D10051. L’armement conduit ` a tout
SoitABC un triangle rectangle enA. Une droite variableDpasse par C et rencontre le segmentAB.B se projette sur D en H. La m´ediatrice de AH coupe Den P. On demande le lieu deP quand Dvarie.
Remarque. On peut reconnaˆıtre dans ce probl`eme la r´eciproque d’un th´eo- r`eme dˆu `a un math´ematicien et physicien, c´el`ebre en son temps comme ing´enieur de l’armement.
Solution
Avec les notations de l’´enonc´e compl´et´ees par le point O milieu de BC, il vient :CABd =CHBd =π/2, doncAetH sont sur le cercle (L) de diam`etre BC et de centre O. Dans (L) on a aussi :AHCd =ABCd .
De ce fait les triangles OAB et P AH, tous deux isoc`eles, ont les mˆemes angles et AP Cd = AOC, ce qui veut dire que le pointd P est sur le cercle circonscrit au triangleOAC.P d´ecrit la portion de ce cercle comprise entre Aet O et situ´ee du cˆot´e deB.
Cette propri´et´e a pour r´eciproque le th´eor`eme d’Archim`ede :P appartenant
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a l’arc de cercle AC de milieu O, le point I, projection de O sur la ligne bris´ee AP C (sur le segment P C si P est sur l’arc AO) divise cette ligne en deux parties ´egales : AP +P I =IC. En effet I est le milieu de CH et CH = 2P H+ (P C−P H) = 2AP + 2P I.
N. B. : Archim`ede fut, en son temps, aussi r´eput´e pour ses machines de guerre que pour son principe de l’hydrostatique (“Eurˆeka !”) qui fut, si l’on en croit la tradition, appliqu´e `a la r´epression des fraudes.
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