis

Figure 1.15 – Représentation normalisée des engrenages (NF E 04-113 et ISO 2203)

Figure1.16 – Engrenage cylindrique à den- ture droite à contact extérieur.

Figure1.17 – Engrenage cylindrique à den- ture hélicoïdale à contact extérieur.

1.7Réducteurs de vitesse à engrenages 13

Figure1.18 – Engrenage conique à contact extérieur.

Figure 1.19 – Système à roue creuse et vis sans fin.

1.7.2 Réducteurs à trains d’engrenages

Les trains simples sont très rapidement limités au niveau du rapport de transmission possible (encombrement), il est alors nécessaire de monter des trains simples en série, on parlera alors de trains d’engrenages. La connaissance des trains simples permet alors de déterminer le rapport de transmission des trains d’engrenages.

1.7.2.1 Exemple : réducteur de turbopropulseur à deux trains d’engrenages.

L’annexe (Fig. A.2, p.24) représente le dessin d’ensemble d’un réducteur de turbopro- pulseur et la figure (Fig. 1.20, p.13), ci-dessous, correspond à son schéma cinématique.

1 3 + 1 1 + 1 2

7 + 8 + 9 2 + 1 0

Z 1 0

Z 1 Z 2Z 1 1

Figure 1.20 – Schéma cinématique d’un réducteur de turbopropulseur

L’élément (1) correspond à l’arbre d’entrée, c’est-à-dire relié à l’arbre de la turbine de puissance. L’ensemble (3+11+12) est l’arbre relié à l’hélice. L’ensemble (2+10) est l’arbre intermédiaire qui relie les deux réducteurs élémentaires.

1.7.2.2 Détermination du rapport de transmission.

Le rapport de réduction global s’exprime par la relation suivante : r= ωrécepteur

ω_moteur = (−1)ⁿ·

QZroues menantes

QZroues menées

(1.11)

Oùnest le nombre de contact extérieur (entre roues dentées) ! Pour l’exemple proposé, l’application de la relation ci-dessus donne :

ω_3/0

ω_1/0 =− Z1·Z2

Z10·Z11

(1.12) 1.7.3 Réducteurs épicycloïdaux

1.7.3.1 Principe

Définition 2 On appelle train ou réducteur épicycloïdal, un train d’engrenages dont l’une (ou plusieurs) de ses roues dentées tourne autour d’un axe mobile par rapport au bâti prin- cipal.

On les rencontre souvent car ils autorisent de grands rapports de réduction sous un faible encombrement. De plus, ils permettent plusieurs rapports de transmission à partir du même équipement⁴. Le rendement est très bon mais malheureusement, ils coûtent plus cher qu’un train normal (usinage précis, design complexe).

Un train épicycloïdal est toujours au minimum composé de deux planétaires (1) et (3), d’un porte-satellite (4) et de satellite(s) (2).

S a t e l l i t e ( 2 ) P o r t e - s a t e l l i t e ( 4 )

B â t i ( 0 ) P l a n é t a i r e ( 3 )

P l a n é t a i r e ( 1 )

Figure 1.21 – Schéma descriptif d’un train épicycloïdal

Le réducteur du GTP du TUCANO, présenté en début de chapitre (Fig. A.1, p. 23), est un réducteur à deux trains épicycloïdaux. La figure (Fig. 1.21, p. 14) représente sché- matiquement la structure de ces réducteurs.

Remarque 4 Il peut y a souvent plusieurs satellites, le but étant d’augmenter le couple transmissible pour le train épicycloïdal en augmentant la surface de contact entre les roues (donc diminution de la pression de contact sur les dents). Pour des raisons d’équilibrage (et oui, le porte-satellite tourne, il doit donc être équilibré statiquement et dynamiquement⁵), on utilise souvent trois satellites décalés de 120˚. Pour les études de cinématique, nous ne

4. Nous verrons cela d’ici peu...

5. Vous verrez tout cela en dynamique...

1.7Réducteurs de vitesse à engrenages 15

tiendrons pas compte du nombre de satellites, cela ne change rien et nous ne ferons apparaître qu’un seul satellite.

Le fonctionnement d’un train épicycloïdal n’est possible que si l’un des trois éléments principaux (planétaires (1) ou (3) ou porte-satellite (4)) est fixe ou si deux des éléments sont liés entre eux par un système de transmission de puissance (courroie, chaîne , etc.).

Dans le cas général, l’élément fixe par rapport au bâti peut être un des deux planétaires ou le porte-satellite. Dans le cas ou le porte-satellite est fixe, on revient à un train d’engrenage standard.

Dans le cas étudié, la fixité de la couronne planétaire (3) permet au porte-satellite (4) de tourner par rapport au bâti (0).

Remarque 5

Le terme épicycloïdal provient de la trajectoire particulière d’un point du satellite par rapport au bâti, cette trajectoire s’appelle une épicycloïde. Ce terme est issu de l’Almageste de Claude Ptolémée, mathématicien et astronome grec (2ième siècle après JC), qui a inventé les épicycles pour tenter de modéliser le mouvement de Mars autour de la terre dans son système géocentrique.

1.7.3.2 Rapport de transmission - Raison du train épicycloïdal

Il peut y avoir un grand nombre de rapports de réduction sur un train épicycloïdal, tout dépend de quel élément est associé à l’arbre d’entrée et à l’arbre de sortie. Par exemple, pour le réducteur du Tucano, l’entrée est le planétaire (1) et la sortie, le porte-satellite (4).

Le rapport de réduction sera donc donné par : r = ω_sortie ωentrée

= ω_4/0

ω_1/0 (1.13)

Afin d’obtenir tous les rapports de réduction possible pour un train épicycloïdal donné, on cherche tout d’abord à écrire la raison basique λ du train épicycloïdal. Pour cela, on utilise la méthode ci-dessous.

Remarque 6 Afin de mettre en place cette notion de raison λ, il faut “s’asseoir” sur le porte-satellite et s’intéresser au mouvement des planétaires et des satellites par rapport au porte-satellite (4).

On note :

r_i : rayon primitif de la roue i, Zi : nombre de dents de la rouei,

ω_i/j : la vitesse de rotation de la roueipar rapport à j.

Si on se place sur le porte-satellite, un train épicycloïdal se comporte comme un train d’engrenage ordinaire. Il suffit donc d’utiliser les rapports d’engrenages élémentaires qui compose le train épicycloïdal.

ω_2/4

ω_1/4 =−Z1

Z2

et ω_3/4

ω_2/4 = +Z2

Z3

On peut alors écrire :

ω_3/4

ω_1/4 =−Z₁ Z2

·Z₂ Z3

=−Z₁ Z3

En utilisant la relation de composition de mouvement, on obtient alors : ω_3/4

ω_1/4 = ω_3/0−ω_4/0

ω_1/0−ω_4/0 =−Z1

Z3

On obtient alors laformule de Willis, que l’on peut généraliser sous la forme suivante : λ= ω_3/0−ω_4/0

ω_1/0−ω_4/0 = (−1)ⁿ·

QZroues menantes

QZroues menées

(1.14) ncorrespond au nombre de contacts extérieurs entre les roues dentées (on ne tient pas compte de tous les satellites, on ne compte qu’un contact satellite planétaire).

Remarque 7

Attention, pour pouvoir utiliser cette relation, il faut considérer que le planétaire (1) soit l’entrée et que le planétaire (3) soit la sortie, même si ce n’est pas le cas afin de définir les roues “menantes” et les roues “menées”. Cette formule de Willis doit être comprise et non pas apprise “bêtement” par cœur. C’est le seul moyen de l’écrire rapidement pour tout type de train épi et quelles que soient les notations utilisées. Bien entendu, vous devez savoir la retrouver rapidement !

La formule de Willis s’écrit également sous forme linéaire :

ω_3/0−ω_4/0·(1−λ)−λ·ω_1/0 = 0 (1.15) Sous cette forme, on parle deformule de Ravignaux.

Finalement, la formule de Willis (ou de Ravignaux) est une relation cinématique du type :

λ=f ω_1/0, ω_3/0, ω_4/0

= 0 (1.16)

Remarque 8 Ainsi, la connaissance de deux vitesses permet le calcul de la troisième. Très souvent, un des planétaires ou le porte satellite est lié au bâti (vitesse angulaire nulle). On se retrouve, par exemple, avec un système d’équations du type :

f ω_1/0, ω_3/0, ω_4/0

= 0

ω_1/0= 0 (1.17)

Il suffit alors de connaître la vitesse angulaire d’entrée pour en déduire celle de sortie (ou vice et versa) et déterminer le rapport de transmission.

Plus rarement, deux des pièces du train épi peuvent être liées entre elles par des com- posants extérieurs (poulie- courroie, train d’engrenages, chaînes, etc.). Il existe donc une relation cinématique entre les vitesses angulaires de ces deux pièces. On se retrouve, par exemple, avec un système d’équations du type :

f ω_1/0, ω_3/0, ω_4/0

= 0 g ω_1/0, ω_4/0

= 0 (1.18)

Il suffit alors de connaître une des vitesses angulaires pour en déduire les autres.

1.7Réducteurs de vitesse à engrenages 17

1.7.3.3 Calcul des rapports de transmission

Considérons les cas classiques pour lesquels un des planétaires (1) ou (3) ou le porte- satellite (4) est lié au bâti. Il existe alors 6 possibilités de montage. Pour chacune d’elles, déterminez le rapport de réductionr en fonction de la raison basiqueλ.

3 fixe 4 fixe 1 fixe

Cas 1 Cas2 Cas 1 Cas2 Cas 1 Cas2

entrée sur 1 4 1 3 3 4

sortie sur 4 1 3 1 4 3

r= ωsortie

ω_entrée

λ λ−1

λ−1

λ λ 1

λ

1

1−λ 1−λ

1.7.3.4 Intérêt (cinématique) des trains épicycloïdaux plans Tracezr =f(λ) pour les six cas précédents.

r l

Conclusion 1

Le rapport de réduction d’un train épicycloïdal tend vers plus ou moins l’infini quand la raison de base tend vers des valeurs particulières. Ainsi, il est possible d’obtenir une très grande multiplication (ou réduction) de la fréquence de rotation entre l’entrée et la sortie du mécanisme, en choisissant convenablement les diamètres primitifs des planétaires. Cette performance cinématique, mise en œuvre par un nombre réduit de roues dentées, est de

surcroît atteinte dans un encombrement (radial) limité. Ce qui n’est pas le cas pour des mécanismes utilisant en cascade des trains d’engrenage.

1.7.3.5 Les différents types de train épicycloïdaux plans

La famille des trains épicycloïdaux plans se réduit à 4 types dont celui (type I) déjà étudié précédemment. Voici ci-dessous les schémas technologiques des trois autres types.

Type II Type III Type IV

1.8 Train sphérique - Différentiel

Définition 3 On appelle train épicycloïdal sphérique tout train épicycloïdal dont l’axe de l’engrenage satellite n’est pas parallèle à l’axe principal des planétaires. Les axes sont donc concourants.

Figure 1.22 – Schéma cinématique d’un train épicycloïdal sphérique

En utilisant les mêmes relations de base que précédemment, nous pouvons aisément déterminer la raison de ce train et en déduire les différents rapports de transmission possible.

1.8.1 Le différentiel 1.8.1.1 Constitution

Le différentiel est un cas particulier des trains épicycloïdaux sphériques. Lorsque les axes des planétaires et du satellite sont orthogonaux, on dit que le train sphérique est un

1.8Train sphérique - Différentiel 19

différentiel⁶.

Figure1.23 – Chaîne de transmission d’un véhicule automobile

Figure1.24 – Schéma cinématique d’un dif- férentiel

Le différentiel est un mécanisme que l’on retrouve dans la chaîne de transmission d’un véhicule automobile (Fig.1.23, p.19). Il permet aux roues motrices du véhicule de tourner à des vitesses angulaires différentes⁷. Dans un virage, la roue située à l’intérieur (du côté où l’on tourne), ayant une distance plus faible à parcourir, tourne moins vite que la roue située à l’extérieur. Grâce au différentiel, la motricité est maintenue tout en autorisant la différence de vitesse entre les roues. Il assure ainsi une meilleure tenue de route (sans différentiel, un véhicule tend à aller tout droit) et permet de limiter l’usure des pneumatiques. D’autre part, en ligne droite, une égalité rigoureuse de la vitesse de rotation impose une parfaite égalité entre les diamètres des roues, ce qui est tout à fait impossible du fait de la constitution même de ces roues.

Comme nous le voyons sur le schéma cinématique (Fig. 1.24, p.19), la mise en rotation du porte-satellite (4) est assurée par un couple conique (ou un système roue vis sans fin), ce qui permet l’orthogonalité entre l’arbre de transmission (5) et les arbres des roues (1) et (3).

Remarque 9 Les axes des pignons 5 et de la couronne 4 liée au porte satellite ne sont généralement pas concourants pour des raisons d’encombrement, la denture de ces 2 roues dentées doit alors être hypoïde ou spiroconique (les surfaces primitives ne sont plus des cônes ou des cylindres mais des hyperboles) (voir (An. B, p. 27)).

On utilise habituellement deux satellites (2) et (2’) placés de manière symétrique par rapport à l’axe des roues (toujours pour des raisons évidentes d’équilibrage et de couple transmissible).

6. Le différentiel mécanique fut inventé en 1827 par le mécanicien français Onésiphore Pecqueur (1792- 1852). Il fut employé dès 1860 sur les premiers véhicules routiers à vapeur.

7. Dans le cas d’un véhicule à 4 roues motrices, on utilise souvent trois différentiels (avant, arrière et central).

1.8.1.2 Raison basique et rapport de réduction

Afin de déterminer la raison basique d’un différentiel, il faut l’étudier comme un train épicycloïdal plan. Il suffit donc de se placer sur le porte-satellite et d’utiliser les rapports d’engrenages élémentaires qui compose le train sphérique. En ce qui concerne le signe de la raison, nous voyons aisément que les mouvement de rotation de (1) et de (3) ne peuvent être qu’opposés, ce qui donnera nécessairement une raison basique négative.

On note :

Z_i : nombre de dents de la rouei,

ω_i/j : la vitesse de rotation de la roue ipar rapport àj.

ω_2/4 ω_1/4

= Z₁ Z₂ et

ω_3/4 ω_2/4

= Z₂ Z₃

On peut alors écrire :

ω_3/4 ω_1/4

= Z1

Z3

=

ω_3/0−ω_4/0 ω_1/0−ω_4/0

= 1

Or, nous pouvons voir par construction du boîtier différentiel que d₁ = d₃ donc que Z₁ =Z₃, ce qui nous donne une raison basique :

λ=−1 ⇒ ω_4/0 = ω_3/0+ω_1/0

2 (1.19)

Nous pouvons alors discerner trois cas particuliers intéressants :

— ω_1/0 =ω_3/0=ω : ligne droite,ω_4/0 =ω, pas de mouvement de 2/4.

— ω_3/0 = 0 : ω_1/0 = 2·ω_4/0, une roue bloquée, toue la puissance est dirigée vers la deuxième (celle qui patine...).

— ω_4/0 = 0: ω_3/0 =−ω_4/0, voiture sur le pont, on tourne la roue droite dans un sens, la roue gauche tourne dans le sens opposé.

1.8.1.3 Inconvénients du différentiel

La faiblesse du différentiel ordinaire réside dans le fait que si une roue du train moteur n’adhère pas (par exemple roue sur la neige, dans la boue), l’ensemble de la transmission du couple se fait sur cette roue, et le véhicule n’avance plus correctement, voire plus du tout.

Pour résoudre ce problème, certains différentiels sont conçus pour se limiter à partir d’un certain seuil de glissement (par exemple détectant un écart de couple entre les deux demi arbres fixés aux satellites), ce sont les différentiels à glissement limité (DGL en français ou LSD en anglais).

1.9Actions mécaniques exercées sur les dentures 21

1.9 Actions mécaniques exercées sur les dentures

Les actions mécaniques exercées sur les dentures des différentes roues sont directement liées au couple transmis par l’engrenage élémentaire (ou le train d’engrenage). Ces actions mécaniques sont modélisées de manière différente en fonction de la géométrie de la den- ture :droite, hélicoïdale, conique ou roue-vis sans fin.

Nous avons vu que si le rendement de l’engrenage est idéal, on a la relation de conser- vation de la puissance mécanique entre l’entrée et la sortie du système de transmission de puissance :

P =C₁·ω₁ =C₂·ω₂ (1.20)

1.9.1 Cas des engrenages droits à denture droite

Soit un engrenage élémentaire composé de deux roues dentées à denture droite 1 et 2, de rayon respectifr₁ etr₂ et de nombre de dents respectif Z₁ etZ₂.

Figure 1.25 – Modélisation des actions mécaniques dans un engrenage à denture droite On modélise dans ce cas les actions de contact de la roue 2 sur la roue 1 par une unique action mécanique−−−→

F_(2/1) orientée suivant la ligne de pression. On peut donc la décomposer en deux composantes :

— la composante tangentielle−−−−→

F_T(2/1) : elle est à l’origine du couple transmis et elle est obtenue en projetant−−−→

F_(2/1) sur la tangente aux cercles primitifs (fonction de l’angle de pressionα.

F_T(2/1) =F_(2/1)·cosα et C_i =F_T(2/1)·r_i (1.21)

— la composante radiale −−−−→

F_R(2/1), orthogonale à −−−−→

F_T(2/1), elle ne transmet pas le couple et tend à faire fléchir les arbres de transmission.

F_R(2/1) =F_(2/1)·sinα (1.22)

1.9.2 Cas des engrenages droits à denture hélicoïdale

Soit un engrenage élémentaire composé de deux roues dentées à denture hélicoïdale 1 et 2, de rayon respectifr₁etr₂ et de nombre de dents respectifZ₁ etZ₂. On modélise toujours les actions de contact de la roue 2 sur la roue 1 par une unique action mécanique −−−→

F_(2/1).

Figure1.26 – Modélisation des actions mécaniques dans un engrenage à denture hélicoïdale Dans ce cas, cette action mécanique comporte une composante radiale, une composante tangentielle dues à l’angle de pressionα mais aussi une composante radiale supplémentaire due à l’inclinaison β de la denture. On peut donc la décomposer en trois composantes :

— la composante tangentielle−−−−→

F_T(2/1) : elle est à l’origine du couple transmis.

F_T(2/1) =F_(2/1)·cosαcosβ et C_i =F_T(2/1)·ri (1.23)

— la composante axiale−−−−→

F_A(2/1), portée par l’axe de rotation.

F_A(2/1)=F_(2/1)·cosαsinβ (1.24)

— la composante radiale−−−−→

F_R(2/1), orthogonale à−−−−→

F_T(2/1).

F_R(2/1)=F_(2/1)·sinα (1.25)

Remarque 10 Afin de compenser les actions axiales, on utilise des engrenages à denture en chevron⁸ (utilisation de deux dentures hélicoïdales identiques côte à côte).

Figure1.27 – Denture en chevron Figure 1.28 – Compensation de l’action axiale Un autre moyen de compenser les actions mécaniques axiales est de monter sur le même arbre de transmission deux roues d’angles d’hélice judicieusement choisis...

8. Ce type d’engrenage a été créé par André Citroën dans les années 1920, il est a noté que cet engrenage est à la base du logo actuel des automobiles Citroën.

Annexe A

Réducteurs et différentiels

FigureA.1 – Schéma du réducteur du groupe turbopropulseur du Tucano 312 FF

Figure A.2 – Réducteur de turbopropulseur

25

Figure A.3 – Boite de vitesse et différentiel (Doc. Citroën)

Figure A.4 – Schéma cinématique de la boite de vitesse

Annexe B

Pignon d’attaque de différentiel

FigureB.1 – Pignon d’attaque et couronne de différentiel de tracteur

FigureB.2 – Pignon d’attaque avec axe décalé par rapport à l’axe du boitier de différentiel

Figure B.3 – Écorché d’un différentiel complet de pont arrière

Figure B.4 – Boite de vitesse et différentiel de Lotus Europe 1970

Bibliographie

[Aub92] M. Aublin,Systèmes mécaniques, Dunod , 1992.

[Esn00] F. Esnault, Construction mécanique : Transmission de puissance tome 1, Dunod, 2000.

[Esn01] F. Esnault, Construction mécanique : Transmission de puissance tome 2, Dunod, 2001.

[Fan05] J.L. Fanchon,Guide des STI, Nathan-AFNOR , 2005.

[Mil03] N. Millet,Sciences Industrielles en CPGE, Casteilla, 2003.

[Qua01] R. Quatremer,Précis de construction mécanique tome 1, Nathan-AFNOR, 2001.