Fiche 3 – Martingales

Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 – Probabilités Année universitaire 2015–2016

Fiche 3 – Martingales

Exercice 1 SoitX₀, X₁, . . .une suite de variables aléatoires indépendantes et intégrables. On noteF= (Fn)_n≥0 sa filtration naturelle :Fn=σ(X₀, . . . , X_n).

1.À quelle condition la suite de terme général

S_n =X₀+· · ·+X_n

est-elle une martingale (pour la filtrationF) ? Une sous-martingale ? Une sur-martingale ? 2.On suppose de plusXn≥0pour toutn∈N. À quelle condition la suite de terme général

Un=X0· · ·Xn

est-elle une martingale (pour la filtrationF) ? Une sous-martingale ? Une sur-martingale ?

Exercice 2 Soit(Mn)_n≥0 une martingale, relativement à une filtration(Fn)_n≥0. 1.Montrer queE[Mn] =E[M0]pour toutn∈N.

2.On suppose queMn est de carré intégrable pour toutn∈N. Montrer que E

(Mn+1−Mn)² Fn

=E

M_n+1² −M_n² Fn

.

Exercice 3 – Urne de Polya. Dans une urne se trouvent une boule blanche et une boule rouge (instant0).

On tire alors une boule, que l’on remet dans l’urne accompagnée d’une nouvelle boule de la même couleur, et on répète cette opération indéfiniment. À l’instantn se trouvent doncn+ 2boules dans l’urne. On noteYn le nombre de boules blanches à cet instant et Xn = _n+2^Yn la proportion de boules blanches dans l’urne. On pose Fn=σ(X1, . . . , Xn).

1.Montrer que(Xn)_n≥0est une martingale.

2.En déduire que(Xn)_n≥0 converge presque-sûrement vers une variable aléatoireU.

Exercice 4 Soitp∈]0,¹₂[. Soit(Sn)_n≥0 une marche aléatoire biaisée surZpartant dex∈N:S0=xet, pour n≥1,

Sn=x+X1+· · ·+Xn,

où les variables aléatoiresX1, X2, . . .sont indépendantes et de même loi, telles que

P(Xi= 1) =p et P(Xi=−1) =q= 1−p.

SoitR ∈N^∗, R > x. On définit le temps (aléatoire)T = inf{n≥0|Sn ∈ {0, R}}et la filtration F = (Fn)n = (σ(X1, . . . , Xn))n.

1.On poseZ_n= (q/p)^Sn. Montrer queZ = (Z_n)_n≥0 est une martingale pour la filtrationF.

2.Montrer queT est un temps d’arrêt.

3.En considérant la martingale arrêtéeZ^T, montrer que, pour toutn,E[Z_n∧T] =E[Z₀], et en déduireE[Z_T] = E[Z₀], puis la valeur deP(S_T = 0).

Exercice 5 Soit(an)n≥1une suite de réels telle queP

n≥1a²_n<∞, et(ξn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour toutn,E[ξn] = 0et Var(ξn) = 1(par exemple,ξn∼ N(0,1)).

1.Montrer que la suiteM_n=Pn

k=1a_kξ_k est une martingale.

2.Montrer quesup_nE[M_n²]<∞et en déduire que, presque-sûrement, la sérieP∞

n=1a_nξ_n converge.