Sommes de deux carr´ es
Quel est le nombre de d´ecompositions d’un nombreN en somme de deux carr´es ?
Pour en faire une analyse ´el´ementaire1, je vais d’abord consid´erer les solu- tions deN =x2+y2 en couples (x, y) d’entiers relatifs. Leur nombreS(N) est le nombre de points `a coordonn´ees enti`eres sur le cercle d’´equation x2+y2=N.
La correspondance 2qui associe `a (a, b) les 4 couples (a, b), (−b, a), (−a,−b), (b,−a) montre que le nombre de solutions en entiers relatifs est 4 fois le nombre de solutions v´erifiant 0< x≤√
N ,0≤y <√ N. J’appellerai premier quadrant la partie du plan (x, y) v´erifiant x > 0, y ≥0.
Lemme 1
Si N =x2+y2 avec P GCD(x, y) = 1,N n’a pas de diviseur premier de la forme 4k+ 3.
Preuve. Soitpun diviseur premier deN. Il ne divise pasy (car s’il divisait y, il ne devrait pas diviser x et donc ne pourrait diviser x2 +y2 = N).
Ainsi y est inversible dansZ/p, etx2+y2 = 0 modpentraˆıne
(xy−1)2 + 1 = 0 modp, puis (−1)(p−1)/2 = (xy−1)p−1 = 1 par le petit th´eor`eme de Fermat. Donc (p−1)/2 doit ˆetre pair.
Corollaire. Si N a un diviseur premier q = 4k + 3, et admet une d´ecomposition en somme de deux carr´es, l’exposant de q dansN est pair, et N a autant de d´ecompositions en sommes de deux carr´es queN/q2. En effet, si N =x2+y2 avec P GCD(x, y) =d,q ne peut figurer dans la d´ecomposition
N/d2 = (x/d)2+ (y/d)2, et l’exposant de q dans N est le double de celui qu’a q dansd.
1Jacobi a trait´e cette question en utilisant les fonctions thˆeta.
2Cette correspondance revient `a multiplier l’entier de Gauss a+ib par l’une des quatre unit´es (1, i,−1,−i) de l’anneau des entiers de Gauss.
A chaque d´ecomposition de N correspond la d´ecomposition deN/q2 N/q2 = (d/q)2((x/d)2+ (y/d)2), et inversement.
Lemme 2
SiN est pair,N etN/2 ont le mˆeme nombre de d´ecompositions en sommes de deux carr´es.
Preuve
A chaque couple (a, b) avec N/2 =a2+b2 on peut faire correspondre le couple (a+b, a−b) qui v´erifie (a+b)2+(a−b)2 =N. Cette correspondance peut ˆetre exprim´ee par la matriceM = 1 1
1 −1
! .
R´eciproquement, sia2+b2 =N pair,aetbsont de mˆeme parit´e et on peut faire correspondre au couple (a, b) le couple (a0 = (a+b)/2, b0 = (a−b)/2) qui v´erifiea02+b02=N/2.
La matriceM de d´eterminant |M|=−26= 0 est inversible, ce qui assure que la correspondance est biunivoque.
Lemme 3
Soitpun nombre premier de la forme 4m+1. Le nombre de d´ecompositions depk en somme de deux carr´es d’entiers relatifs premiers entre eux est 8.
Preuve a) Cas k= 1.
On sait (Fermat) qu’un nombre premier de cette forme est somlme de deux carr´es. Supposons qu’il le soit de plusieurs fa¸cons
p=a2+b2 =c2+d2, avec a, b, c, d entiers positifs etab6=cd.
Quitte `a changer les noms, je suppose queaest le plus grand de ces entiers, et soitdcelui des nombrescou dqui a mˆeme parit´e quea(caraetbsont de parit´e contraire car p est impair, et il en est de mˆeme de cetd). On a (a+d)(a−d) = (c+b)(c−b) et ces 4 facteurs sont pairs et>0.
Soit 2u=P GCD(a+d, c+b), 2v=P GCD(a−d, c−b).
Ona+d= 2mu,c−b= 2nu,c+b= 2mv,a−d= 2nv, puis 1
a=mu+nv,b=nu−mv,p=a2+b2= (m2+n2)(u2+v2) ne pourrait pas ˆetre premier.
Donc si p est premier, on a a = d, b = c, et p = x2+y2 a exactement deux solutions (x, y) = (a, b) ou (b, a) dans le premier quadrant, d’o`u 8 solutions sur le cercle complet.
b) Cas k >1
Supposons la propri´et´e vraie jusqu’au rangk−1.
Soit p=a2+b2, etpk−1 =u2+v2, avec u etv premiers entre eux.
Alors (*) pk = (au+bv)2+ (av−bu)2= (au−bv)2+ (av+bu)2. Mais p divisepu2−b2pk−1= (au+bv)(au−bv).
Si p divise au+bv, il divise les deux carr´es de la premi`ere expression (*), et c’est la seconde qui comporte deux carr´es premiers entre eux. Si p diviseau−bv, c’est l’inverse. Ainsi deux couples (a, b) et (u, v) fournissent exactement un couple (x, y) d’entiers premiers entre eux v´erifiantx2+y2 = pk.
Quand le couple (u, v) prend 8 valeurs (hypoth`ese de r´ecurrence), `a couple (a, b) inchang´e, on obtient 8 valeurs distinctes pour le couple (x, y). Mais quand on donne au couple (a, b) 8 valeurs conform´ement au cask= 1, on retombe sur les 8 mˆemes valeurs pour le couple (x, y), comme on le v´erifie ais´ement.
Cela correspond au fait que la norme x2+y2 de l’entier de Gauss x+iy est une fonction multiplicative, et ne change pas quand on remplacex+iy par son conjugu´e x−iy ou par son produit avec une des unit´es de cet anneau.
Corollaire. L’´equation pk = x2 +y2 admet 4(k+ 1) solutions en entiers relatifs (qui peuvent ne pas ˆetre premiers entre eux).
En effet, si kest pair, il y a 8 solutions avecP GCD(x, y) =pq pour q= 0
`
a k/2−1, et 4 solutions d´erivant de la solutiony= 0, x=pk/2 du premier quadrant.
Si k est impair, il y a 8 solutions avec P GCD(x, y) = pq pour q = 0 `a (k−1)/2.
Lemme 4
La fonctionS(N)/4 est multiplicative.
Preuve
Par le lemme 2, on peut se limiter `a N impair.
Les S(m)/4 solutions de m = a2 + b2 dans le premier quadrant se r´epartissent en paires de couples (a, b) et (b, a). De mˆeme lesS(n)/4 solu- tions den=u2+v2 dans le premier quadrant se r´epartissent en paires de couples (u, v) et (v, u).
A partir de ces paires,
N =mn= (a2+b2)(u2+v2) = (au+bv)2+ (av−bu)2, ce qui donne pour N =x2+y2 4 couples (x, y) dans le premier quadrant :
(au+bv,|av−bu|), (|av−bu|, au+bv), (av+bu,|au−bv|), (|au−bv|, av+bu).
Aux 2×2 fa¸cons de choisir un couple dans la paire venant de m et un couple dans la paire venant den correspondent 4 couples (x, y) distincts pourN.
R´eciproquement, supposons quex2+y2est une d´ecomposition en sommme de deux carr´es de N =mnavec m etnpremiers entre eux. Il existe alors une d´ecomposition m =a2+b2 et une d´ecomposition n =u2 +v2 telles que
au+bv=x,av−bu=±y.
Je ne d´etaille pas ici l’analyse de la factorisation des entiers de Gauss, qui permet cette affirmation. En voici un simple exemple.
SoitN = 1185665 =mn avec m= 221 = 13·17, n= 5365 = 5·29·37.
On a, entre autres d´ecompositions,N = 7962+ 7432. On constate que les seules solutions en entiers>0 du syst`eme
au+bv= 796, av−bu=±743,a2+b2 = 221,u2+v2 = 5365, sont (a, b) = (10,11) et (u, v) = (73,6) ; ou (a, b) = (11,10) et (u, v) = (6,73) bien qu’existent les autres d´ecompositions
221 = 142+ 52, 5365 = 712+ 182 = 622+ 392 = 572+ 462.
2
Ainsi, `a partir des d´ecompositions de m et n, on peut engendrer les d´ecompositions de N sans qu’une mˆeme d´ecomposition de N puisse ˆetre obtenue de plusieurs fa¸cons non “´equivalentes”(par ´echange de x et y, etc.).
Lemme 5
Je note D1(N) et D3(N) le nombre des diviseurs de N ayant respective- ment 1 et 3 comme reste modulo 4.
La fonction D1(N)−D3(N) est multiplicative.
Preuve
Soit N = mn, avec m etn premiers entre eux. Chaque diviseur de N se d´ecompose de fa¸con unique en produit d’un diviseur de met d’un diviseur de n.
Notant m1 les D1(m) diviseurs de m ayant 1 pour reste modulo 4, avec une d´efinition analogue pourm3,n1,n3, un diviseur de mnfaisant partie des D1(mn) est de la forme m1n1 ou m3n3. Un diviseur de mn faisant partie des D3(mn) est de la forme m1n3 ou m3n1.
Ainsi D1(mn) =D1(m)D1(n) +D3(m)D3(n), D3(mn) =D1(m)D3(n) +D3(m)D1(n).
La propri´et´e en d´ecoule imm´ediatement.
Remarque. D1(N)−D3(N) =Pd|Nsin(dπ/2).
Th´eor`eme
S(N)/4 =D1(N)−D3(N).
Preuve
Les deux membres ´etant des fonctions multiplicatives, il suffit de montrer la propri´et´e pour les diviseurs primaires impairs deN.
Pour pk, avecp de la forme 4m+ 1, lesk+ 1 diviseurs sont tous de cette mˆeme forme, et le th´eor`eme est vrai en vertu du corollaire du lemme 3.
Pour qk, avec q de la forme 4m+ 3, les diviseurs de la forme 4m+ 1 sont les qr avec r pair, en nombre D1(qk) = bk/2c. Les diviseurs de la forme
4m+ 3 sont les qr avec r impair, en nombre D3(qk) = b(k−1)/2c, qui vaut D1(qk) si k est impair,D1(qk)−1 si k est pair. Par le corollaire du lemme 1,S(qk) =S(q) = 0 si kest impair,S(qk) =S(1) = 4 si kest pair.
Application : Identit´e de Liouville X
0≤k<√ N
jpN −k2k=
∞
X
n=0
(−1)n N
2n+ 1
Le premier membre est le nombre de points `a coordonn´ees enti`eres dans le premier quadrant du disquex2+y2 ≤N. Quand on passe deN =m−1
`
aN =m, cette expression augmente de S(m)/4 =D1(m)−D3(m).
Quand on passe de N = m−1 `a N = m, les expressions bN/(2n+ 1)c qui changent de valeur sont celles pour lesquelles 2n+ 1 divisem, et elles augmentent de 1 ; leur contribution `a la variation du second membre est D1(m)−D3m).
Ainsi les deux membres ont les mˆemes variations en fonction de N, et la mˆeme valeur 1 pour N = 1, d’o`u la mˆeme valeur pour toutN.
Application : Triangles pythagoriciens d’hypot´enuse donn´ee
Il s’agit de d´enombrer les solutions dex2+y2=c2, avec 0< y < x.
Sinest ce nombre, le premier quadrant du cerclex2+y2 =c2 contient les couples (x, y) et (y, x) pour chacune desnsolutions, et (c,0), d’o`u 2n+ 1 =D1(c2)−D3(c2).
La contribution `a ce nombre d’un facteur premier p d’exposant k dansc, et donc d’exposant 2kdansc2, est 1 sipest de la forme 4m+ 3, et 2k+ 1 si pest de la forme 4m+ 1. On obtiendra 2n+ 1 par le produit des quantit´es 2k+ 1 aff´erentes aux facteurs premiers de la forme 4m+ 1.
3
